2023-2024学年北京市东城区德胜中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2023-2024学年北京市东城区德胜中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）1．（2分）如图是我校学生设计的数学“表扬卡”图案，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）抛物线y＝3（x﹣1）2﹣4的对称轴是直线（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝4 D．x＝﹣43．（2分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝2 D．（x+1）2＝44．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（）A．a＜0 B．c＞0 C． D．a+b+c＜05．（2分）等边三角形绕其中心旋转后能与自身重合，则旋转的最小角度为（）A．30° B．60° C．90° D．120°6．（2分）已知函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上有A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y17．（2分）如图所示，用10米的铁丝网围成一个面积为15的矩形菜地，菜地的一边靠墙（不使用铁丝），如果设平行于围墙的一边为x米，那么可列方程（）A．x（10﹣x）＝15 B． C． D．8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+bx+c与x轴交于A，B两点，且AB＝4．若将此抛物线先向左平移3个单位，再向下平移n个单位，所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为8，则n的值为（）A．6 B．12 C．24 D．36二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）点（4，﹣5）关于原点的对称点的坐标是．10．（2分）将抛物线y＝5x2向左平移2个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是．11．（2分）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+6＝0的一个根是﹣1，则m的值是．12．（2分）请写出一个开口向下，且经过点（2，﹣4）的抛物线的表达式为．13．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'C'D'，使得点B'落在边AD上，此时DB'的长为．14．（2分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣c＝0有两个相等的实数根，则c的值为．15．（2分）已知点A（5，y1）和B（n，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+m的图象上．若y1＞y2，则符合条件的整数n的个数为．16．（2分）下表记录了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值：x…﹣337…y…m﹣1m…点P（x1，y1），Q（x2，y2）在该函数图象上．若当x1＜x2＜3时，﹣1＜y1＜y2，给出下列四个结论：①a＜0；②x1+x2＜4；③25a﹣5b+c+1＜0；④若当﹣3＜x＜x2时，存在直线y＝k与抛物线有两个交点，则1＜x2＜2．上述结论中，所有正确结论的序号是．三、解答题（共68分，第17题8分，第18题4分，第19-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣2＝0（2）（x﹣1）2＝（2x+3）218．（4分）若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣9＝0的根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值．19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，﹣2），B（2，0）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象也经过点A，B，结合图象，直接写出不等式kx+b＞x2+px+q的解集．20．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AED，AE交BC于点F．若AD＝3，求AF的长．21．（5分）已知抛物线y＝（x﹣3）（x+1）．（1）抛物线与x轴的交点坐标为；（2）该抛物线的顶点坐标为；（3）画出它的图象；（4）若，则函数值y的取值范围是．22．（5分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P'（a+4，b+2），请画出平移后的△A2B2C2；（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为．23．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．24．（6分）如图，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°，得到线段AE，连接BD，CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）连接DE，若∠ADB＝115°，求∠CED的度数．25．（5分）如图为一个拱桥横截面的示意图，跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．请你根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行探究．下面是探究过程，请补充完整：（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表：d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h这两个变量中，是自变量，是这个变量的函数；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为2米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为米．（精确到0.1米）26．（6分）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+2（a＞0）的图象上，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）若M（2，﹣1），N（8，﹣1），则t＝；（2）当x1＝﹣2，2＜x2＜3时，都有y1＞y2＞2，求t的取值范围．27．（7分）如图，点E在等边三角形ABC的边AB的延长线上．过点C作CD⊥AB于点D，将线段DE绕点E顺时针旋转120°得到线段EF．作点B关于点E的对称点G，连接CF，FG，CG．（1）①补全图形；②证明：AC∥EF；（2）∠CFG的度数是°，请说明理由．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A，点B和直线l，点A关于l的对称点为点A′，点B是直线l上一点．将线段A′B绕点A′逆时针旋转90°得到A′C，如果线段A′C与直线l有交点，称点C是点A关于直线l和点B的“旋交点”．（1）若点A的坐标为（1，2），在点C1（﹣1，2），C2（﹣1，0），C3（﹣1，﹣1）中，是点A关于x轴和点B的“旋交点”的是；（2）若点B的坐标是（0，﹣2），点A、C都在直线y＝x+2上，点C是点A关于y轴和点B的“旋交点”，求点A的坐标；（3）点A在以（0，t）为对角线交点，边长为2的正方形M（正方形的边与坐标轴平行）上，直线l：y＝x﹣1，若正方形M上存在点C是点A关于直线l和点B的“旋交点”，直接写出t的取值范围．

2023-2024学年北京市东城区德胜中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）1．（2分）如图是我校学生设计的数学“表扬卡”图案，其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、该图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、该图是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、该图是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（2分）抛物线y＝3（x﹣1）2﹣4的对称轴是直线（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝4 D．x＝﹣4【分析】由于所给的是二次函数的顶点式，故能直接求出其对称轴．【解答】解：∵y＝3（x﹣1）2﹣4，∴此函数的对称轴就是直线x＝1．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数三种表达式．3．（2分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝2 D．（x+1）2＝4【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2+2x﹣3＝0∴x2+2x＝3∴x2+2x+1＝1+3∴（x+1）2＝4故选：D．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（）A．a＜0 B．c＞0 C． D．a+b+c＜0【分析】根据函数图象可知a＜0，c＞0，，将x＝1代入y＝ax2+bx+c即可解答．【解答】解：根据函数图象可知a＜0，c＞0，，将x＝1代入y＝ax2+bx+c得y＝a+b+c，由图象知，此时a+b+c＞0．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键．5．（2分）等边三角形绕其中心旋转后能与自身重合，则旋转的最小角度为（）A．30° B．60° C．90° D．120°【分析】确定图形绕自己的中心最少旋转多少度可与自身重合，就是观察图形，可以被从中心发出的射线平分成几部分，则旋转的最小角度即可求解．【解答】解：等边三角形可以被从中心发出的射线平分成3部分，因而至少要旋转360÷3＝120°．故选：D．【点评】本题考查旋转对称图形的知识，等边三角形是旋转对称图形，本题中确定旋转的角度的方法是需要掌握的内容．6．（2分）已知函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上有A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1【分析】根据二次函数的性质可以判断y1、y2、y3的大小关系，从而可以解答本题．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2，∴该函数开口向下，对称轴为直线x＝2，∵该函数图象上有A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（4，y3）三点，|2﹣1|＜|4﹣2|＜|2+1|，∴y2＞y3＞y1，故选：B．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7．（2分）如图所示，用10米的铁丝网围成一个面积为15的矩形菜地，菜地的一边靠墙（不使用铁丝），如果设平行于围墙的一边为x米，那么可列方程（）A．x（10﹣x）＝15 B． C． D．【分析】平行于围墙的一边为x米，则垂直于围墙的一边为米，再根据矩形的面积公式列方程即可．【解答】解：根据题意列方程得：．故选：B．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+bx+c与x轴交于A，B两点，且AB＝4．若将此抛物线先向左平移3个单位，再向下平移n个单位，所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为8，则n的值为（）A．6 B．12 C．24 D．36【分析】设2x2+bx+c＝0两根为x1、x2，根据AB＝4得到b2﹣8c＝64，由题意得出当y＝n时，抛物线上两点之间距离为8，得b2﹣8c+8n＝256，解方程求出即可．【解答】解：抛物线y＝2x2+bx+c，当y＝0时，设2x2+bx+c＝0两根为x1、x2，则，∵AB＝4，∴|x1﹣x2|＝4，∴，∴，即b2﹣8c＝64，∵将此抛物线先向左平移3个单位，再向下平移n个单位，所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为8，即当y＝n时，抛物线上两点之间距离为8，设2x2+bx+c＝n两根为x3、x4，则，∴|x3﹣x4|＝8，∴，∴，即b2﹣8c+8n＝256，∵b2﹣8c＝64，∴64+8n＝256，解得：n＝24．故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴交点问题及抛物线的平移、一元二次方程根于系数的关系，熟练掌握相关性质是解题关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）点（4，﹣5）关于原点的对称点的坐标是（﹣4，5）．【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案．【解答】解：点（4，﹣5）关于原点的对称点坐标是（﹣4，5）．故答案为：（﹣4，5）．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数．10．（2分）将抛物线y＝5x2向左平移2个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是y＝5（x+2）2．【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【解答】解：抛物线y＝5x2的顶点坐标为（0，0），向左平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），所以，平移后的抛物线的解析式为y＝5（x+2）2．故答案为：y＝5（x+2）2【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．11．（2分）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+6＝0的一个根是﹣1，则m的值是﹣8．【分析】将x＝﹣1代入mx2﹣2x+6＝0即可求解．【解答】解：将x＝﹣1代入mx2﹣2x+6＝0得m+2+6＝0，∴m＝﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键．12．（2分）请写出一个开口向下，且经过点（2，﹣4）的抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2﹣4（答案不唯一）．【分析】可以把点（2，﹣4）作为抛物线的顶点，则抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，然后a取一个负数即可．【解答】解：把点（2，﹣4）设顶点，则抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，∵抛物线开口向下，∴a可以取﹣1，∴满足条件的抛物线解析式可以为y＝﹣（x﹣2）2﹣4，故答案为：y＝﹣（x﹣2）2﹣4（答案不唯一）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．13．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'C'D'，使得点B'落在边AD上，此时DB'的长为1．【分析】根据DB′＝AD﹣AB′，可得结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，由旋转的性质可知，AB＝AB′＝3，∴DB′＝AD﹣AB′＝4﹣3＝1，故答案为：1．【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．14．（2分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣c＝0有两个相等的实数根，则c的值为﹣1．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22+4c＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝22+4c＝0，解得c＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．15．（2分）已知点A（5，y1）和B（n，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+m的图象上．若y1＞y2，则符合条件的整数n的个数为7．【分析】由解析式求得开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质即可得出a＞3或a＜1，进而可得答案．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+m，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，∴点A（5，y1）关于直线x＝1的对称点为（﹣3，y1），当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵点A（5，y1），B（n，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+m的图象上．且y1＞y2，∴﹣3＜n＜5，则n＝﹣2，﹣1，0，1，2，3，4则符合条件的整数n的个数为7，故答案为：7．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．16．（2分）下表记录了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值：x…﹣337…y…m﹣1m…点P（x1，y1），Q（x2，y2）在该函数图象上．若当x1＜x2＜3时，﹣1＜y1＜y2，给出下列四个结论：①a＜0；②x1+x2＜4；③25a﹣5b+c+1＜0；④若当﹣3＜x＜x2时，存在直线y＝k与抛物线有两个交点，则1＜x2＜2．上述结论中，所有正确结论的序号是①②③．【分析】由表格数据可知，该二次函数对称轴为：，当a＞0时，由﹣1＜y1＜y2，得x1＜x2＜1，则y1＞y2，可判断①，由1＜x1＜x2＜3且|1﹣x1|＞|x2﹣1|，可判断②；将x＝﹣5代入y＝ax2+bx+c得y＝25a﹣5b+c，得25a﹣5b+c＜﹣1，可判断③；当﹣3＜x＜x2时，存在直线y＝k与抛物线有两个交点，则2＜x2＜3，可判断④．【解答】解：由表格数据可知，该二次函数对称轴为：，若a＞0时，如图，∵﹣1＜y1＜y2，∴x1＜x2＜1，则y1＞y2与条件矛盾，∴a＜0，故①正确，如图：∵﹣1＜y1＜y2，∴1＜x1＜x2＜3且|1﹣x1|＞|x2﹣1|，∴x1+x2＜4故②正确；将x＝﹣5代入y＝ax2+bx+c得y＝25a﹣5b+c，此时25a﹣5b+c＜﹣1，∴25a﹣5b+c+1＜0，故③正确；当﹣3＜x＜x2时，存在直线y＝k与抛物线有两个交点，则2＜x2＜3，故④错误．综上①②③正确．故答案为：①②③．【点评】本题主要考查二次函数的图象及性质，根据题意画出图象，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．三、解答题（共68分，第17题8分，第18题4分，第19-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣2＝0（2）（x﹣1）2＝（2x+3）2【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用直接开平方法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，则x＝＝2±；（2）∵（x﹣1）2＝（2x+3）2，∴x﹣1＝2x+3或x﹣1＝﹣（2x+3），解得x＝﹣4或x＝﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（4分）若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣9＝0的根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值．【分析】将x＝a代入x2﹣3x﹣9＝0得a2﹣3a﹣9＝0，由（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）＝a2﹣3a﹣13即可求解．【解答】解：将x＝a代入x2﹣3x﹣9＝0得a2﹣3a﹣9＝0，∴a2﹣3a＝9，（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）＝a2﹣16﹣3a+3＝a2﹣3a﹣13＝9﹣13＝﹣4．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，根据所求代数式进行变换求解是解题的关键．19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，﹣2），B（2，0）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象也经过点A，B，结合图象，直接写出不等式kx+b＞x2+px+q的解集．【分析】（1）把A、B的坐标代入y＝x2+px+q，根据待定系数法求得即可；（2）根据图象即可求得一次函数图象在二次函数图象上方的x的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，﹣2），B（2，0），∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2．（2）由图象可知，不等式kx+b＞x2+px+q的解集为0＜x＜2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．20．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AED，AE交BC于点F．若AD＝3，求AF的长．【分析】由题意得AC＝AD＝3，可推出∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝30°，利用勾股定理即可求解．【解答】解：由题意得：△ABC≌△AED，∴AC＝AD＝3，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∵将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AED，∴∠BAF＝30°，∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝30°，∴CF＝AF，∵AF2＝CF2+AC2＝，∴AF2＝，∴AF＝AC＝2．【点评】本题考查旋转的性质及勾股定理的应用．注意计算的准确性．21．（5分）已知抛物线y＝（x﹣3）（x+1）．（1）抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）；（2）该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（3）画出它的图象；（4）若，则函数值y的取值范围是﹣4＜y＜0．【分析】（1）令y＝（x﹣3）（x+1）＝0即可求解；（2）该二次函数的对称轴为：，将x＝1代入y＝（x﹣3）（x+1）即可求解；（3）根据（1）（2）所求点画函数图象即可；（4）由可知，该函数在x＝1处取得最小值，该函数在x＝﹣1处取得最大值，进而可求解；【解答】解：（1）令y＝（x﹣3）（x+1）＝0，x1＝3，x2＝﹣1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0），故答案为：（3，0），（﹣1，0）．（2）该二次函数的对称轴为直线，将x＝1代入y＝（x﹣3）（x+1）得y＝（1﹣3）（1+1）＝﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），故答案为：（1，﹣4）．（3）y＝（x﹣3）（x+1）图象如下图：（4）由可知，该函数在x＝1处取得最小值y＝﹣4，∵，∴该函数在x＝﹣1处取得最大值，即y＝（﹣1﹣3）（﹣1+1）＝0，∴若，则函数值y的取值范围是﹣4＜y＜0．故答案为：﹣4＜y＜0．【点评】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键．22．（5分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P'（a+4，b+2），请画出平移后的△A2B2C2；（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为（2，1）．【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用点P与P′的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点A、B、C的对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；（3）连接A1A2、B1B2、C1C2，它们的交点为对称中心．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．（3）对称中心的坐标为（2，1）．故答案为（2，1）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．23．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．【分析】（1）求出方程的判别式Δ的值，利用配方法得出Δ≥0，根据判别式的意义即可证明；（2）根据题意得不等式组，解不等式组求得a的取值范围即可．【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣1）＝4a2﹣4a2+4＝4，∵Δ＞0，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：解方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0，得x1＝a﹣1，x2＝a+1，∵方程的两个根均为负数，∴解得a＜﹣1．∴a的取值范围为a＜﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．24．（6分）如图，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°，得到线段AE，连接BD，CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）连接DE，若∠ADB＝115°，求∠CED的度数．【分析】（1）根据等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAC＝60°，根据旋转的性质得AD＝AE，∠DAE＝60°，利用SAS理解求证结论．（2）由（1）得△ABD≌△ACE，进而可得∠AEC＝∠ADB＝115°，根据旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝60°，进而可得△ADE是等边三角形，则可得∠AED＝60°，进而可求解．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠BAD+∠DAC＝60°，∠EAC+∠DAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）解：由（1）得：△ABD≌△ACE，∴∠AEC＝∠ADB＝115°，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝115°﹣60°＝55°．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质、旋转的性质及等边三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．25．（5分）如图为一个拱桥横截面的示意图，跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．请你根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行探究．下面是探究过程，请补充完整：（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表：d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为0.88米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为2米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．（精确到0.1米）【分析】（1）根据函数的定义即可解答；（2）描点，连线，画出图象即可；（3）①观察图象即可得出结论；②求出抛物线的解析式，令h＝2解方程求得d的值即可得答案．【解答】解：（1）根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；故答案为：d，h；（2）描点，连线，画出图象如图：（3）①观察图象结合表知，桥墩露出水面的高度AE为0.88米；故答案为：0.88；②设根据图象，设二次函数的解析式为h＝ad2+bd+0.88，把（1，2.38），（3，2.38）代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为h＝﹣0.5d2+2d+0.88，令h＝2得：﹣0.5d2+2d+0.88＝2，解得d≈3.3（舍去）或d≈0.7，∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式．26．（6分）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+2（a＞0）的图象上，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）若M（2，﹣1），N（8，﹣1），则t＝5；（2）当x1＝﹣2，2＜x2＜3时，都有y1＞y2＞2，求t的取值范围．【分析】（1）根据，即可求解；（2）根据x1＜t＜x2，x1＜x2＜t，t＜x1＜x2，进行讨论求解即．【解答】解：（1）由题意得：抛物线的对称轴为：直线，∴t＝5，故答案为：5．（2）①当x1＜t＜x2时，t﹣x1＞x2﹣t，∵y1＞y2＞2，∴x2＞2t，，∵x1＝﹣2，2＜x2＜3∴＜t＜1．②当x1＜x2＜t时，则y1＞2＞y2与条件矛盾，③当t＜x1＜x2时，y1＜y2与条件矛盾，综上，当x1＝﹣2，2＜x2＜3时，都有y1＞y2＞2，求t的取值范围＜t＜1．【点评】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并正确理解题意是解题的关键．27．（7分）如图，点E在等边三角形ABC的边AB的延长线上．过点C作CD⊥AB于点D，将线段DE绕点E顺时针旋转120°得到线段EF．作点B关于点E的对称点G，连接CF，FG，CG．（1）①补全图形；②证明：AC∥EF；（2）∠CFG的度数是90°，请说明理由．【分析】（1）①根据题目描述补全图形即可，②根据旋转的性质即可证明；（2）取GH＝BD，由BE＝GE，可得∠DFH＝90°，∠CDF＝60°，进而得∠CDF＝∠EHF，由，，证△CDF∽△GHF即可解答．【解答】解：（1）①补全图形如下：②∵△ABC等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠AEF＝120°，∴∠A+∠AEF＝180°，∴AC∥EF．（2）如图，截取GH＝BD，∵BE＝GE，∵BD+BE＝EG+GH，∵线段DE绕点E顺时针旋转120°得到线段EF，∴DE＝EF，∴DE＝EH＝EF，∵∠HEF＝60°，∴∠EHF＝60°，∵DE＝EF，∴∠FDH＝30°，∴∠DFH＝90°，∠CDF＝60°，∴∠CDF＝∠EHF，∵，，∴，∵GH＝BD，∴，∴△CDF∽△GHF，∴∠CFD＝∠GFH，∴∠CF