第07讲 模型构建专题：中点模型之斜边中线、中点四边形（原卷版）-2024年九年级数学暑假讲义（北师版）

第07讲模型构建专题：中点模型之斜边中线、中点四边形中点模型是初中数学中一类重要模型，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义.常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④中位线模型；⑤直角三角形斜边中点模型；⑥中点四边形模型.本专题就中点模型的后两类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.模型1：直角三角形斜边中线模型定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，若AD为斜边上的中线，则：（1）；（2），为等腰三角形；（3），．图1图2拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）；（2）．模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）模型2：中点四边形模型中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形.中点四边形是中点模型中比较经典的应用.中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块.结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形．如图1，已知点M、N、P、Q是任意四边形ABCD各边中点，则四边形MNPQ为平行四边形.图1图2图3图4结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形）如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，则四边形MNPQ为矩形.结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形）如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，则四边形MNPQ为菱形.结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形．如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB，则四边形MNPQ为正方形.推广与应用1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和.2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的.【题型一利用斜边的中线等于斜边的一半求角度】例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在中，，大于长为半径画弧，直线与相交于点E，过点C作，与相交于点F，若，则的度数是．【变式1-1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，是斜边上的中线，度，则度．【变式1-2】（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，在和中，，为的中点，连接，，若，则．【变式1-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在四边形中，平分，，点，分别为，的中点，，，则的度数为（用含的式子表示）．【题型二利用斜边的中线等于斜边的一半求线段长】例2.（23-24八年级下·北京·期中）如图，公路，互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则．

【变式2-1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，分别为，的中点，点F在线段上，且．若，，则的长为．【变式2-2】（2024·陕西榆林·二模）如图，在矩形中，，点分别为边的中点，连接，点为上一动点，连接的延长线交于点，若，则的长为．【变式2-3】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点D到点O的最大距离是．【题型三利用斜边的中线等于斜边的一半证明】例3.（2024·北京·三模）如图，矩形，过点B作交的延长线于点E．过点D作于F，G为中点，连接．(1)求证：．(2)若，求的长．【变式3-1】（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长．【变式3-2】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，在四边形中，对角线，交于点，且，．(1)直接写出与的数量关系和位置关系；(2)当时，四边形是什么特殊四边形？并说明理由；(3)在（2）的基础上，过点作于点，连接，若，，求的长．【变式3-3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，四边形中，，点E在上，连接交于点K，于点F，交于点U，G为的中点，连接，且．(1)如图1，求证：；(2)如图2，当时，求的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，，，求的长．【题型四中点四边形中的规律探究问题】例4.（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，在菱形中，边长为1，．顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形，顺次连接四边形各边中点，可得四边形；…；按此规律继续下去．四边形的面积是．【变式4-1】（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形，若矩形的面积为15，那么四边形的面积为．

【题型五与中点四边形有关的证明问题】例5.（23-24八年级下·广西玉林·期中）已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．(1)四边形的形状是__________，证明你的结论．(2)如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足__________条件时，四边形是正方形，证明你的结论．【变式5-1】（23-24八年级下·江苏常州·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”．(1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________；A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．正方形(2)如图1，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，求证：四边形是“中方四边形”；(3)如图2，四边形是“中方四边形”，若的值为32，则的最小值是________．（不需要解答过程）【变式5-2】（21-22八年级下·浙江宁波·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________．A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．【变式5-3】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．【概念理解】：（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是______．A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．正方形【性质探究】：（2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系；【问题解决】：（3）如图2．以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”；【拓展应用】：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点．（4）试探索与的数量关系，并说明理由．（5）若，求的最小值．

一、单选题1．（2024·广东深圳·模拟预测）一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南岳阳·二模）如图，一块直角三角板的角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线上，若斜边与直线交于的中点E，则的大小为（

）A． B． C． D．3．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（

）A． B． C． D．4．（2024·浙江绍兴·二模）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于，是边的中点，连接，若，菱形的面积96，则的值是（

）A． B． C． D．5．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点为平面内一个动点，线段，，，的中点分别为M，N，P，Q，在点的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形是平行四边形；②存在无数个中点四边形是菱形；③存在无数个中点四边形是矩形；④存在无数个中点四边形是正方形．其中，所有正确的有（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④二、填空题6．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，是BC的中点，若，则．7．（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点，于，连接，则度．8．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，是高，，E，F分别为，的中点，若，则的度数为（用含α的式子表示）．

9．（23-24八年级下·广东河源·期中）如图，四边形的两条对角线、互相垂直，将四边形各边中点依次相连，得到四边形，若四边形的面积为15，则四边形的面积为．10．（23-24八年级下·陕西安康·期中）如图，在矩形中，E，F分别是边，上的动点，连接，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是．三、解答题11．（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，在四边形中，，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若，，，求的长．12．（23-24八年级下·山西大同·期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AC平分．(1)求证：四边形ABCD是菱形．(2)过点C作交AB的延长线于点E，连接OE交BC于点F，若，求的度数．13．（22-23八年级下·山西吕梁·期中）如图，在四边形中，对角线，，且，垂足为O，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，…如此下去得到四边形．(1)判断四边形的形状，并说明理由．(2)求四边形的面积．(3)直接写出四边形的面积（用含n的式子表示）．14．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）小亮把以边所在直线为对称轴翻折得到，这两个三角形组成四边形（如图1），这是一种特殊的四边形——筝形，请你根据学习平行四边形的经验来研究筝形．(1)首先请你给出筝形的一种定义：______；（文字语言描述）(2)如图1，在边、角、对角线的关系方面直接写出两条对筝形性质的猜想（定义除外）；(3)如图2，在筝形中，P，Q，R，T分别为边的中点．求证：四边形是矩形．15．（23-24八