第01讲 菱形的性质（原卷版）-2024年九年级数学暑假讲义（北师版）

第01讲菱形的性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．掌握菱形的概念和菱形的性质以及菱形的面积公式的推导；2．能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明；3．在进行探索、猜想、证明过程中，进一步发展推理论证的能力，体会证明的必要性.一、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.考点一：菱形的性质例1．（2024八年级下·全国·专题练习）下列选项中，菱形不具有的性质是（

）A．四边相等 B．对角线互相垂直C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角【变式1-1】（23-24八年级下·河南商丘·期中）关于菱形的性质，下列说法不正确的是（

）A．四条边相等 B．对角线互相垂直C．对角线互相平分 D．对角线相等【变式1-2】（2024八年级下·全国·专题练习）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直【变式1-3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列性质中菱形具有而平行四边形不具有的是（

）A．对角线互相平分 B．两组对角分别相等C．面积为底与高的积 D．每一条对角线平分一组对角考点二：利用菱形的性质求角度例2.（2024·陕西西安·三模）如图，点E是菱形的对角线上一点，连接，若，，则的度数为．【变式2-1】（2024·重庆九龙坡·二模）如图，在菱形中，，依次连接各边中点，得到四边形，则°．【变式2-2】（2024·四川成都·二模）如图，在菱形中，，分别是，上的点，且，连接，．若，，则的大小为．【变式2-3】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为．考点三：利用菱形的性质求长度例3.（2024·重庆·二模）如图，在菱形中，过点作交AC于点，若，则的长是．【变式3-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形中，，点E在边上，点F在边上，且，若，则．【变式3-2】（23-24八年级下·河南信阳·期中）中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于E、F，则的长为．

【变式3-3】（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在菱形中，，，分别是上的动点，连接，分别为，的中点，连接，则的最小值为．考点四：利用菱形的性质求面积例4.（23-24八年级下·北京东城·期中）在菱形中，若，周长是16，则菱形的面积是．【变式4-1】（2024·陕西榆林·二模）已知在菱形中，，对角线与相交于点O，若，则该菱形的面积为．（结果保留根号）【变式4-2】（23-24八年级下·新疆伊犁·期中）如图，在菱形中，、相交于点，为的中点，且，则菱形的面积是．【变式4-3】（23-24八年级下·河北承德·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是边，的中点，连接．若，则(用含的代数式表示)；若，，则菱形的面积为考点五：利用菱形的性质求坐标例5.（2024·河南南阳·二模）如图，将菱形绕其对角线的交点顺时针旋转后，再向右平移3个单位，则两次变换后点C对应点的坐标为（

）A． B． C． D．【变式5-1】（2024·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线的中点O在坐标原点上，，轴，将菱形绕点O旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的对应点的坐标是（

）

A． B． C． D．【变式5-2】（2024·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，顶点都在第一象限，若，则顶点的坐标为．【变式5-3】（2024·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标是．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是．

考点六：利用菱形的性质求解折叠问题例6.（2024九年级下·江苏南京·专题练习）如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为．【变式6-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，，，M是上，，N是点上一动点，四边形沿直线翻折，点C对应点为E，当最小时，．【变式6-2】（23-24九年级下·宁夏银川·期中）如图，在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知，，则的度数为．【变式6-3】（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，．（1）．（2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为．考点七：利用菱形的性质求解动点问题例7.（2024·北京朝阳·二模）如图1，在菱形中，，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段运动到点P，再沿线段运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x，，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则菱形的边长是（

）

A． B．4 C． D．2【变式7-1】（2024·山东聊城·三模）如图1，点从菱形的边上一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到点停止，设点的运动路程为，点到的距离为到的距离为，且（当点与点重合时，），点运动时随的变化关系如图2所示，则菱形的面积为（

）

A． B． C．10 D．8【变式7-2】（2024·广东深圳·三模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的边长为（

）A．5 B．6 C． D．【变式7-3】（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（

）A． B． C．9 D．考点八：利用菱形的性质证明和求解综合问题例8.（2024·湖北武汉·二模）如图，已知E、F分别是的边上的点，且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若四边形是菱形，且，求的长．【变式8-1】（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）在菱形中，对角线相交于点，过点作于点，交于点．(1)求的度数；(2)①求证：；②若，求的长．【变式8-2】（2024八年级下·全国·专题练习）在菱形和等边中，，P是的中点．(1)如图1，点G在边上时，①判断的形状，并证明；②请连接，若，，求的长；(2)如图2，当点F在的延长线上时，连接、．试判断、有怎样的关系，并给予证明．【变式8-3】（2024·江西九江·二模）课本再现如图1，四边形是菱形，，．（1）求的长．应用拓展（2）如图2，为上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．①直接写出点到距离的最小值；②如图3，连接，若的面积为6，求的长．一、单选题1．如图，在菱形中，，则等于（

）A． B． C． D．2．如图，菱形的对角线，相交于点O．若，则（

）A． B．3 C． D．3．如图，在菱形中，作垂直平分，垂足为，交于点，连接，若，则等于（

）A． B． C． D．4．如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线，与交于点，连接，若，直线恰好经过点，则的长为(

)A． B． C． D．5．如图1，在菱形中，对角线交于点O，，，点P沿从点B匀速运动到点D．设点P的运动距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的横坐标a的值为（

）

A． B． C． D．3二、填空题6．菱形的对角线长12和16，则菱形的周长．7．如图，在菱形中，对角线与交于点，若，，则菱形的面积等于．8．如图，菱形的对角线交点是坐标原点，已知点，则点的坐标为．9．如图，在菱形中，点E，F，G分别在，，上，，．若菱形的边长为6，则的长为．10．如图，在边长为2的菱形中，，点M是的中点，连接，将菱形翻折，使点A落在线段上的点E处，折痕交于点N，则线段的长为．三、解答题11．如图，在菱形中，于点E，于点F，连接．(1)求证：；(2)若，求的度数．12．如图，在菱形中，点E是的中点．(1)请仅用无刻度的直尺作图，作出边的中点F；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接，点G是的中点，连接，若的面积为3，求菱形的面积．13．如图，在菱形中，，点E，F分别在上，且．(1)求证：；(2)若，试求出线段的长，并说明理