高考数学神奇解题方法

神奇巧解技巧——高考数学选择题

例题与题组

一、数形结合

画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思

维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。

[«、（07江苏6）设函数定义在实数集上，它的图象关于直线x1

对称，且当x1时，/（%）3'1,则有（）t>

A、/(I)32

-Y一Y-

323

C、/⑵Y-Y-

13

332

【解析】、当x1时，/(%)3*

图象关于直线x1对称，则图象如图所示。

这个图象是个示意图，事实上，就算画出

f（x）\x1|的图象代替它也可以。由图知，

符合要求的选项是B,

【练习1】、若P（2,-1）为圆（xI）2>225的弦AB的中点，则直线AB

的方程是（）

Axxy30B、2尤y30C>xy10D、2xy50

（提示：画出圆和过点P的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A）

20的

xy

,则

y

X1

【练习2】、（07辽宁）伊变量X、>满足约济条件

x)'70

取值范围是（）

A、晨C、,3

D、3,6

9

5B、

5

i

（提示：把匕看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案，选

X

Ao）

C、（5,）D、（5,3）

12124J

（提示：事实上不难看出，曲线方程、

y14x（x2,2）的图象为

x2（yI）24（2x2,1y3）,表示以（1,0）为圆心，2为半径的上半圆，

如图。直线yk（x2）4过定点（2,4）

【练习4］、函数y|x|（lx）在区间

A上是增函数，则区间八是（）

_1

A、,0B、

0,

（提示：作出该函数的图象如右，知应该选B）

\x|y|与直线y2xm

【练习5】、曲线।1

23

有两个交点，则血的取值范围是（）

A、加4或m4B、4m4

C>m3或m3Dx3m3

（提示：作出曲线的图象如右，因为直线

2

y2与其有两个交点，则加4或加4,选A)

xm

【练习6],(06湖南理8)设函数/(%)二，集合Mx|/W

AX'

1

Px\f(x)，若M尸，则实数”的取值范围是4--4-----

Y>

A、(,1)B、(0,1)C、(1,)D、[1,)

(提示：数形结合，先画出/(x)的图象。()1111

Y

由图象知，当a时函数/㈤在(1,)上递增，八x),同时/(x)的

解集为(17)的真子集，选C)—-—

【练习7】、(06湖南理10)若圆//以分属飞也至少有三个不同的点

到直线/:依by处距离为22,则直线/的倾斜

B、，56

A、|212C、，D、0,

12463

2

(提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为a

(x2)(y2)(32),由题意知，圆心到直线

222

的距离d应该满足0d2,在已知圆中画一个半

径为2的同心圆，则过原点的直线/:以by0与小圆有公共点，.•.选B。)

3

【练习8】、（07浙江文10）若非零向量a,b满足|a-b|=|b|,贝U（

A、|2b|>|a-2b|B、|2b|<|a-2b|

C、|2a|>|2a-b|D、|2a|<|2a-b|

（提示：关键是要画出向量a,b的关系图，为此

先把条件进行等价转换。|a-b|二|b||a-b|

2b）=0|b|2+b2-2ab=b

a±（a-2b），又a-（a-2b）=2b,所以|a|,|a-2b|,

12bl为边长构成直角三角形，|2b|为斜边，如上图，

,-.|2b|>|a-2b|,选A。

另外也可以这样解：先构造等腰4OAB,使OB=AB,

再构造R^OAC,如下图，因为OC>AC,所以选A。）

【练习9]、方程cosxtgx的实根的个数是（）

A、1、出、2C、3D、4

-1______________________________________——]

（提示:，如图，

4

由两个函数图象的交点的个数为3,知应选C）

【练习10］、（06江苏7）若A、B、C为三个集合，4J,则一定有（

ZACB、CAC、ACD、A

（提示：若ABC，则AA

成立，排除C、D选项，作出Venn图，可知A成立）

【练习11］、（07天津理7）在R上定义的函数/（X）是偶函数，且

fXfX。若/（x）在区间［1,2］上是减函数，则/（x）（）

（）（2）

A、在区间卜2,-1］上是增函数，在区间［3,4］上是增函数

B、在区间卜2,-1］上是增函数，在区间［3,4］上是减函数

C、在区间12,-1］上是减函数，在区间［3,4］上是增函数

D、在区间12,-1］上是减函数，在区间［3,4］上是减函数

（提示：数形结合法，/⑴是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结

论，如下左图知选B）

-2-191234X

【练习12］、（07山东文11改编）方程3⑴2X的取值区间是（）

0

XX

的解

2

A、（0,1）B、（1,2）C、（2,3）D、（3,4）

5

32

（提示：数形结合，在同一坐标系中作出函数⑷

yxy，的图象，则立

2

刻知选B,如上右图）

二、特值代验

包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置和特殊图形，代入或者比照选项

来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。

陋题、（93年全国高考）在各项均为正数的等比数列

a中，若aa

n

569

贝logalogaa)

313210

J□口••口□…

A、12B、10C、8D、2log5

3

【解析】、思路一（小题大做）：由条件有9aq452代从而

ii

aaq

231011012(F9)5310

所以原式=log(tzaog3I010,选B。

3123

思路二（小题小做）：由9aaaaaaaaaa知

YY原式

56473829io

=log{aa)5ylog3,03,选较Y—

3563

思路三（小题巧做）：因为答案唯一，故取一个满足条件的特殊数列

3,q1即可，选Bo

，则下列命题中正确的是（）

【练习1】、（07江西文8）若0

_2

Avsinx2B、sinx2C>sin3D、sinx3

（提示：取x,验证即可，选B）

63

【练习2】、（06北京理7）设/（〃）2242721。3"|。(〃N),则f(n)

A、2(8"1)B、2(8"11)C、2(8〃31)D、2(41)

7777

(提示：思路一：f(n)是以2为首项，8为公比的等比数列的前〃4项

6

的和，

所以.8)>，选D。这属于直接法。

n4

/.(〃)(〃1)

n4

187

34,对照选项，

思路2:令〃f471021(2)24

o,贝ij

(0)2222

(81)。

127

只有D成立。)

【练习3】、(06全国1理9)设平面向量a、a2sa?的和a1+a2+a3=0,如果

平面向量如、b2xb3满足|bi|=2|ai|,且ai顺时针旋转30以后与b同向，

其中i=1、2、3贝ij()°

A、-bi+b2+b3=0B、b「b2+b3=0C、bi+b2-b3=0D、bi+b2+b3=0

(提示：因为ai+a2+a^=0,所以a1、次、a3构成封闭三角形，不妨设其为正

三角牛，则b实际上胡三角形顺耳钎旋转30后再任k各边延长2倍,仍为

封电要联电Lu/土三*

【练习4】、若.f(x)a\a,f'(2)则fi(x1)的图象是()

A、B、C、D、

(提示：抓住特殊点2,f<2)，所以对数函数/«)是减函数，图象往

左移动一个单位得1),必过原点，选A)

【练习5］、若函数yf(x1)是偶函数，则)，/(2x)的对称轴是()

A、x0B>x1C、1

xD、x2

2

（提示：因为若函数yf{x1）是偶函数，作一个特殊函数y（%I>，则

7

yfx变为y(2xI)2,即知y/(2x)的对称轴是一1

(2)x,选C)

2

【练习6】、已知数列｛aj的通项公式为an=2e,其前n和为Sn,那么

1n=

CnSi+Cn2s2+…+CnSn()

A、2n-3nB^3n-2nC、5n-2nD、3n-4n

(提示：愚蠢的解法是：先根据通项公式an=2e求得和的公式Sn,再代

入式子CnSl+Cn2s2+...+Cn6n,再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解，有些

书上就是这么做的！其实这既然是小题，就应该按照小题的解思路来求做：令

n=2,代入式子，再对照选项，选B)

【练习7】、(06辽宁理10)直线y2k与曲线9k2/俨(kRkj)

的公共点的个数是()

A、1B、2C、3D、4

11

F2

(提不：取々1,原方程变为X，这是两个椭圆，与直线y2有4

(1)1

9

个公共点，选D)

【练习8】、如图左，若D、E、F

三棱锥S-ABC的侧棱SA、SB、

且SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:1,那么平

面DEF截三棱锥S-ABC所得的上下两部分

的体积之比为()

A、4:31B、6:23

C、4:23D、2:25

(提示：特殊化处理，不妨设三棱锥S-ABC是棱长为3的正三棱锥，K是

FC的中点，丫vvV分别表示上下两部分的体积

1,21,2

8

贝Ij2(2)228，选C)

V~SR-―一K84-T

SDEFsDEF,1

VS3/z3327V2784

___23_____

SABCSABC2

【练习9】、3BC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,

OHm(OAOBOC),则的取值是()

A、T一BTLC、-2D、2

（提示：特殊化处理，不妨还ABC为直角三角形，则圆心O在斜边中点处，

此时有OHOAOBOC,m1,选B。）

AYYYYYYA

【练习10］、双曲线方程为尤2匕

1,则人

的取值范围是（）

k25k

A>kB、2C、2D、2或k

（提示：在选项中选一些特殊值例如k6,0代入验证即可，选D）

三、筛选判断

包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证，或者逻辑排除法，

即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。

【例题】、设集合A和B都属于正整数集，映射f:A8把集合A中的元

素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，像20的原像是（）

A、2B、-3C、4D、5

【解析】、经逐一验证，在2、3、4、5中，啤公产合方程2“〃=20,选Co

【练习1】、（66安徽理6）将函数y—sinp/------}*

的图象按向量a=（,0）平移以后的图象如图所示,则'

6

平移以后的图象所对应的函数解析式是（）

7A、ysin(x)B、ysin(x)

6612

C、ysin(2x3)Dxysin(^)

(提示：若选A或B,则周期为2,与图象所示周期不符；若选D,则与“按

向量a二（一，0）平移”不符，选C。此题属于容易题）

6

【练习2】、（06重庆理9）如图，单位圆中A8的（

长度为X,/（X）表示A8与弦AB所围成的弓形的面破

2倍，则函数y/（x）的图象是（）X

X

A2222

11

(x“sin)(xsinx)，当x(0,)时，

22

sinx,贝ljxsinx,其图象位于yx下方；当尤,2)时，sinx

xsinx，其图象位于yx上方。所以只有选D。这种方法属于小题大作。

解法2结合直觉法逐一验证。显然，面积/（幻不是弧长x的一次函数，

排除A；当x从很小的值逐渐增大时，/（x）的增长不会太快，排除B；只要x

则必然有面积/（x），排除C,选D。事实上，直觉好的学生完全可以直接选

D)

【练习⑶、十）6天津文8）若椭圆的中心点为E（-1,0）,它的二个焦点为

F（-3,0）,相应于焦点的准线方程是7

x，则这个椭圆的方程是（）

-2

A2(1)22（%1）2），（x1）（x2

A、x2,2222

dI」1

C、5yl5

B、

1

1213

213

（提示：椭圆中心为（-1,0），排除A、C,椭圆相当于向左平移了1个单

位长度，故c=2,出1\一,d5,选D）

c2

10

【练习4】、不等式上”的解集是（）

A、（1,0）B、（,1）

UU

C、（1,0）D、（,1）

（提示：如果直接解，差不多相当于一道大题！取x2,代入原不等式，

成立，排除B、C;取x2,排除D,选A）

【练习5】、（06江西理12）某地一年内的气温J八/\

Q（t）（℃）与时间t（月份）之间的关系如右图,,/匚―1H

已知该年的平均气温为10℃o令C（t）表示时间

段［0,t］的平均气温，C（t）与t之间的函数关系

如下图，则正确的应该是（）

（提示:由图可以发现,t=6时，C（t）=0,排除C;t=12时，C（t）=10,

排除D;t>6时的某一段气温超过1CTC,排除B,选A。）

【练习6】、集合M（2»1）\nZ与集合N（4k1）\k

Z之间的关系是

（）

A、MNB、MNC、MND、MN

（提示：C、D是矛盾对立关系，必有一真，所以A、B均假；2〃1表示全

体奇数，4k1也表示奇数，故用N且B假，只有C真，选C。此法扣住了概

念之间矛盾对立的逻辑关系。

当然，此题用现场操作法来解也是可以的，即令k=0，士1,±2,±3,然

11

后观察两个集合的关系就知道答案了。）

I~2~A-41

【练习7】、当x4,0时Y

axxx恒成立，贝力的一个可能的

3

值是（）--

A、5B、,C、'

3

D、5

3

（提示：若选项A正确，则B、C、D也正确；若选项B正确，则C、D也正

确;若选坪C甲,则D也正确。选D）

【练习8】、（01广东河南10）对于抛物线y24x上任意一点Q,点P（a,

0）都满足PQa,贝I”的取值范围是（）

A、,0B、（,2]C、[0,2]D、（0,2）

（提示：用逻辑排除法。画出草图，知a<0符合条件，则排除C、D;

又取“1,则P是焦点，记点Q到准线的距离为d,则由抛物线定义知道，此

时a<d<|PQ|,即表明。1符合条件，排除A,选B。另外，很多资料上解此题

—IIII—

是用的直接法，照录如下，供“不放心”的读者比较——

y

设点Q的坐标为匕2

（,）yaa,整理

。y，由PQ~a得一

得Q(0尸2

0

44

a

y22y

0(0168)0

yy

,/科，：.8168022

----0y----aa二-------2°的最小值是2,二

，即.恒成立，而8

0

8

a2,选B)

X

【练习9】、(07全国卷I理12)函数/(x)cos2%cos2的一个单调增区间是

2

()

A、,2

B、，C、0,

33623D、，

66

12

（提示：“标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组，再结合图象解得的，

选A。建议你用代入验证法进行筛选：因为函数是连续的，选项里面的各个端

点值其实是可以取到的，由/（一）f（）,显然直接排除D,在A、B、C中只

66

要计算两个即可，因为B中代入——

—Y—会出现，所以最好只算A、C、现在就验

612

算A,有（）2，符合，选A）

f

33

四、等价转化

解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化，要

通过必要的训练，达到见识足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题

中这一点显得尤其重要。下

陋题、（05辽宁12）一给定函数y/（%）的图象在下列图中，并且对任

意«fa得到的数列满足，则该函数的图

,由关系与yyavN

二；L二

A

ACB、C、D、

【解析】问题等价于内函数y/(x)图'象上任一曲(演/都满足yx,只能选A。

【练习1】、设sincos，且SirP+COS30,贝加的取值范围是()

A、［-2,0)B、［2,：4

C.(-1,0)(1,2］D,(-3,0)(3,)

(提示：因为sir)3+cos3=(sin+cos5)(sin2-sincos+cos2),

而sirv-sincos+cos2>0恒成立故sir)3+cos3ot<0,选A。

另解：由sin3+cos3o知非锐角，而我们知道只有为锐角或者直角时

13

sincos『2,所以排除B、C、D,选A）

2,

【练习2】、尸1,22是椭圆幺的左、右焦点，点|了昭―1的

4P在椭圆上运动，则।'1

y1

最大值是（）

A、4B、5C、1D、2

（提示：设动点P的坐标是（2cos,sin），由1,2

jFF是椭圆的左、右焦点得

则

jL3,0)

22

PFPF1(2cos3,sin)3,sin)|14cos3sin|

12

|3cos2|2,选D。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求

2I------

最值的问题。特别提醒：下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的

Y

|PF|\PF|

PFPFYYYaYYY

2)

124

I2

2

【练习3】、若log2

，贝儿

Y上---<YYY

A、0B、0C、D、b

Y

1-^b

下

（提示：利用换底公式等价转化。

AAAAAAc

lg2lg2

log2AO，选B）

ab

lglg

【练习4】、a,b,c,dR,且dbcd.ad，则（）

A、dB、b

C、bD、b

（提示：此题条件较多，又以符号语言出现,

令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化”，

如图，用线段代表a/,c,d,立马知道选C。当然

14

这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化”，分别用数字1,4,

2,3代表"也c,乩容易知道选Co也许你认为对策一的转化并不等价，是的，

但是作为选择题，可以事先把条件）,Ac,dR”收严一些变为Ro

XX上单调递增,

【练习5】、已知若函数f（x）sinsin

在，

2243

则的取值范围是（―）

A、0,2B、0,3C、0,2

-3--2—D、2,——

（提示：化简得（）Isin上递增，

f%x,"."sinx,

222

上单调递增

Xx,而/(x)

在，

2222

43

,又••.选B)

3

,,0

43222

【练习6】、把10个相同的小球放入编号为1,2,3的三个不同盒子中，

使盒子里球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（）

1

33

A、CB、cC、CD、2

2C

6699

2

（提示：首先在编号为1,2,3的三个盒子中分别放入0,1,2个小球，

则余下的7个球只要用隔板法分成3堆即可，有c?种，选B;如果你认为难以

6

想到在三个盒子中分别放入只0,1,2个小球，而更容易想到在三个盒子中分

别放入只1,2,3个小球，那也好办：你将余下的4个球加上虚拟的（或日借

来的）3个小球，在排成一列的7球6空中插入2块隔板，也与本问题等价。

【练习7］、方程XXXX

的正整数解的组数是（）

I23412

A、24B、72C、144D、165

（提示：问题等价于把12个相同的小球分成4堆，故在排成一列的12球

15

11空中插入3块隔板即可，答案为CR165,选D）

【练习8】、从1,2,3,…，10中每次取出3个互不相邻的数，共有的取

法数是（）

A、35B、56C、84D、120

（提示：逆向思维，问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的

7个数的8个空中，那么问题转化为求从8个空位中任意选3个的方法数，为

G56,选B）

3

axbx\

2

【练习9】、（理科）已知lim3,则”（）

X1

x1

A、4B、-5C、-4D、5

（提示:逆向思维，分母（龙1）一定是存在于分子的一个因式，那么一

2,

定有axbx1（x1）（〃'X1)a/(101,.,.必然有人(1a)

且

axbx\

2

lim\im（ax1）,.\a113a4,：.b5,选B)

x1

X1X1

【练习10］、异面直线，〃所成的角为60,

1■

过空间一点0的直线/与〃y，所成的角等于60,

则这样的直线有（）条>1YY

A、1B、&C、3D、4

（提本*报异面直线加，〃彳移到过点O的位罩，3己他们所确定阿面为A,则

问题等价于过点O有多少条直线与〃£〃所成的角等于60，如图，恰有3条，选

C）

【练习11］、不等式立bxC的解集为X1，那么不等式

a{x1)b(x1)c的解集为()

2

A、xOB、xxC、x2D^xx

16

(提示：把不等式ad1)b(x1)>c化为a(xI)2b(xa)c,其结构与

原不等式五bxg-相同，则只须命Y1Y,得0Y，选A)

五、巧用定义

定义是知识的生长点，因此回归定义是解决问题的一种重要策略。

【例题】、某销售公司完善管理机制以后，其销售额每季度平均比上季度增

长7%,那么经过x季度增长到原来的y倍，则函数y〃幻的图象大致是()

数，其中，所以选D。

【练习1】、已知对于任意R,都有/(尤)/(y)密」班一丁)，且

/(0)0,则“X)是()

A、奇函数B、偶函数C、奇函数且偶函数D、非奇且非偶函数

(提不：令y0,则由/(0)0得/(0)1；又令yx，代入条件式可得

/(x)/(x),因此/(x)是偶函数，选B)

【练习2】、点M为圆P内不同于圆心的定点，过点M作圆Q与圆P相切，

则圆心Q的轨迹是()

A、圆B、椭圆C、圆或线段D、线段厂夕、

(提示：设。p的半径为R,p、M为两定点，那I

么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数，，由椭圆定义知圆

心Q的轨迹是椭圆，选B)

【练习3】、若椭圆之。占醯17寸(1I)下

有焦点，椭圆上有

22

1

43

一点M7幽MP|+2|MF|最小，则点乂为()一厂

A、(26,1)B、(1,3)厂、(1,3)_D.(26,1)

3223

(提示：在椭圆中，a2,b3,则1,1

ceC，设点M到右准线的距离

a2

为|MN|,则由椭圆病第二定义知，||1||2||

MF

__>>MNMF,从而

\MN\2

\MP\2\MF\\MP\|岬叮],这样，过点P作右准线的垂直射线与椭圆的交点即

为所求M点，知易M(26,1)

，故选A)

3

xy

【练习4】、设1,222

~FF曾双理线221(。的左、右焦点，P

萧泮111

-------1|

普通支上写意「点，若名

的最勺值讲a।甲该p又曲线的离心率型取值1

PF

1

围是()

A、[2,3]B、(1,3]C、3,D、1,2

皿_PFaPFa%A4a

(提小：(2)4i_r__v^2PF，即

Fb,225'

8a,当且仅当。卜I

PF

PF

I1

PFPFaPFPFFF,得6a2c,：A

a,时取等于号，又，选

!2241212

B)

【练习5】、已知P为抛物线产©上任一动点，记点P至心轴的距离为d,

对于给定点A(4,5),|PA|+d的最小值是()

A、4B、34C、171D、341