高中数学试题：米勒问题

2.1米勒问题

i.米勒问题和米勒定理

1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什

么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上

100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题,

因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下：

米勒问题：已知点儿8是角M0N的边上的两个定点，点C是边。舷上的动点，则

当C在何处时，角ACB最大？

对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。

米勒定理：已知点儿8是角MON的边0"上的两个定点，点c是边5步上的一动点,

则当且仅当三角形ABC的外圆与边0M相切于点C”寸，角ACB最大。

证明：如图1,设c*是边O加■上不同于点C的任意一点，连结「凡03,因为角AC，

B是圆外角，角ACB是圆周角，易证角ACB小于角ACB,故角ACB最大。

图1

根据切割线定理得，OC2=C)A[DB,即OC=《OAIDB,于是我们有：角ACB最

大等价于三角形ABC的外圆与边。龙f相切于点C等价干等价于OC=JOAIDB。

2.米勒定理在解题中的应用

最大视角问题在数学竞赛、历届高考和模拟考试中频频亮相，常常以解析几何、平面几

何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用

米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从

而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化

力。下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用0

2.1用米勒定理确定最大视角的点的位置

例1（1986年全国高考数学试题理科第五大题）如图2,在平面直角坐标系中，在，轴

的正半轴上给定两定点AS,试在X轴的正半轴上求一点C,使拉力以取得最大值。

分析：这是一道较早的“米勒问题”的高考题，该题背景简单解题思路入口宽解法多样，

是一道难得的好题。若用米勒定理求解则可一步到位，轻而易举地拿下此题

简解:设由米勒定理知，当且仅当0C=J0A70B疝时，

最大,故点C的坐标为C（向,0）

例2如图3,足球场长100米，宽60米，球门长7.2米,有一位左边锋欲射门，应在

边力8的何处才使射门角度最大？

解：依题意"=30+3.6=33.6/0=30-3.6=264,由米勒定理知当

MA=JAP-AQ=J336x264w29.78（米）时，最大。故边锋应在边距

约29.78米处射门才能使射门角度最大。

图3图4

图5

例3(2004年全国数学竞赛试题)在直角坐标系中，给定两点M(L4)，N(-L2),在X

轴的正半轴上求一点P,使最大，则点户’的坐标为。

解：如图4,设直线⑷与X轴相交于点的0,则必=(-X-1.2),W=(2,2),

因为国口NM,所以20D=4所以x=-3,所以*3.0),由两点间的距离公

式得AN=2也AM=4&,由米勒定理知，当且仅当

AP=4ANUMd?404时，顼以w最大，此时点F的坐标为(1.0)。

2.2用米勒定理探索最大视角的条件

例4(2010年高考江苏理科第17题)某兴趣小组要测量电视塔♦£的高度，(单位:

冽)，如示意图5,垂直放置的标杆3c的高度以=4掰，仰角BEa,^ADEbo

(1)该小组已测得一组a》的值，算出了t3na=1％,tanb=120,请据此算出力的值；

(2)若该小组分析若干测得的数据后，认为适当调查整标杆到电视塔的中距离”(单位：

加)，使0，6之差较大，可以提高测量精度。若电视塔的实际高度为125W,试问“为多

少时，a-b最大?

解：(2)设x,由米勒定理知，当且仅当,'=ABUAD即d(x+d)=125”①

x_4

时，？Z)砂a-b最大。又由DD8C口DDAE得,x+d125②，①‘②得，

xd=125D4,将其代入①得，d2-125J-125?4125D121,所以d=554㈣，

故当d为55&时，a-b最大。

点评：第(2)问以实际应用和平面几何为背景考查最大角问题，本解法以米勒定理和

相似三角形等知识为突破口，结合方程思想求解，综合性强能力立意高有一定难度。

23用米勒定理求最大视角或其三角函数值

工+J1

例5（2001年希望杯数学竞赛培训题）4尸是椭圆42的左右焦点，,是椭圆

的准线，点尸i/,'EPFa,求a的最大值。

解：如图6,易求得£（,々.0）.5（0.o）,不妨设/为左准线交x轴于点〃，则其方

程为x=-2&，ME=>/2tMF=入份，由米勒定理知，当且仅当

MP->1MEIMF\I-J273yf2”时，？EPFa最大。当a最大值时，

tanZ.PEM=竺=3tanZ.PFM=—=—

MEMF3,因为NEPF=々EM-4PFM,由

由UEM-即UFM痒亭

tanZ.EPF=

1+tan£PEMtanZ.PFM[+抬V33

差角的正切公式得,3,所以a

最大值为30"。

yk

MEO

图6

更一般地我们有如下结论:

/V3

例6设尺尸是椭圆/宜=电小。）

的左右焦点，P是椭圆准线上的动点,

乙取吆=6,椭圆的离心率是G,则6为锐角且sinewk（当且仅当点P到椭圆的长轴的

距离为C时取等号）。

ME=-c,MP=—r+c

证明：设准线交x轴于点M,则cc由米勒定理知，当且

MP=>1MEIMFJ(--e)(—+<r)=--

仅当vccc时，6为锐角且最大。当6最

tanZA/PF=—,tanZAff>£=—

大值时，-•-MP,又8=jPF-jPE,由差角的正切

公式得，

MFME

tanZMPF—tanAMPE~MPMPMF-ME勿

[+的/MPF-由^MPE=,工期MS=2MP=26rj—J

MPMPc

c2_?

b^/a2―/,

2

sin0=.一==—=

所以网『-h，。故8为锐角且(当且仅当点P到椭

-^77

圆的长轴的距离为C时取等号)。

tana=一

点评：由例6结论知，当。取最大值时有b或sin&=e,易求得a最大值为30\

2.4用米勒定理求视角最大时有关线段之比

W+L1

例7（2006年全国高中数学竞赛题）已知椭圆42的左右焦点是&F,点P在

直线x-扬+8+2&=0上，当£后尸尸最大时，求闷|：眼|

解：如图7,设直线与X轴相交于点MG8-2J5.0）,

易求得典动,°）/（动，°）,则M?=8,MF=8+4亚由米勒定理知，当且仅当

MP=JMEIMF48?（84我=4（6+1）时，£EPF最大，此时△尸郎的外拉圆

与直线相切于点户，由弦切角定理得？QMFP,又，PME口PMF,所以

PR一破一4（省+1）一>1

DMPEODMFP,所以"MF47+8。

点评：本解法不仅用到米勒定理的结论，而且还要熟悉定理证明的几何背景及图形间的

内在联系，用相似三角形对应边成比例求线段比，运算量小解法简单快捷。

2.5用米勒定理求视角最大时的综合问题

例8设8是椭圆的短轴顶点，总是椭圆焦点户相应的长轴顶点。证明当且仅当椭圆为

=51

黄金椭圆（离心率2的椭圆）时，BABF最大,且最大角的正弦值为2。

解：如图8,由米勒定理知，当且仅当08'=Of[IM时，DA8F最大。故以，

所以ac=a-c,所以c+ac-a=0,即。a,

图8

y/5-1

即e+a-1=0①，解得2,故当且仅当椭圆为黄金椭圆时，