五年级奥数第06讲-分类数图形（教）

学科教师辅导讲义

学员编号：年级：五年级课时数：3

学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：

授课主题第06讲一一分类数图形

授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结

①认识了解线段、角、三角形、长方形等基本图形；

教学目标②学会数基本图形的个数；

③掌握数图形的规律。

授课日期及时段

T(Textbook-Based)--------同步1果堂

知识梳理

一、学会数图形

同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必

须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。

要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，

然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。

当我们识了线段、角、三角形、长方形等基本图形后，这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂

的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用

有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。

二、解题策略

要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：

i.弄清被数图形的特征和变化规律。

2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。

典例分析

考点一：基本图形

例1、数出下图中有多少条线段？

ABCD

【解析】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD3条;

以B点为左端点的线段有：BC、BD2条；以C点为左端点的线段有：CD1条。所以，图中共有线段3+2+1=6

（条）。

方法二：把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、

CD3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD2条；由3条基本线段构成的线段有：AD1条。所以，图

中一共有3+2+1=6（条）线段。

例2、数出图中有几个角？

【解析】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。

方法一：以0A为一边的角有：NAOB、/AOC、/AOD3个；以0B为一边的角还有：

ZBOC>ZBOD2个；以0C为一边的角还有：ZCOD1个。所以，图中共有角3+2+1=6（个）。

方法二：把图中NAOB、NBOC、/COD看做基本角来数，那么，由1个基本角构成的角有：NAOB、ZB0C,

NC0D3个；由2个基本角构成的角有：ZA0C>NB0D2个；由3个基本角构成的角有：NA0D1个。所以,

图中一共有3+2+1=6（个）角。

例3、数出右图中共有多少个三角形？

ABD

【解析】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以PA为边的三角形有：APAB、APAC,APAD,3个；

以PB为边的三角形还有：APBC、APEDZ个；以PC为边的三角形还有：4PCD1个。所以，图中共有三角

形3+2+1=6（个）。方法二：把图中三角形APAB、APBC>4PCD看做基本三角形来数，那么，由1个基本

三角形构成的三角形有：ZXPAB、APBC>ZXPCD3个；由2个基本三角形构成的三角形有：△PAC、APBD2

个；由3个基本三角形构成的三角形有：4PAD1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）三角形。方法三：

我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段AD中包含几条线段就可以了，即3+2+1=6（个）。所

以图中共有6个三角形。

例4、数出下图中有多少个长方形?

【解析】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对线段围成，线段CD上有

3+2+1=6（条）线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有6X1=6（个）

长方形，而AC上共有2+1=3（条）线段也就有6X3=18（个）长方形。它的计算公式为：

长方形的总数=长边线段的总数义宽边线段的总数：

（3+2+1）X（2+1）=18（个）

例5、数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）

【解析】图中边长为1个长度单位的正方形有3X3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2X2=4个，边长

为3个长度单位的正方形有1X1=1个。所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。

经进一步分析可以发现，由相同的nXn个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1

X1+2X2H----FnXno

考点二：较复杂的问题

例1、有5个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？

【解析】这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个端点代表一个同学。

123~4~5

从图上可以看出，第1个同学要与其余4个同学握手共握手4次；第2个同学还要与其余3个同学握手共握

手3次，第3个同学要与其余2个同学握手共握手2次；第4个同学还要与最后1个同学握手共握手1次。

所以，一共要握手4+3+2+1=10(次)

例2、从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些

车票中有多少种不同的票价？

【解析】这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有10个站，共

有1+2+3+…+9=45条线段，因此要准备45种不同的车票。由于这些车站之间的距离各不相等，因此，有多

少种不同的车票，就有多少种不同的票价，所以共有45种不同的票价。

例3、求下列图中线段长度的总和。(单位：厘米)

♦1・•・4・一=，2*一，♦，3*

ABCDE

【解析】要求图中的线段长度总和，可以这样计算：

AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE

=1+(1+4)+(1+4+2)+(1+4+2+3)+4+(4+2)+(4+2+3)+2+(2+3)=352厘米

从上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中长1厘米的基本线段(我们把不能再划分的线段称为基本线

段)出现了4次，长4厘米的线段出现了(3X2)次，长2厘米的线段出现了(2X3)次，长3厘米的线段

出现了(1X4)次，所以，各线段长度的总和还可以这样算：1X4+4X(3X2)+2X(2X3)+3X(1X4)

=1X(5-1)+4X(5-2)X2+2X(5—3)X3+3X(5-4)X4=52厘米

上式中的5是线段上的5个点，如果设线段上的点数为n,基本线段分别为al、a2、…a(n—1)。以上各线

段长度的总和为L,那么L=alX(n-1)X1+a2X(n-2)X2+a3X(n-3)X3+-+a(n-l)X1X(n-1)

例4、下图中共有多少个三角形?

【解析】为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。

(1)图中共有6个小三角形；

(2)由两个小三角形组合的三角形有3个；

(3)由三个小三角形组合的三角形有4个；

(4)由六个小三角形组合的三角形有1个。

所以共有6+3+4+1=14个三角形。

例5、数出下图中所有三角形的个数。

【解析】和三角形AFG一样形状的三角形有5个；和三角形ABF一样形状的三角形有10个；和三角形ABG

一样形状的三角形有5个；和三角形ABE一样形的三角形有5个；和三角形AMD一样形状的三角形有5个，

共35个三角形。

例6、如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个?

【解析】把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出:

(1)最小的正方形有6个；

(2)由4个小正方形组合而成的正方形有2个;

(3)中间还可围成2个正方形。

所以共有6+2+2=10个。

例7、数一数，下图中共有多少个三角形?

我们可以分类来数：

1、单一的小三角形有16个；

2、两个小三角形组合的有10个；

3、四个小三角形组合的有8个；

4、八个小三角形组合的有2个。

所以，图中一共有16+10+8+2=36个三角形。

P（Practice-Oriented）---------实战演练

实战演练，

＞课堂狙击

1、数出下图中有多少条线段？

ABCDE

【解析】我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的线段有4条；以B点为左端点的线段

有3条；以C点为左端点的线段有2条，以D点为左端点的线段有1条。所以图中共有线段4+3+2+1=10（条）。

2、数出图中有几个角？

------C

【解析】以0A为一边的角有2个；以0B为一边的角还有1个；以0C为一边的角还有：/COD1个。所以,

图中共有角2+1=3（个）。

3、数出图中共有多少个三角形？

A

BCDEF

【解析】我们可以采用按边分类数的方法。以BA为边的三角形有4个；以AC为边的三角形还有3个；以

AD为边的三角形还有2个，以AE为边的三角形还有1个。所以，图中共有三角形4+3+2+1=10（个）。

4、数出下图中有多少个长方形?

【解析】长方形的总数=长边线段的总数X宽边线段的总数:

(4+3+2+1)X(3+2+1)=60(个)

5、银海学校三年级有9个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？

【解析】第一个班要和其余8个班比赛一次，第二个班又要和剩下7个班比赛一次，依次下去，总数是:

8+7+6+5+4+3+2+1=36场。

6、从上海到武汉的航运线途中，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？

【解析】算上上海、武汉一共有n个码头，一共有10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55条线段，那么算上往返的船

票，一共是110种。

7、数一数，图中共有多少个三角形。

【解析】一共有22+10=32个。

8、下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形?

【解析】

一共3+2+1=6个。*''

＞课后反击

1、数出下图中有几个长方形?

【解析】一共5+4+3+2+1=15个。

【解析】一共4+3+2+1=10个。

3、数出图中共有多少个三角形?

【解析】一共有(4+3+2+1)+(4+3+2+1)=20个。

4、数出下图中有多少个长方形？

【解析】一共有：4+1+1+17个。

5、有1,2,3,4,5,6,7,8等8个数字各用一次，能组成多少个不同的两位数？

【解析】个位为8,十位可以有7种；个位为7,十位也可以有7种；依次推，最后一共有：56种。

6、从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？

【解析】一共有8个站，那么一共有：7+6+5+4+3+2+1=28条线段，那么一共有28种票价。

7、下面图中共有多少个三角形？