高中数学课时跟踪检测十基本不等式新人教A版必修第一册

基本不等式

层级（一）“四基”落实练

4

1.若刀>0,则〃+一的最小值为（）

n

A.2B.4

C.6D.8

4r-4

解析：选Bn>0,7?+-^2A/4=4,当且仅当〃=一，即〃=2时等号成立，故选B.

nvn

2.若分0,b>0,a+26=5,则助的最大值为（）

25

A.25B.—

2525

C-TD-T

解析：选DVa>0,b>0,a+26=5,

,+2)225

ab=~a•26W]X~8

55

当且仅当a=],6=i时取等号.

.x_2x~\~2..

3'右一4〈水1,则2x—2()

A.有最小值1B.有最大值1

C.有最小值一1D.有最大值一1

x—2x+21

解析：选D2jr-2=2

又•:—4〈水1,x—K0.—(x—1)>0.

-

-"+1

-2X-

220--

1^

当且仅当I==即x=0时等号成立.

4.（多选）已知正数&b,则下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b^2y[abB.（a+6）&十力三4

C.（a+6）?22（才+9）D.-

a-\~bY

解析：选AB当a〉0,6>0时，由基本不等式得，a+b^2y[abf当且仅当3=6时取

等号，A成立;

(0+6)g+J]=2+2+=22+2、巧2=4,当且仅当a=Z?时取等号，B成立；

b)ab\lba

2(a2+Z?2)—(a+6)2=l+>—2H?=(a—Z?)2^0,则(a+6)父2(才+为，C不恒成立;

因为a+622y[ab,所以2abW(a+6)y[abf

当且仅当H=6时取等号，D不恒成立.

5.(多选)设OVaVb,a+b=l,则下列结论正确的是()

A.0<Z?—B.a<52+Z?2

C.劭的最大值为:D.~<a+lj<l

解析：选BD由0VaV6,a+b=l,则0<3<5<6<1.

对A,因为一；V—aVO,所以0V6—dVl,所以A错误；

对B,1<^1<2^a<2ab<a+/j,所以B正确；

对C,a6WD=a（当且仅当a=6时取“=”），由于a<4所以“=”不可取，所

以C错误；

a+21

对D,因为才+9>---------=5，又才V8}j<b=>a-\-lj<a-\-b=\,所以D正确.

6.设a+A=〃（d>0,6>0）,〃为常数，且劭的最大值为4,则〃=.

解析：：a+6=〃（a>0,A>0）,由基本不等式，得.又励的最大值为4,

状,、

二「4（肪>0）./.#=4.

答案：4

7.一批货物随17列货车从/市以丫千米/小时匀速直达8市，已知两地铁路线长400

千米，为了安全，两列货车的间距不得小于囿2千米，那么这批货物全部运到8市，最快需

要小时.

400+iefe）2

解析：设这批货物从/市全部运到6市的时间为t,则t=-------—+焉三

vv400

/400~~16?40016P

2"”又指=8（小时），当且仅当"'=指，即「=10°时，等号成立，所以这批货物全

\lv400v400

部运到6市，最快需要8小时.

答案：8

8.已知a>0,b>0,a+b=l,求证：fl+^Yl+^^9.

证明：Va>0,b>0,a+b=l,

,1,a+b,b

1+―=1+---=2+一,

aaa

IO

同理，l+%=2+%,

2+II2+i

=5+2停+?25+4=9,

当且仅当时等号成立.

层级（二）能力提升练

1.高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教学楼，随着楼层的升高，上、下楼耗费的精力

增多，因此不满意度升高.已知当教室在第〃层楼时，上、下楼造成的不满意度为A,但高

处空气清新，嘈杂声较小，环境较好，因此随着教室所在楼层的升高，环境不满意度降低，

设教室在第n层楼时，环境不满意度为之则同学们认为最适宜的教室所在的楼层应为（）

n

A.2B.3

C.4D.8

解析：选B由题意知，教室在第〃层楼时，同学们总的不满意度尸刀+台队也，当且

仅当n=~,即〃=2也时，不满意度最小，又T?£N*,分别把n=2,3代入y=n+-,易知n

77Vn

=3时，y最小，故最适宜的教室应在3楼.

91

2.（多选）已知x>0,p>0,且-+-=1,若x+2p力恒成立，则实数力的可能取值是（）

xy

A.-2B.2

C.l3D.3

21

解析：选ABV^r>0,y〉0且一+-=1,

xy

（21、4zx

：,x+2y=（x+2y）［^+-）=4+~+-

>4+2、耳=8,当且仅当竺=V

Xyxy

即x=4,y=2时取等号,

.•・(x+20min=8,要使x+2y>加2恒成立，

只需(x+2y)min>方恒成立，

即8力，解得一2铺〈冰

结合选项知选A、B.

3.规定：“宓”表示一种运算，即a®b=y[aif+a+b{a,6为正实数).若1。《=3,则k

k®x

的值为，此时函数f(x)=〒的最小值为.

解析：由题意得l8A=，l+l+4=3,即4+，1-2=0,

解得5=1或5=一2(舍去)，所以《=1，故女的值为L

Xf{x)=~~j='=r-=l+"v^+~p^l+2=3,

yjxyjxyjx

当且仅当即X=1时取等号，

故函数『(X)的最小值为3.

答案：13

4.设a〉0,Z?>0,且己+6=-+).

ab

(1)求a+b的最小值；

(2)证明：才+2<2与9+小〈2不可能同时成立.

解：由3+6='+4=史?，且3>0,b>Q,得乃8=1.

abab

⑴由基本不等式及己6=1,知〃+622，^>=2,当且仅当a=6=1时取等号，故己+6

的最小值为2.

(2)证明：由(1)知才+Z?222a8=2,且a+622,因此才+52+2+624,①

假设a+a<2与l}+b<2同时成立，则才+9+3+6V4,②

①②两式矛盾，故才+a<2与9+6V2不可能同时成立.

5.某校食堂需定期购买大米.已知该食堂每天需用大米0.6t,每吨大米的价格为6000

元，大米的保管费用/(单位：元)与购买天数x(单位：天)的关系为z=9x(x+l)(x£N*),

每次购买大米需支付其他固定费用900元.问：该食堂多少天购买一次大米，才能使平均每

天所支付的总费用最少？

解：设平均每天所支付的总费用为y元，

则y=1[9x(x+1)+900]+0.6X6000

9001、/9001

=—+9x+360922'/—X9x+3609

x\x

=180+3609=3789,

当且仅当——=9x,即x=10时取等号，

x

所以该食堂10天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少.

层级(三)素养培优练

1.设a>6>c,且上成立，则加的取值范围为

a-bb~ca-c

解析：由3>6>c知，a—Z?>0,b-c>0,a-c>0.

•••原不等式等价于目a-c

2勿.

b-c

要使原不等式恒成立，只需W+E的最小值不小于m即可.

a~c,a-ca~b+b~ca~b+b~c

~^b+2+R="+2

b-ca~b^

a-bb