四川省广安市2024-2025学年高二数学上学期期中文试题含解析

Page16一、单选题（本大题共12小题，共60.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.利用斜二测画法得到的①三角形的直观图确定是三角形；②正方形的直观图确定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图确定是菱形.以上结论正确的是（）A.①② B.① C.③④ D.①②③④【答案】B【解析】【分析】依据斜二测画法的学问求得正确答案.【详解】①，依据斜二测画法可知，三角形的直观图确定是三角形，①正确.②，依据斜二测画法可知，正方形的直观图邻边不相等，不是菱形，②错误.③，依据斜二测画法可知，等腰梯形的直观图，两底边不相等，不是平行四边形，③错误.④，依据斜二测画法可知，菱形的直观图邻边不相等，不是菱形，④错误.故选：B2.已知直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】依据两条垂直直线与倾斜角的关系求解即可，留意探讨直线的倾斜角是否为.【解答】1.当直线，的倾斜角分别为，或，时，；2.当直线，的斜率都存在时，则或，因此；综上可得：.故选：C.3.直线与直线平行，则它们的距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】直线3x+4y﹣3=0即6x+8y﹣6=0，它直线6x+my+14=0平行，∴m=8，则它们之间的距离是故答案为2．4.若直线与直线垂直，则（）A.或0 B. C.或0 D.1【答案】A【解析】【分析】依据直线垂直：即可求解.【详解】由题意可得，解得或0.故选：A5.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.【详解】由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减得：，即.故选：B6.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【详解】由题意，V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3.故选A.7.设圆，圆，则它们公切线的条数是（）.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】求出圆与圆心与半径，确定两圆的位置关系，依据两圆的位置关系即可求解.【详解】圆，圆心为，半径为3；圆，圆心为，半径为，两圆的圆心距为，∵，∴两个圆相交，∴两个圆的公切线有2条.故选：B.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了公切线，属于基础题.8.已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设圆心，由圆的对称性可知过点与垂直的直线被圆所截的弦长最短【详解】由题意可知，当过圆心且过点时所得弦为直径，当与这条直径垂直时所得弦长最短，圆心为，，则由两点间斜率公式可得，所以与垂直的直线斜率为，则由点斜式可得过点的直线方程为，化简可得，故选：B9.点是圆上的不同两点，且点关于直线对称，则该圆的半径等于（）A. B. C.3 D.1【答案】C【解析】【分析】圆上的点关于直线对称，则直线经过圆心，求出圆的圆心，代入直线方程，即可求出k，然后求出半径．【详解】圆的圆心坐标，因为点M，N在圆上，且点M，N关于直线l：x-y+1=0对称，所以直线l：x-y+1=0经过圆心，所以，k=4．所以圆的方程为：即，圆的半径为3．故选C．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的一般方程的应用，考查计算实力．10.已知两点，，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】分析：依据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥kPB或k≤kPA，∵PA的斜率为=﹣1，PB的斜率为=1，∴直线l的斜率k≥1或k≤﹣1，故选D．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变更是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变更引起斜率变更的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.11.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】连接，分别求出，再依据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接，因为是的中点，所以，又，所以三点共线，即，又，所以，则，故，所以.故选：B.12.如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，，点是的中点，过，，三点的平面与平面的交线为，则下列说法错误的是（）A.平面B.C.直线与所成角的正切值为D.平面截四棱锥所得的上下两部分几何体的体积之比为【答案】C【解析】【分析】依据线面平行的判定定理推断A，由线面垂直的性质推断B，求出异面直线所成角的正切值推断C，作出交线，依据组合体体积公式计算体积后推断D．【详解】因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，而平面，平面，所以平面，A正确；平面，平面，所以，所以，B正确；直线与所成角即，在中，C错；取中点，因为是中点，则，所以，即为直线，连接，是矩形，，则，是的中位线，所以，所以，是的中线，，，所以，从而，所以．D正确．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知圆的方程为.则实数的取值范围______.【答案】【解析】【分析】依据即可.【详解】解：由题意得，即，，故答案为：.【点睛】考查二元二次方程表示圆的条件，基础题.14.直线的倾斜角为45°，则实数a=________.【答案】【解析】【分析】由题可得斜率为1，列出方程即可求出.【详解】依题意可知，所以，且，解得或（舍去）.故答案为：.15.据监测，在海滨某城市旁边的海面有一台风.台风中心位于城市的东偏南方向、距离城市的海面处，并以的速度向西偏北方向移动（如图示）.假如台风侵袭范围为圆形区域，半径，台风移动的方向与速度不变，那么该城市受台风侵袭的时长为_____.【答案】小时【解析】【分析】当城市距离台风中心小于等于120km时，城市起先受到台风侵袭，所以只要城市距离台风移动方向大于等于120km即可；由题意，画出图形解三角形．【详解】解：由题意如图，设台风中心到达Q，起先侵袭城市，到达O则结束侵袭.△AQP中，AQ＝120km，AP＝120km，∠APQ＝30°，∠PAQ＝180°﹣30°﹣∠Q＝150°﹣∠Q，由正弦定理得到，所以∠＝120°,∠=60°，所以△AQO为等边三角形.所以所以该城市会受到台风的侵袭时长为小时．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用；关键是由题意将问题转化为解三角形的问题16.阿波罗尼斯是古希腊闻名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的探讨，阿波罗尼斯圆就是他的探讨成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为_______.【答案】【解析】【分析】先由阿波罗尼斯圆的定义求出定点坐标，再由结合三点共线求出最小值即可.【详解】设，，所以，又，所以.因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得，所以，又，所以，因为，所以的最小值为，当且仅当三点共线时取等.故答案为：.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求满意下列条件的直线方程（1）经过点(2，-3)，倾斜角是直线y=x倾斜角的2倍;（2）经过点P(5，-2)，且与y轴平行;（3）过P(-2，3)，Q(5，-4)两点.【答案】（1）x-y-2-3=0；（2）x=5；（3）x+y-1=0.【解析】【分析】（1）由已知求得所求直线的倾斜角为60°，其斜率为，依据直线的点斜式可求得直线方程.（2）由于与y轴平行的直线，其斜率k不存在，由直线上的点的横坐标可求得直线方程.（3）由两点的坐标可求得直线斜率，依据直线的点斜式可求得直线方程.【详解】解:（1）∵直线y=x的斜率为，∴其倾斜角为30°.∴所求直线的倾斜角为60°，其斜率为.∴所求直线方程为y+3=(x-2)，即x-y-2-3=0.（2）与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示.但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x=5.（3）过P(-2，3)，Q(5，-4)两点的直线斜率kPQ==-1.∵直线过点P(-2，3)，∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2)，即x+y-1=0.【点睛】本题考查依据已知条件选择合适的方法求直线的方程，属于基础题.18.分别依据下列条件，求圆的方程：（1）过两点，，且圆心在直线上；（2）半径为，且与直线切于点.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设圆心坐标为，再依据圆心到两点，的距离相等，求出的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程；（2）设圆心坐标为，利用半径为，且与直线切于点，建立方程组，求出圆心坐标，即可求得圆的方程.【小问1详解】由于圆心在直线上，可设圆心坐标为，再依据圆过两点，，可得，解得，可得圆心为，半径为，故所求的圆的方程为；【小问2详解】设圆心坐标为，则∴，或，，∴圆的方程为或.19.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（Ⅱ）要证明面面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（Ⅲ）由即可求解.试题解析:（I）因为，，所以平面，又因为平面，所以.（II）因为，为中点，所以，由（I）知，，所以平面.所以平面平面.（III）因为平面，平面平面，所以.因为为的中点，所以，.由（I）知，平面，所以平面.所以三棱锥的体积.【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，依据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可依据性质定理转化为证明面面垂直.20.已知M(x，y)圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上随意一点，且点Q(－2,3).（1）求|MQ|的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值.【答案】（1）最大值为6，最小值为2；（2）最大值为2＋，最小值为2－.【解析】【分析】（1）求出圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2，即得解；（2）可知表示直线MQ的斜率k.直线MQ的方程kx－y＋2k＋3＝0，解不等式≤2即得解.【详解】（1）由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.又|QC|＝，∴|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.（2）可知表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.∵直线MQ与圆C有交点，∴≤2，可得2－≤k≤2＋，∴的最大值为2＋，最小值为2－.21.已知圆的圆心在轴的正半轴上，与轴相切，并且被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据题意设出方程，依据弦长即可求出；（2）可得在以为直径的圆上，求出中点和即可得出圆的方程，和圆C联立可求出直线的方程.【小问1详解】设圆的方程为，因为到直线距离为，所以，解得，所以圆的方程为；【小问2详解】因为是圆的切线，所以，所以在以为直径的圆上.中点坐标为，，所以以与为直径端点圆的方程为.联立方程组，两式相减得.所以直线的方程为.22.已知圆，直线，.（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；（2）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3）是否存在实数，使得圆上有四点到直线的距离为？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）M的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆；（3）或.【解析】【分析】（1）依据题设可以运用圆心与直线的距离或考虑动直线过定点分析推断；（2）借助题设条件运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解；（3）依据题设借助图形的直观，运用圆心距与直线的位置和数量关系建立不等式：【详解】（1）圆的圆心为，半径为，所以圆心C到直线的距离．所以直线与圆C相交，即直线与圆总有两个不同的交点；或：直线的方程可化为，无论m怎么变更，直线过定点，由于，所以点是圆C内一点，故直线与圆总有两个不同的交点．（2）设中点为，因为直线恒过定点，当直线的斜率存在