新教材苏教版高中数学 选择性必修第一册 同步试题 4

4.1数歹lj

一、单选题

1.已知数列｛乐｝的前"项和S“=-/+2〃+机，且对任意〃eN*,a““-a,,<0,则实数机的取值范围是()

A.(-2,+oo)B.

C.(2,+oo)D.(-℃,2)

【答案】A

【分析】根据数列为递减数列，结合g与S”的关系即可求解.

【详解】因为〃e-4,<0,所以数列｛《,｝为递减数列，当“22时，

22

an=S“-S„_,=-n+2〃+，〃-[-("-I)+2(〃-l)+，"]=-2〃+3,

故可知当"22时，｛%｝单调递减，

故｛叫为递减数列，只需满足的<4，

因为g=-l,〃]=S]=l+m,

所以—1<1+加，解得m>—2,

.故选:A.

2.已知数列｛““｝的前〃项和2=/+〃,那么它的通项公式。“=()

A.nB.2nC.2n+lD.n+\

【答案】B

fcit=S],〃=1

【分析】根据I、c即可求凡.

【详解】/=B=1+1=2,

a„=s„-sn-i=(H2+n)-[(«-l)2+(H-l)]-2n,(n>2),

当〃=1时，2〃=2=Q],

■■an=2n.

故选：B.

，、1

3.已知数列｛%｝满足。〃+---=1,若。50=2,则4=()

an+l

A.-1B.vC.-D.2

22

【答案】B

【分析】根据递推公式逐项求值发现周期性，结合周期性求值.

【详解】由“”+」-=1，牝。=2得

%

%9=1--^-=1-1==1--^-=1-2=-I,」=1--L=1+1=2=/，

a

5G22a49448

所以数列｛%｝的周期为3,所以q=49=g.

故选：B

a1

4.在数列｛。"｝中，q=1，n=-----(»>2,«eN+),则。2023=()

a

2n-\

A.yB.1C.-1D.2

【答案】A

【分析】利用数列的递推公式求出数列｛对｝的前4项，推导出｛4｝为周期数列，从而得到的。23的值

l

【详解】。2=1-■-=l-2=-l,a3=1-=1+1=2,4=1-=-^=7>

aAa2%22

可得数列｛q｝是以3为周期的周期数列，阳⑼=。3*674+1=4=3，

故选：A

5.已知数列｛%｝满足用。一%)=则出=()

I5

A.—1B.—C.2D.—

22

【答案】C

【分析】根据题意变形为凡M=1一，再转化为%+2与%+1，。“+3与%+2的关系，

推导出数列是周期为3的周期数列，即可计算出结果.

,,1,I1

IQ•>=1----=1-------=-----

【详解】由题意得。,川=1-一，所以2a向1_±l-a„,

久明

=1__L=1__J_=a

｛｝

所以*+3-an+2~1一一%,所以数列4是周期为3的周期数列，

所以%=%=-1,所以出=1---=2.

a\

故选：c

6.已知数列SJ满足卬=黑,％”2022r,«eN\则下列结论成立的是（）

2023

A.a2021V%022<^2020

B・。2022<^2021<a2020

C・〃202l<“2020<“2022D.〃2020<〃2021Va2022

【答案】A

【分析】根据指数函数的性质判断/＜/＜（＜出，即可猜想数列｛外｝的奇数项递增，偶数项递减，且奇数

项小于偶数项，再证明即可，从而可得答案.

【详解】因为卬=翳“2022

,〃£N，

2023

2022

2022评2022

所以出2023J

2023

2022

因为指数函数歹=单调递减,

2023

2022

20222022W,

所以<——<1'

20232023

2022

2022(2022.

K2023)

所以(2022202320222022

>

U02320232023

所以〃2>〃3>%，

20222022%2022

所以<<，所以。3＜%＜。2，

202320232023

所以/＜4＜。2，

由此可猜想数列｛4｝的奇数项递增，偶数项递减，且奇数项小于偶数项,

20222022

因为。同，当〃N2时，a

2023n2023

2022

所以2023J

一,an.,.、i2022

所以(„>2),

an2023

因为“<。2，所以卜1色<0,所以。3<%，

进而可得。4>的，

>a

以此类推可得%I>%且%I2k+l，

2022%一%

因为当〃23时,

a„l2023j2023

a

〜1n+\/、12022

所以In—=(«„-a„-2)ln——(«>3),

%2023

由。3>《，得In幺<0,即为<%，

a2

由。3<%，得延<%，

以此类推｛%/单调递减，

所以。2022<a2020>

所以“2021<。2022<“2020,

故选:A.

7.已知数列出｝满足q=1,4=3,凡=a“T+a“+i("€N",〃22),则“2022=()

A.-2B.1C.4043D.4044

【答案】A

【分析】由递推式得到a,,,2=-a.T,从而得到4+6=。"，由此再结合即可求得。2022的值.

【详解】由%=%+%得％+1=。“+。”+2，

两式相加得/2=.即。”+3=~a„，故%+6=%，

所以。2。22=%=-«3=一(02-%)=-2.

故选：A.

8.已知数列｛%｝的前"项和S,=-2/+l,则这个数列的通项公式为()

A.an--4〃+2B.=-3勿+2

八f-1,^=1,[T〃=L

C・4——D・。〃=仁）

[-4n4-2./1>2[3/?+2,«>2

【答案】C

[S.,w=1

【分析】已知和求通项公式：。〃=;c、）进行计算.

【详解】当"=1时，％=S[=-2+1=-1;

2

当〃22时，an=Sn-Sn_t=-2H+l+2（n-l）'-1=-4〃+2;

故选：C

二、多选题

9.已知数列｛叫的通项公式为丝优，则下列正确的是()

为偶数

A.%=19B.%>%C.S5=22D.Sh>

【答案】BC

【分析】根据通项公式即可作出判断.

【详解】对于A,6是偶数，则4=2-12=70,A错误：

对于B,%=22>6，B正确；

对于C,55=4+(-2)+10+(-6)+16=22,C正确;

对于D,S6=55+a6=12,Sg=56+a7+a8=12+22+(—14)=20,

S6<Ss,D错误.

故选：BC.

10.下列数列｛为｝是单调递增数列的有()

2

A.an=n-3/7+1B.an|

.n

C.a=n+—D.a=In---

nnn〃+1

【答案】BD

【分析】利用a„+i-a„验证各选项即可.

【详解】因为"€N,

选项A：。什|-a“=（“+1）。-3（"+l）+l-〃2+3〃-1=2〃-220,所以。2-勾=0，-3"+1不是单调递

增数列；

选项B：a川一％=—（；）〃"+《J=《『〉o,所以*=—（；）”是单调递增数列；

选项c：n〃=〃+i+-^7-〃-2=（"+：）（：J,所以生一4二。，4=〃+2不是单调递增数列：

714-1nn（n+1）n

1

选项D：a„+l-a„=ln-^1-In—=Infx-^1=Inf1+'■,；>l>（,所以。“=In-J是单调递增数列；

a+2w+1I”+2n）Ifl+2nJn+\

故选：BD

11.意大利数学家列昂纳多•斐波那契提出的“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,

在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列｛《,｝满足4=%=1，4+2=ae+a"（〃eN+）.若

此数列各项被3除后的余数构成一个新数列也｝,记也｝的前〃项和为S“，则以下结论正确的是（）

A.&9一〃川=°B.S“+IO=S,,+2+9

C.8叱=2D.S2022=2696

【答案】ABC

【分析】根据数列｛4｝可得出数列｛"｝是以8为周期的周期数列，依次分析即可判断.

【详解】:数列］“｝为列1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233...,

被3除后的余数构成一个新数列｛"｝,

•••数列也｝为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,

观察可得数列｛"｝是以8为周期的周期数列，故4+9-6向=0,A正确；

且4+%+-+%=9,故s“+io=S.+2+2+3+。+4+…+4+10=Sll+2+9,B正确；

%>22=源252+6=°6=2,C正确;

贝M2｝的前2022项和为邑。22=252*9+1+1+2+0+2+2=2276,D错误.

故选：ABC

12.已知5.是｛氏｝的前〃项和4=2,〃22,〃eN*,则下列选项错误的是()

an-\

A.出021=2B.52021=1012

C.%"%"+臼2=1D.｛4｝是以3为周期的周期数列

【答案】AC

【分析】推导出a“+3=a“(〃wN*),利用数列的周期性可判断各选项的正误.

【详解】因为6=2,。”=1--—^>2),则生=1-'=1,=1--=-1,%=1-'=2=《，

%a,2a2a｝

以此类推可知，对任意的“eN”,%+3=%，D选项正确；

«2O2I=«3x673+2=&=:，'选项错误；

,31

S，o2i=673(q+4,++q+%=673x—+24-^=101/,B选项正确；

。3”,。3”+「。3”+2==T，C选项错误.

故选：AC.

三、填空题

13.如下表定义函数/'(X)：

X12345

/(X)54312

对于数列｛4“｝,4=4,%=/(%),n=2,3,4,则面)19的值是.

【答案】5

【分析】先根据a“=f(a,i)求出前几项，得出周期，利用周期性求解.

【详解】根据题意见=1，。3=5,%=2,双=4，

所以周期为4,而2019=4x504+3,所以02019="3=5

故答案为：5

2〃+1

14.数列口｝满足q=1,—=(/?GN*,/7>2),贝lj%=

2/7-1

2〃+1

【答案】

3

【分析】利用累乘法求得正确答案.

［详解］an-a\'—■—••…—

_572n+12n+1

f5*2),

_I?"2n-\3

4=1也符合上式,

2〃+1

所以％

3

2/7+1

故答案为:

3

15.已知数列｛%｝前〃项和S〃满足lg(S“—1)=〃，则%=.

【答案】

9xlOn->>2

I,〃=1

【分析】先利用对数运算得到S〃=io〃+1,进而利用%二'&>0求出答案.

-Sn_{,n>2

【详解】因为lg(S“-l)=〃，所以S“=10"+1,

当”=1时，<?!=5,=10+1=11,

当〃22时，%=S“-S“=10"+1-10"T-1=9X10"T,

因为9xl()i=9H11,

_\\\,n=\

故"j9xl0,,-',n>2

故答案为：［9X10"T,"22

16.已知S〃是数列｛助｝的前〃项和.若Sn=2%贝lj'=

【答案】2

【分析】根据5尸452=%+%求解即可・

【详解】解：：Sn=2n,

■•%=E=2,q+的=$2=4,

a2=2,

故答案为：2.

四、解答题

17.已知S“是数列｛对｝的前〃项和，5sli=”(〃+4)

(1)求｛。“｝的通项公式;

(2)设。=卬,求数列｛2｝的前10项和，其中国表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.

【答案】(1)4=竽

(2)24

【分析】(1)先求为,利用5S“=〃(〃+4)和%=S,「S,i可求通项公式；

(2)先求"=今3,根据〃的取值逐个求解"，然后求和可得答案.

(1)

:5S1=5,/.4=1；

,/5S“=〃(〃+4),/.5s.i=(”-1)(”+3)(〃*2)

两式相减可得〃〃=2F522),又6=1,・・・〃〃=笺2.

(2)

2/7+3

由(1)知:

5

所以当”=1,2,3时，14々乎<2,此时"=1：

当"=4,5时，2<^—<3,此时a=2；

当”=6,7,8时，34出手<4,此时4=3；

当〃=9,10时，4(亭^<5,此时a=4,

所以数列也,｝的前10项和为1x3+2x2+3x3+4x2=24.

18.已知数列｛/｝满足％+2%+3%+…+〃4,=5"，求｛《,｝的通项公式.

【答案】

n

【分析】利用项与前〃项和的关系即得.

【详解】对任意的q+2a2+34+…+=5〃,

当〃=1时，则4=5,

当〃22时，由4+24+3。3+…=5〃，可得q+2%+…+(〃-I)。,-二5(〃-1),

上述两个等式作差可得〃牝=5,

5

•••勺=一，

n

q=5满足?=-,

n

因此，对任意的〃eN",.

n

19.写出下列数列的前10项，并作出它们的图象.

(1)当自变量x依次取1,2,3,…时,函数/(x)=2x+l的值构成的数歹支叫；

⑵数列｛叫的通项公式为〃=2"小心

【答案】(1)3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,图见解析

(2)2,3,2,5,2,7,2,9,2,11,图见解析

【分析】(1)将自变量依次取值代入函数解析式可得各项的值，然后描点作图即可；

(2)分〃是奇数还是偶数代入相应通项公式计算可得各项的值，然后描点作图即可.

(1)

依次将x的值代入函数/(x)=2x+l,可得数列的前10项依次为：

3,5,7,9,II,13,15,17,19,21,图象如下:

25-

21

20.19•

zu17•

15•

15-13•

11•

-0-7”

5•

5-3•

O246810~

(2)

..J2,〃=2左入N+

a

•"[n+1,/2=2A-+1,A:eN+'

，数列的前10项依次为2,3,2,5,2,7,2,9,2,IL图象如下:

20.已知数列｛叫的前〃项和为S“=2"-%M=1.求数列｛4｝的通项公式.

【答案】勺=2"‘

［分析】根据a“=S„-Si(〃22)求出n>2时的通项%，由此求数列｛%｝的通项公式.

【详解】由S“=2"T得:S〃T=2"T_"(〃22),

相减得。"=2"-’(〃22),

当”=1时，q=1=2一也满足上式，

•♦.a—"，

所以数列｛«„｝的通项公式为%=2"L

21.写出下列数列的一个通项公式.

小।111

⑴F‘而‘一口病’…：

,^22-l32-l42-l52-l

2，3，4，5，…；

【答案】（1）（一1）”,/[八（答案不唯一）

（2）（〃+1）T（答案不唯一）.

n+1

【分析】（1）（2）根据数列前几项找到规律，从而得到数列的符合题意的一个通项公式.

【详解】（1）解：由一丁工，」，…，可知奇数项为负数，偶数项为正数，分子均为1，

1x22x33x44x5

且分母为序号与其后一个数之积，

故该数列的通项公式可以为（T）''（答案不唯一）.

（2）解：由一，—，趣，出，…，

2345

可得该数列的一个通项公式为+（答案不唯一）.

n+1

22.函数/（x）的定义域为。，若与€。，满足/（%）=%,则称5为/（x）的不动点.已知函数

[3-3x,0<x<1

/«=,,”，g（x）=/（/（x））

[log3x,l<x<3

（1）试判断g（x）不动点的个数，并给予证明；

（2）若“玉w（）q）,g（X）—I>log3（l+x）+log3（x+%）”是真命题，求实数人的取值范围.

【答案】（1）3个，证明见解析；（2）（一|，1）

22

【分析】（1）分04x<]、§4x41、I<x43三种情况，利用g（x）=x构造函数，利用函数的单调性可得

答案；

（2）解法I：转化为」og3尸>log3（k+x）成立，解不等式组=>+%,再由左>-]可得答

5）1+XJ3

L'A[x+A>0

案；

—x2A1—x

解法2：转化为上仁0,二Jogs->k）g3（左+x）成立，等价于上e0,-,使产〉《成立，构造函数

_3）l+xL3）1+x

2

y=-——（i+x）,并利用函数的单调性，由VM>上可得答案.

1+X

【详解】（1）g（x）=/（/«）,

2

gO<x<-,贝Ijl<3-3x43,所以g(x)=log3(3-3x),

由g(x)=x得log?(3-3x)=x,即1+log3(l-x)=x,

因为y=-iog3(i-x)在0,|)是单调递增函数，

所以函数例x)=x-log3(l-x)-l在o,|)是单调递增的，

"(0)=-l(o,〃(；)=g-log3(l=；+log?2-1=logs^^>0>

所以Mx)在0,g)内存在唯一零点；

2

若^4x41,则043-3x41,所以g(x)=3-3(3-3x)=9x-6,

由8。)=》得9尤-6=x解得x=：；

若I<x43,则0<log3x41,所以g(x)=3-31og3X,

由8（*）=》得3-31083》=》；因为夕（x）=x+31og3X-3在（1,3］是单调递增的,

(414514

p(3)=3>0,^lyI=31og3---=logj64-y<0,

所以夕(x)=x+3log3X-3在。,3]内有唯一零点；

综上所述，g(x)有3个不动点.

(2)由(1)可知，当xe0,1^,g(x)=/(/(X))=log