重难点01线线角、线面角、二面角问题高二数学（沪教版2020必修三）（解析版）

重难点01线线角、线面角、二面角问题（重难点突破解题

技巧与方法）

U技巧方法

1.求异面直线所成的角的三步曲

GD。：即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角;

即证明窕质百为是异面直线所庆的''：

,一~、：而三蒲疝葭就相足而露一而紊鼠由而备属面露

Q三求）"或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝：

一［角，则它的补角才是要求的角；

2.求直线和平面所成角的关键

作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于

三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值。

3.找二面角的平面角的常用方法

（1）由定义做出二面角的平面角

（2）用三垂线定理找二面角的平面角

（3）找公垂面

（4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角

但能力拓展

求异面直线所成的角

一、填空题

1.（2021・上海・复旦附中高二期中）已知四棱柱ABC。-44G。中，异面直线AG与。B所

成角为W，且ACnQ£=O1，ACn〃B=O,OA=OB=\,则AB的长为.

【答案】1或g

【分析】根据题意得出408为异面直线40与。B所成角或所成角的补角，从而在AAOB

中，应用余弦定理即可求出答案.

【详解】因为AG〃AC,所以NAO8为异面直线AG与OB所成角或所成角的补角，

即乙408=2或红，

33

TT

'”lNA08=w时，因为。4=。8=1,所以AAOB为等边二角形，所以/W=l；

当Z.AOB——0、j,因为OA=OB=1»

2万

在AAOB中，由余弦定理，得A8?=OT+08，2创OA08?cos(3,

所以

故答案为：1或

2.（2021・上海•格致中学高二期中）设E是正方体A88-A8CQ的棱CC,的中点，在棱

上任取一点尸，在线段AE上任取一点。，则异面直线尸。与8。所成角的大小为.

7T

【答案】y

【分析】连接BD,利用线面垂直的判定定理证得平面AECA,再利用线面垂直的性

质定理可知BD±PQ,即可得解.

【详解】连接8。，由底面ABCQ为正方形，可知8DJ_AC,

由正方体的性质，可知AA，平面ABC。，乂8£>u平面ABC。，则A4,，8。

乂A41nAe=A,则平面AECA,

由已知可知PQu平面4ECA,则B£），PQ

所以异面直线PQ与8。所成角的大小为今TT

故答案为：7

2

D,c,

3.（2021・上海中学高二期中）正方体A38-ABCQ中，异面直线4片与2。所成角大小

为______

【答案】|

【分析】连接AD,、BR,,证明B\D、HBD,可得ZABR即为异面直线AB,与BD所成角,

在AABQ求NABR即可求解.

【详解】如图，连接AR、BR,

因为BBJ/DD-BBt=DD,,

所以四边形是平行四边形，

所以BRHBD,

所以444A即为异面直线AB1厉BD所成角，

设正方体ABCD-A与CQ的棱长为“，

在AABQ中，物=4耳=4£）|=缶，

所以AA4已是等边三角形，

所以即异面直线AB1与8。所成角为

故答案为：~

二、解答题

4.(2022•上海浦东新•高二期末)如图，在正方体488-AAGR中.

(1)求异面直线A8和所成的角的余弦值；

(2)求证：直线48〃平面。CCQ.

【答案】(1)也(2)证明见解析

2

【分析】(1)根据己知CC\UBB\,可将异面直线A.B和CC所成的角转化为直线AB和B耳

所成的角，再根据题目的边长关系，即可完成求解：

(2)可通过连接RC,证明四边形ABC。,为平行四边形，从而得到A8//RC,再利用线面

平行的判定定理即可完成证明.

⑴因为CGUBB\,所以NA网就是异面直线A/和CG所成的角.又因为AB8-A4GR

为正方体，所以异面直线AB和CG所成的角为45°,所以异面直线AB和CC,所成的角的余

弦值为也.

2

(2)

连接。C，因为AQ//BCn.A,£>,=BC,所以四边形ABC。为平行四边形，所以AB〃qC；

平面。CCR,"Cu平面。CGR；所以直线AB〃平面。CCQ.

即得证.

线面角

一、单选题

1.(2022•上海市控江中学高二期末)如图，已知正方体,点p是棱CG的

中点，设直线A8为小直线AR为4对于下列两个命题：①过点尸有且只有一条直线/

与4、人都相交；②过点P有且只有两条直线/与〃、6都成75。角.以下判断正确的是（）

A.①为真命题，②为真命题B.①为真命题，②为假命题

C.①为假命题，②为真命题D.①为假命题，②为假命题

【答案】A

【分析】①由正方形的性质，可以延伸正方形，再利用两条平行线确定一个平面即可：

②一组邻边与对角面的夹角相等，在平面内绕尸转动，可以得到二条直线与〃的夹角都

等于75。.

【详解】如下图所示,在侧面正方形避A和ARDA再延伸一个正方形耳骂和41尸。，

则平面EC和6尸在同•个平面内，所以过点尸，有且只有一条自:线/，B|JEFt与〃、〃相

交，故①为真命题；

取44中点N,连尸N,由于。、人为异面直线，a、。的夹角等于A片与b的夹角.由于AGU

平面A4，NPZ平面AC，NP\\AtCt,所以NPU平面AG，所以NP与A蜴与b的夹角

都为45.又因为GC_L平面AG,所以G。与4声与6的夹角都为90'，而45<75,<9（）。，

所以过点P,在平面AC内存在一条直线，使得与4国与6的夹角都为75。，同理可得，

过点尸，在平面内存在一条直线，使得与。与AD的夹角都为75。；故②为真命题.

故选：A

二、填空题

2.（2021•上海市行知中学高二阶段练习）已知正四棱柱的对角线的长为迷，且对角线与底

面所成角的余弦值为巫，则该正四棱柱的全面积等于.

3

【答案】10

【分析】结合已知条件分别求出正四棱柱的底面边长和高即可求解.

【详解】由题意，正四棱柱488-AAG。如下图：

不妨设正四棱柱ABC。-ABCR底面边长为。，IM\=h,

由已知条件可得，|8〃|=/+4+炉=2a2+h2=（"）2=6,

又因为。R底面ABC。，所以对角线8。与底面"CO所成角为NOBR,

因为对角线与底面所成角的余弦值为手，I8。|=&〃，

所以cosNOBR=段1=华=立，解得〃=1,从而/i=2,

\BDt\V63

故该正四棱柱的表面积5=1x2x4+1x1x2=10.

故答案为：10.

三、解答题

3.（2021•上海市大同中学高二阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，

AD//BC,44）=90。，幺垂直于底面ABCD,PA=AD=AB=2BC=2,M、N分别为

PC、尸8的中点.

（1）求证：PB工DM;

（2）求8。与平面ADMN所成的角.

【答案】（1）证明见解析；（2）%

6

【分析】（1）由题设易得BC_LAB,由已知及线面垂直的性质仃5CL面R4B,根据线面垂

直的判定可证BC_LP8、A4_LAB,再由线面垂直的判定及平行的推论可得尸,

最后由线面垂直的性质证结论.

BN

（2）若“与平面AD脑V所成角为6,由线面垂直易知sinO=%，即可求线面角的大小.

【详解】（1）由/皿>=90。即4>_LM，又AD“BC,有8C_L4?,

PA_L面ABCD,BCu面ABCD.

：.PAIBC,而P4nAB=A,则有8CL面

乂P3u面尸AB，则BCJLPB,

由A8i面ABC。，有R4L/W，且P4=Afi，N为尸B的中点，则ANLPB.

乂M为尸C的中点，有MN//BC,即MN_LP3,而A7VDMV=N,

又4）//BC,则4）//MN,即AM。,M共面，

PB_LtSADM2V,而OWu面A£>M?V,故

7T

（2）由（1）知：面4）脑V,若80与平面49MV所成角为。6。万］,且3c=1,

BN=5/2,BD—2^2，则sin0==—,故。=一.

BD26

二面角

一、单选题

1.（2020・上海•曹杨二中高二期末）设三棱锥丫-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P

是棱V4上的点（不含端点），记直线网与直线4c所成角为a,直线PB与平面ABC所成角

为夕，二面角P-AC—8的平面角为7,则

A./3<y,a<yB./3<a,f3<y

C.P<a,y<aD.a</3,y<（5

【答案】B

【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角

的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，

而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.

【详解】方法1：如图G为AC中点，V在底面ABC的投影为。，则P在底面投影D在线段

A。上，过。作DE垂直AE,易得PE//VG,过P作尸尸〃AC交VG于尸，过。作。"//AC,

a/n。,、PFEGDHBD„

交.BG于H,则a=NBP£P=NPBD,y=Z.PED,贝ijcosa=—==-----<-----=cosB,

PBPBPBPB

PDPD

即a>6，tany=W>W=tan|3,即y>B，综上所述，答案为B.

EDBD

V

方法2：由最小角定理£<a,记V-AS-C的平面角为丫’（显然Y'=Y）

由最大角定理P<Y'=Y，故选B.

方法3：（特殊位置）取V-ABC为正四面体，P为01中点，易得

cosa==>sina=^^-,sinP=siny="",故选B.

6633

【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置

法”，寻求简便解法.

二、填空题

2.（2021・上海・西外高二期中）在正方体ABCQ-ABCIR中，二面角A-8C-A的大小是

【答案】V

4

【分析】根据二面角的定义判断二面角A-BC-A的大小.

【详解】画出图象如下图所示，

由于BC_LAB,BC_LAB,

所以是二面角A-8C-A的平面角，

根据正方体的性质可知ZABA=£.

4

故答案为：~~

4

三、解答题

3.（2022•上海•复旦附中高二期中）如图所示，某农户拟在院子的墙角处搭建一个谷仓，墙

角可以看作如图所示的图形，其中OA、OB、。。1两两垂直（OA、。8、。。|均大于2米）.该

农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板.将木板的一边紧贴地面，另外一组对边

紧贴墙面，围出一个三棱柱（无盖）形的谷仓.

（1）若木板较长的一边紧贴地面，且围成的谷仓体积为正立方米，问：此时木板与两个墙面

2

所成的锐二面角大小分别为多少？

（2）应怎样摆放木板，才能使得围成的谷仓容积最大？并求出该最大值.

【答案】（1）《和］

63

（2）体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，与两个墙面所成锐二面角均为45°

【分析】（1）利用设二面角为或三棱柱底面的一条直角边长为x两种方法进行求解即可；

（2）用（I）中的e或X表示谷仓容积，再利用三角函数和基本不等式，进行求最值即可得

解.

（1）法一：设其中一个锐二面角的大小为夕，

则三棱柱底面的两条直角边长分别为28S，、2sin。，高为1,

体积丫=S/2=L2cos61-2sin6M=sin2e="，解得，=§或£，

2263

所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别孙呜.

法二：设三棱柱底面的一条直角边长为M0<x<2），

则另•条直角边长为67,高为I,

体积V=S"='x•"二立，解得X=1或G，

22

所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为？和g.

63

（2）法一：同（1）中法一所设，

若长边紧贴底面，体积y=S〃=、2cos，-2sin，/=sin2041,

2

等号当且仅当。=£时成立；

4

若短边紧贴底面，体积V=S/?=■!■•cos，•sin，♦2='sin2,4',

222

等号当且仅当0=二时成立；

显然1>:,所以体积最大值为1立方米，此时木板长边贴地，

与两个墙面所成锐二面角均为45°.

法二：同（1）中法二所设，

若长边紧贴底面，体积V=S/2='r.1</+4--=],

24

等号当且仅当％=应时成立；

若短边紧贴底面，体积y=s/?=Lx•庐三

222

等号当且仅当x=变时成立；

2

显然1>；,所以体积最大值为1立方米，

此时木板长边贴地，

与两个墙面所成锐二面角均为45°（也可描述底面两条直角边长）.

4.（2021.上海.格致中学高二期中）在四棱锥P-A88中，底面为梯形，AB//CD,4PAD

为正三角形，且F4=A8=2,/BAP=NCDP=9Q°,四棱锥尸―ABCD的体积为2石.

(1)求证：AB_L平面PAO；

(2)求PC与平面ABCD所成角的正弦值；

(3)设平面PABc平面PCZ)=/,求证：1//AB,并求二面角B-/-C的大小.

【答案】(1)证明见解析：(2)巫；⑶J

103

【分析】(1)根据线面垂直的判定定理，结合题意，即可得证.

(2)根据面面垂直的判定、性质定理,结合正三角形的性质，可证产。,平面ABCD,则NPCQ

即为PC与平面A8CO所成角，据四棱锥的体积，可求得CQ长，在R/APCQ中，求得各个

边长，即可得答案.

(3)根据线面平行的判定和性质定理，可证AB///,结合题意，可得月4_U,同理

则NAP。即为二面角8-/-C所成的平面角，根据三角形性质，即可得答案.

(1)证明：因为NCDP=90。，所以8,0产，

因为所以

乂因为NB4P=90。，即舫_LAP,且AP,DPu平面PAD，

所以平面PA£>：

(2)因为A8JL平面心£>,AB\平面A8CD,

所以平面R4T>_L平面ABCD,

取AO中点Q,连接PQ,CQ,

因为△小£)为正三角形，。为A£>中点，

所以尸。J.4。，又平面BAD，平面ABC£>,且平面PAOA平面A8cZ)=A。,

所以PQ_L平面48。，

所以NPCQ即为PC与平面ABCD所成角，

在RhP。。中，PQ=JPD?=5

设C。长为x,

则四棱锥尸—ABCD的体积V=gsA88xPQ=gxgx（2+x）x2x0=2G,

求得CO长x=4,

在心△C£）。中，CQ=yjCD2+DQ*1=V17.

在R〃PCQ中，pc=y]CQ2+PQ2=2>/5,

所以sinNPCQ="=^=巫，

PC2x/510

所以PC与平面A5CO所成角的正弦值为姮

10

（3）证明：因为AB//C。，CQu平面尸CD,A8（z平面尸CD,

所以4?〃平面PCD,

又ABi平面B4B，且平/Wc平面PCO=/,

所以AB///.

因为A4J_A5，AB//h

所以PA，/,同理尸。，/,

所以ZAPD即为二面角8-/-C所成的平面角，

因为△以£>为正三角形，

所以乙4尸。=2,即二面角B_/-C的大小为

Q巩固练习

一、填空题

1.（2021.上海奉贤区致远高级中学高二期中）若正方体ABCQ-ABGR的棱长为I，则异

面直线AB与。蜴之间的距离为.

【答案】1

【分析】作出正方体图像，观察即可得到答案.

【详解】如图:

BBI与AB,4。均垂直，BB,即为两异面直线的距离，

故答案为：1

二、解答题

2.（2021・上海中学高二阶段练习）如图，长方体488-ABCQ中，卜用=恒4=1,|偿|=2,

点尸为。。的中点.

A

⑴求证：直线〃平面B4C；

（2）求异面直线与AP所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）30。.

【分析】（DAC和8。交于点。，由尸O〃B。即能证明直线〃平面R4C.

⑵由PO〃BD、,得NAPO即为异面直线BDt与叱所成的角.由此能求出异面直线与加＞所

成角的大小.

（1）设AC和8。交于点。，则。为BD的中点，

连结PO,又：尸是。R的中点，PO〃B〃，

又POu平面PAC,BD/平面PAC,

...直线BR〃平面PAC；

⑵山（1）知，尸。〃叫，,ZAPO即为异面直线与4P所成的角，

-：\PA\=\PC\=^2,|4O|=JAC|=乎且PO_LAO,

s。微/弓

又ZAPOe(0。，90°],AZAPO=30°

故异面直线BDJjAP所成角的大小为30。.

3.（2021•上海市进才中学高二期中）已知正四棱锥P-A3C£）中，AB=1,24=2；

（1）求侧棱与底面所成角的正弦值；

（2）求正四棱锥P-ABCO的体积

【答案】（1）巫（2）巫

46

【分析】（1）由于正四棱锥尸-ABCD,故顶点在底面的投影在底面的中心。，连结PO,A。

分析可得NR4。即为侧棱与底面所成角，利用题干长度关系求解即可

（2）由于PO_L平面ABC。，^Vp_ABCD=^xPOxSABCD,计算即可

（1）由于正四棱锥P-A5CD,故顶点在底面的投影在底面的中心。，连结PO,AO

故P。，平面ABCD,ZPAO即为侧棱与底面所成角

万行

由/W=l,PA=2,fy.AO=—AB=—

22

乂POL平面ABC。，AOu平面ABCD,故PO_LAO

PO=yjPA1-AO2=

fesinZPAO=—=—

PA4

即侧棱与底面所成角的正弦值为亚

4

(2)由(1)20，平面43(7。，且？。=恒

2

故VfBCD=§XPOXSASCO=^X~^~X^=~^~

即正四棱锥P-ABCD的体积为近