高中数学-离心率

高中数学•椭圆离心率

22

rv

1.设椭圆C：j+2V=l（a>b>0）的左、右焦点分别为耳、6，P是C上的点，PF2LFtF2,

ab

/P耳6=30,则C的离心率为（）A.I11

B.-C.-D.6

6323

2.如图所示，耳，鸟分别为椭圆的左，右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短

半轴长的I■，则椭圆的离心率为（）

4

ABV2c1D.-

-f335

3.若椭圆的短轴为A8,一个焦点为6,且A86为等边三角形的椭圆的离心率是（）

11

A.RD6.--L■-----------D.-

4222

22

4.已知椭圆餐+%=1（。>匕>0）的左、右焦点分别为耳、巴，点A是椭圆短轴的一个顶点，且

cos/^A居=N，则椭圆的离心率e=()A.-B.立C.』D.I

82244

22

5.已知"，鸟是椭圆C：鼻+方=l（a>〃〉0）的左、右焦点，过左焦点耳的直线与椭圆。交于A3两点，且

|做卜3忸耳\AB\=\BF2\,则椭圆C的离心率为（）A.B.°C.2^^D."'3

6.已知月（一1,0）,6（1,0）是椭圆C的两个焦点，过工且垂直于X轴的直线交C于A,5两点，且|A@=3,则

22222

。的方程为()A.—+^-=1B.—4-y2=1C.三+二=1D

32343-?P

7.已知耳，耳是椭圆上的两个焦点，过耳且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，若AB月是正三角形,

则这个椭圆的离心率是（）

C0D,正

A

-TB-T23

22

8.已知丹，鸟分别是椭圆三+}=l（a>6>0）的左、右焦点，尸为椭圆上一点，且以「（06+02）=0,

0为坐标原点，若,耳卜倒叫，则椭圆的离心率为（）

A.76-73B.C.在一小D.

22

22

9.设耳、咒分别是椭圆二=i（a>力〉0）的左、右焦点，直线/过耳交椭圆于A8两点,交y轴于c点，若满

ab

足£。=^4片,且NC4鸟=30°,则椭圆的离心率为（）A.乎B.；C.D.|

10.设椭圆E的两焦点分别为耳，F2,以耳为圆心，忻工|为半径的圆与E交于P,。两点，若八/华玛为直

角三角形，则E的离心率为（）A.避二1B.72-1C.—D.V2+1

22

11.已知耳，鸟是椭圆G£+4=1（。>。>0）的左，右焦点，A是。的左顶点，点尸在过A且斜率为"的

ab-A

2111

直线上，△「£鸟为等腰三角形，N耳名尸=120。，则。的离心率为（）A.§B.]C.-D.-

22

12.已知椭圆。：与+y

=1（a>b>0）的左，右焦点分别为耳，F2,以月为圆心的圆过桶圆。的中心,

a~

且与。在第一象限交于点P,若直线尸月恰好与圆鸟相切于点P,则。的离心率为（）

R6-1

A.V3-1£>.-----------L•--------D.与1

22

9

兀Y~

13.倾斜角为二的直线经过椭圆二十（a>b>0）的右焦点尸，与椭圆交于A,8两点，且4尸=3F8,

6a2b~

则椭圆的离心率为（）B立

2

22

14.已知椭圆W+3=13>%>0）的两个焦点为与，鸟,P为椭圆上一点，/6。6=90。.若人^鸟的内切

圆面积为土，则椭圆的离心率为（）

12D,县

A.-R6C.一

2233

参考答案

1.D

【解析】

由题意可设|PF2|=〃L结合条件可知|PFI|=2〃?，/典=上in,

%士、-2cRF、下)tnx/3

故离心率e——=---------=-------=---选D.

2aPF}+PF22m+m3

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于仇。的方程

或不等式，再根据a,上。的关系消掉b得到。，c的关系式，而建立关于a,的方程或不等

式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

2.A

【解析】

【分析】

设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c,可得|ft),利用勾股定理与

椭圆的定义建立关于氏C的等式，化简整理得b=从而得出C=，“2—已=导,

即可算出该椭圆的离心率.

【详解】

设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为〃、仄C,

可得焦点为人一，。….。)，点M的坐标为可刎

：RSMfi凡中，FxFiLMFi,

2222422

'.\FIF2\+\MF2\=\MFI\,即4c+-b=\MFi\,

根据椭圆的定义得|MFi|+|MF2|=2a,

22

可得|MQ|2=(2a-\MF2\)2=(2a--b),

248

:.(2a一一b)2=4i+一炉,整理得4c2=4〃2一一面,

393

2

可得3(a2-c2)—2ab,所以弘2=2ab,解得b=—a,

3

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：.c^y]a2-b2^-a,因此可得e=£=好，

3a3

即该椭圆的离心率等于好.

3

故选:A.

【点睛】

本题已知椭圆满足的条件，求椭圆的离心率的大小，着重考查了椭圆的定义、标准方程与简

单几何性质等知识，考查了勾股定理的应用，属于中档题.

3.B

【解析】

【详解】

试题分析：因为A86为等边三角形，所以£=COS30=—.

a2

考点：椭圆的几何性质.

点评：椭圆图形当中有一个特征三角形，它的三边分别为a,b,c.因而可据此求出离心率.

4.C

【解析】

【分析】

7

画出图象，根据cos/6,求出c之间的关系，即可求得答案.

O

【详解】

根据题意，画出图形

A是椭圆短轴的一个顶点,

心是以A顶点的等腰三角形

可得|A凰=|A周

根据椭圆定义可知：|A耳|+|A闻=2a

|*=|伍|=。

△4月K根据余弦定理可得：|耳工『=|A6尼『一2a司|A行|cosN耳Ag

222

4c②=a+a-2a•cosZ.FXAF2

即4c2=2a2-2a2--河得—=—

8a216

c1„,c1

r.—=一，即e=-=一

a4a4

故选:C.

【点睛】

本题主要考查了求椭圆的离心率，解题关键是掌握椭圆的基础知识和余弦定理,考查了分析能

力和计算能力，属于中档题.

5.B

【解析】

【分析】

由已知条件和椭圆定义，将|AB条8玛|JA4|,|伍|用a表示,在AB"中求出cosA,

在百心用余弦定理，建立。等量关系，即可求解.

【详解】

设|86|=%,则|MI=3X,|ABH%I=4X,

而|BFt|+|BF21=5x=2a,x=^a,:.\AFtl=《a，•'」A居|=,

16

a2

在班中‘"。

R；源产6424

25

在△人耳工中，|丹6|2=4。2=|4用2+|伍|2-2|筋||你|854,

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C210Vw

储255

故选:B.

【点睛】

本题考查椭圆的几何性质，涉及到椭圆的定义、余弦定理，意在考查直观想象、逻辑推理和

数学计算，属于中档题.

6.C

【解析】

【分析】

在直角三角形A6K利用勾股定理求IAf；|,再由椭圆的定义求。的值.

【详解】

3

因为|AB|=3,所以|同6|=5,又1661=2,

所以在直角三角形Af；鸟中，|AK|=J|EK|2+|A3|2=p+g)2=|，

53

因为|A耳|+|伍|=尹］4=2。，所以。=2,c=l"=g,

22

所以椭圆的方程为：工+匕=1.

43

【点睛】

本题考查焦半径、椭圆的定义、椭圆的标准方程等知识，考查运算求解能力.

7.B

【解析】

【分析】

由△ABF2是正三角形可知A耳=44E,即O=、5.2C，由此推导出这个椭圆的离心

3a3

率.

【详解】

耳，耳是椭圆上的两个焦点，过耳且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，若ABE

是正：角形，可得/坨=;

耳鸟,即—=•2c,,即\/3b2=2ac，

a3

G(a?-c?)=2ac,

即：V3(l-e2)=2e,

解得e=@.

3

故选B.

【点睛】

本题考查椭圆的基本性质及其应用，解题要注意公式的合理选取.

8.A

【解析】

【分析】

由向量加法的平行四边形法则及尸耳・（。6+。尸）=0可证得PF^LF.P^从而在APf；鸟

中易得到a,c的关系.得离心率.

【详解】

如图，取P片中点A,连接04,则204=04+OP,QA=；gP,

：.OFI+OP=F2P,

V^-（OF；+OP）=0.：.PF}F2P=0,-.PF11F2P，

；|p耳卜夜|尸鸟］,不妨设,居卜机，则卜J%,

2a

：.\PF\\PF\=2a=m+41mm==2(a-l)a,

}+21+V2

又田用=2c,

••4ca=nr+2"/=3M=3x4(V2—I)2a2=12(3—2\/2)a2>

2

A—=3(^-l)2,Ae=^x(V2-l)=V6->/3.

a

故选：A.

【点睛】

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本题考查求椭圆的离心率，解题关键是由尸耳-（。『。尸卜。得出尸耳从而可快

速得到a,c的关系.

9.B

【解析】

【分析】

根据椭圆标准方程，可得a,b,c,结合定义及余弦定理可求得归耳卜|尸居|值，由

ZFtPF2=60及三角形面积公式即可求解.

【详解】

则/=25,廿=9,所以/=16,

则|西|+|尸引=2a=10,|%|=2c=8

由余弦定理可知cosZFtPF2=附।:吧用=-

'22|尸£卜|尸月|2

代入化简可得忙4Hp周=12,

则=；附|忖研新/耳次=IX12XT=3^,

故选：B.

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程及几何性质的简单应用，正弦定理与余弦定理的简单应用，三角

形面积公式的用法，属于基础题.

10.A

【解析】

【分析】

根据椭圆中线段关系，表示出恒娟=3叵，忻弓=2c,|AK|=2a—3叵.由余弦定

99

理即可求得。与c的关系，进而求得离心率.

【详解】

22

因为Q是椭圆C:=l(a＞》＞0)的左焦点，直线/过向交y轴于C点

筋+5

所以耳(―c,0),即|04|=c,

因为NC6E=30,所以|c用=2年，

3

又因为6c二万4耳，

所以|A4卜警，

在AA£鸟中，|A6|=勺a，忻闾=2c,|AK|=2a—也,

99

根据余弦定理可得COS/4GE」AK|:由,I―,亮1,

2河片用

所以离心率为e=£=3.

a3

故选:A

【点睛】

本题主要考查椭圆离心率的相关问题，在巴中利用余弦定理，是解决此题的关键，考

查学生的分析问题与解决问题的能力.

11.B

【解析】

【分析】

由AP£鸟为直角三角形，得NP/"=90。，可得|P4|=2c,|P闻=2&c,利用椭圆的定

义和离心率的概念，即可求解.

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【详解】

如图所示，因为"6工为直角三角形，所以玛=90°,

所以归用=2c,|P段=20c,则2c+2夜c=2a，解得e=?=V^-l,故选B

【点睛】

本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的定

义和离心率的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

12.D

【解析】

【详解】

分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.

详解：因为△地巴为等腰三角形，/耳用？=12()。，所以PF2=FE=2C,

由AP斜率为立得，lanZPAF2也，sinNF4K=3,cosNP4E,=2

2

66V132至

由正弦定理得景sinZPAF2

sinZAPF2

11

2c=1_H~.\a=4c,e=故选D.

所以=

a+csin^-ZPAFJ也近一l一154

32V132713

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程

或不等式，再根据。，瓦c的关系消掉b得到。的关系式，而建立关于a,0,c的方程或不等

式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

13.A

【解析】

【分析】

利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可.

【详解】

22

椭圆C：=+4=1（。>>>0）的左，右焦点分别为耳，F,以鸟为圆心的圆过椭圆

ab~2

。的中心，且与。在第一象限交于点尸，若直线恰好与圆月相切于点P,

可得(2a—cr+c2=4c2,可得=/

所以e2+2e—2=0,ew(0,l)

解得”守g

故选：A

【点睛】

本题考查利用椭圆的定义以及性质求离心率，属于中档题.

14.D