新人教 高中数学 必修第一册 课时作业1. 5 全称量词与存在量词

1.5全称量词与存在量词

1.5.1全称量词与存在量词

【学习目标】1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.

3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.

知识梳理-----------梳-理-教-材、夯-实--基-础

知识点全称量词和存在量词

全称量词存在量词

量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个

符号V3

命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题

“对〃中任意一个x,p（x）成立“，“存在〃中的元素X,0（x）成立“，可

命题形式

可用符号简记为“NXRM,筒x）”用符号简记为'勺XGM,5

■思考辨析判断正误

1.“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.（X）

2.全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.（V）

3.“三角形内角和是180。”是全称量词命题.（V）

题型探究探究重点素养提升

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一、全称量词命题与存在量词命题的辨析

例1（1）下列语句不是存在量词命题的是（）

A.有的无理数的平方是有理数

B.有的无理数的平方不是有理数

C.对于任意xdZ,2x+l是奇数

D.存在xGR,2x+l是奇数

答案C

解析因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A,B,D均为存

在量词命题，选项C为全称量词命题.

(2)给出下列几个命题：

①至少有一个x,使f+2x+l=0成立；

②对任意的x,都有x+21=0成立；

③对任意的x,都有f+2x+l=0不成立；

④存在x,使犬+2入+1=0成立.

其中是全称量词命题的个数为()

A.1B.2C.3D.0

答案B

解析因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为存

在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2.

反思感悟全称量词命题或存在量词命题的判断

注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略.

跟踪训练1下列命题中全称量词命题的个数为()

①平行四边形的对角线互相平分；

②梯形有两边平行；

③存在一个菱形，它的四条边不相等.

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析①②是全称量词命题，③是存在量词命题.

二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断

例2判断下列命题的真假.

(1)3xGZ,f<l；

⑵存在一个四边形不是平行四边形；

⑶在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x,力都对应一点P;

(4)Vx©N,£〉0.

解(1)因为一lez,且(―1>=—1<1,

所以FxGZ,xtl”是真命题.

(2)真命题，如梯形.

(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.

⑷因为OWN,。=。，所以命题“VxGN,f>0”是假命题.

反思感悟全称量词命题和存在量词命题真假的判断

⑴要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x,命题p(x)为真；但要

判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素X,使命题p(x)为假.

⑵要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素X,使命题p(x)为真;

要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素X,命题0(x)为假.

跟踪训练2指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.

(l)VxWN,2x+l是奇数；

(2)存在一个xGR,使」7=0.

解(1)是全称量词命题，因为VxGN,2x+1都是奇数，所以该命题是真命题.

(2)是存在量词命题.因为不存在xGR,使^=0成立，所以该命题是假命题.

三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数

例3已知集合/={x|—2WxW5},8={X|R+1WXW20-1},且片。.

(1)若命题0:"VxGB,xG/"是真命题，求勿的取值范围；

(2)命题g：'勺x^A,xGB"是真命题，求R的取值范围.

解(1)由于命题2”VxG"'是真命题，

所以医4肝。,

1,

所以<勿+12—2,

、2/»—1W5,

解得2W必W3.

(2)g为真，则,

因为办。，所以〃22.

")+1W5,

所以气0一12一2,

”22.

解得2W〃W4.

反思感悟求解含有量词的命题中参数范围的策略

对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求

函数的最大值(或最小值).

跟踪训练3若命题“对任意实数x,2x>Mf+l)”是真命题，求实数0的取值范围.

解由题意知，不等式2x>H(y+i)恒成立，

即不等式2x+ffl<0恒成立.

⑴当0=0时，不等式可化为一2x<0,显然不恒成立，不合题意.

（2）当0#0时，要使不等式勿随一2了+成0恒成立，

则2

解得水一1.

综上可知，所求实数0的取值范围是水一1.

随堂演练基础巩固学以致用

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1.下列语句不是全称量词命题的是（）

A.任何一个实数乘以零都等于零

B.自然数都是正整数

C.高二（一）班绝大多数同学是团员

D.每一个学生都充满阳光

答案C

解析“高二（一）班绝大多数同学是团员”，即“高二（一）班有的同学不是团员”，是存在

量词命题.

2.下列命题中为全称量词命题的是（）

A.有些实数没有倒数

B.矩形都有外接圆

C.存在一个实数与它的相反数的和为0

D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行

答案B

3.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）

A.每个二次函数的图象都开口向上

B.存在一条直线与已知直线不平行

C.对任意实数a,b,若a—6W0,则

D.存在一个实数x,使等式系一2x+l=0成立

答案C

解析B,D是存在量词命题，故应排除；对于A,二次函数y=ax2+6x+c（a〈0）的图象开口

向下，也应排除，故应选C.

4.下列命题，是全称量词命题的是,是存在量词命题的是（填序号）.

①正方形的四条边相等；

②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；

③正数的平方根不等于0;

④至少有一个正整数是偶数.

答案①②③④

解析①②③是全称量词命题，④是存在量词命题.

5.若对任意x〉3,x〉a恒成立，则a的取值范围是.

答案aW3

解析对于任意x〉3,x>a恒成立，即大于3的数恒大于a,所以aW3.

■课堂小结—

1.知识清单：

⑴全称量词命题、存在量词命题的概念.

⑵含量词的命题的真假判断.

⑶通过含量词的命题的真假求参数.

2.常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调

“个别、部分”.

课时对点练注重双基强化落实

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g基础巩固

1.下列命题是“VxCR,/〉3”的另一种表述方式的是（）

A.有一个xGR,使得x”3

B.对有些xGR,使得x”3

C.任选一个xGR,使得f〉3

D.至少有一个xWR,使得尤〉3

答案C

2.存在量词命题“存在实数x,使f+l〈0”可写成（）

A.若xGR,则f+l>0B.VxGR,/+K0

C.aXGR,A-2+1<0D.以上都不正确

答案c

解析存在量词命题中“存在"可用符号'勺”表示，故选C.

3.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（）

A.锐角三角形的内角是锐角或钝角

B.至少有一个实数£,使/W0

C.两个无理数的和必是无理数

D.存在一个负数x,使>2

X

答案B

4.给出下列三个命题：

①对任意的xCR,xyQ；

②存在xGR,使得/Wx成立；

③对于集合4B,若XG4C6,则XG4且

其中真命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析对于①，存在x=0,使得1=0,故①是假命题；显然②③是真命题.

5.下列说法正确的是（）

A.对所有的正实数力，有⑴〈力

B.存在实数x,使x?—3x—4=0

C.不存在实数x,使水4且f+5x-24=0

D.任意实数x,使得|x+l|Wl且V>4

案

答B

1

解析

时

力

-4-t,所以A选项错；由f—3x—4=0,得x=—1或x=4,因此当x=-1

或x=4时，x"—3x—4=0,故B选项正确；由/+5x—24=0,得x=—8或x=3,所以C

选项错；x=0时，不成立，所以D选项错.

6.下列存在量词命题中真命题有.

①有的实数是无限不循环小数；

②有些三角形不是等腰三角形；

③有的菱形是正方形.

答案①②③

7.命题“有些负数满足不等式（1+x）（1—9x）2〉0"用‘勺”写成存在量词命题为

答案mx<0,（1+x）（1—9X）2>0

解析存在量词命题“存在〃中的元素x,使0（x）成立"可用符号简记为'勺xGM,p（x）”.

8.下列命题中，是全称量词命题的有.（填序号）

①有的实数是整数；②三角形是多边形；

③矩形的对角线互相垂直；④VxdR,f+2〉0；

⑤有些素数是奇数.

答案②③④

9.判断下列命题的真假.

(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；

(2)存在一个实数x,使得等式f+x+8=0成立.

解(1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为镜，镜就不能用正有理数表示.

(2)假命题，方程V+x+8=0的判别式zl=-31<0,故方程无实数解.

10.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：

(1)3x,x—2W0.

(2)三角形两边之和大于第三边.

⑶有些整数是偶数.

解(1)存在量词命题.X—1时，x—2=-1W0,故存在量词命题x,x-2W0”是真命

题.

(2)全称量词命题.三角形中，任意两边之和大于第三边.故全称量词命题“三角形两边之和

大于第三边”是真命题.

⑶存在量词命题.2是整数，2也是偶数.故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题.

京综合运用

11.下列全称量词命题中真命题的个数为()

①对任意的实数a,b,都有

②二次函数与x轴恒有交点；

③Vx£R,p£R,都有f+|y|>0.

A.1B.2C.3D.0

答案B

12.已知命题夕：Vx£R,3+2入一己〉0.若夕为真命题，则实数H的取值范围是()

A.a)—1B.水—1C.—1D.aW—1

答案B

解析依题意不等式x?+2x-a>0对x£R恒成立，所以必有/=4+4水0,解得水一1.

13.若存在x£R,使af+2x+水0,则实数z的取值范围为.

答案伯|水1}

解析当aWO时，显然存在x£R,使3系+2万+水0；

当於0时，需满足d=4一4才>0,得一1〈水1,

故0〈水1.

综上所述，实数a的取值范围是水1.

14.若任意x£R,函数V:"小+工一加一女的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.

解(1)当勿=0时，p=x—a与x轴恒相交，所