杭州市萧山区2017年命题比赛试卷高中数学试卷一

2017年高考模拟试卷数学卷命题双向细目表

题序考查内容分值难易程度

3L集合运算4容易题

2充分必要条件4容易题

3函数的性质4容易题

4平行垂直4容易题

5平面向量4容易题

6函数，基本不等式4中档题

中等偏难

7立体几何的问题4

题

8解三角形4中档题

9解不等式和绝对值不等式4中档题

10函数的新定义问题4较难题

11数列的通项及求和6容易题

12三视图体积表面积6容易题

13线性规划6容易题

14概率，期望基本运算6较难题

15平面向量概念及数量积的几何意义4较难题

16抛物线问题4较难题

17双曲线离心率最值问题4较难题

18三角函数化简求值和性质14容易题

19空间中线线、线面垂直的判断及几何法求15容易题

面面角

20函数及导数的应用15中档题

21圆锥曲线的方程及函数的最值15较难题

数列的通项及非特殊数列利用放缩法求

2215较难题

和

考试设计说明

本试卷设计是在认真研读《2017年考试说明》的基础上精心编制而

成，以下从三方面加以说明。

一、在选题上：

(1)遵循“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立

以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检

测考生的数学素养。

(2)试卷保持相对稳定，适度创新，逐步形成“立意鲜明，背景

新颖，设问灵活，层次清晰”的特色。

二、命题原则：

(1)强化主干知识，从学科整体意义上设计试题.

（2）注重通性通法，强调考查数学思想方法.

（3）注重基础的同时强调以能力立意，突出对能力的全面考查.

（4）考查数学应用意识，坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”

的原则.

（5）结合运动、开放、探究类试题考查探究精神和创新意识.

（6）体现多角度，多层次的考查，合理控制试卷难度。

2017年高考模拟试卷数学卷

本试卷分第（I）卷（选择题）和第（II）卷（非选择题）两部分.满

分150分，考试时间120分钟

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：

球的表面积公式：5=4K/?2,其中斤表示球的半径；

球的体积公式：联，心其中7?表示球的半径；

3

棱柱体积公式：V=Sh,其中S为棱柱的底面面积，/?为棱柱的高；

棱锥体积公式：，其中S为棱柱的底面面积，〃为棱柱的高；

台体的体积公式：丫=?6+■'+S2）其中「应分别表示台体的上底、

下底面积，力表示台体的高.

第I卷（选择题共40分）

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的

签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号

涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在

试题卷上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（原创）设全集U=R,集合P=U|x>l}，Q={^X2-X-2<0},则（[〃P）

nQ=（）

A.（-1,1）B.（-2,1]C.0D.（-1,1]

2.（改编）已矢口z=>一1+（苏-3根+2）j（为虚数单位），贝1J"〃z=-l"

是“z为纯虚数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条

件

3.（摘录）下列函数中周期为万且为奇函数的是

A.B

C.D.

4.（改编）如图1,四棱柱ABCD-ABCR中,E、F

分别是BQ的中点.下列结论中，正确的是

（）

A.EF1BB,B.EF〃平面

ACG4

C.EF±BDD.EF_L平面BCGg

5.（改编）P为4ABC部一点，且满足|P8|=2|PA|=2,,且2所+3万+4定=6,

则AA3C的面积为（）

A.-B.-C.1D.-

835

6.（改编）设“为实常数，y=/（乃是定义在R上的奇函数，且当x＜（）

时，.若/3）加+1对一切北0成立，贝。的取值范围是（）.

A.a＜0B.3C.D.

7.（摘录）将正方形ABCZ＞沿对角线3。折叠成一个四面体A8CD,当该

四面体的体积最大时，直线AB及C。所成的角为（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

8.（改编）.在AA8C中，已知，且AABC最大边的长为旧，则AA8C的

最小边为

（）

A.1B.V5C.V2

D.3

9.(摘录)设实数a使得不等式|2%一|+m-2。|加2对任意实数王恒成

立，则满足条件的&所组成的集合是()

A.B.C.D.[-3,3]

10.(改编)设/(x),g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(/°g)(x):

任意xeR，

(fog)(x)=/(g(x))•若，，则()

A.(/°/)(%)=/(x)B.(/og)(x)=/(x)

C.(g°f)(x)=g(x)D.(gog)(x)=g(x)

第II卷(非选择题共110分)

注意事项：

1.黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹

的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题：本大题7小题，11T4题每题6分，15T7每题4分，共

36分，把答案填在题中的横线上.

11.(原创)若正项等比数列｛叫满足4+%=3,«5=1，则公比

q=，an=•

12.(原创)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积

为.

表面积是.

13.(摘录)已知实数x,>满足条件若存在实数a使

得函数z="+y(a<0)取到最大值z(a)的解有无数个，

111T

俯视图

贝|Ja-,z（a）_.

14.（原创）一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、

绿色的球各2个，现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜

色的概率是.若取到红球得1分，取到黄球得2分，取到绿球

得3分，记变量g为取出的三个小球得分之和，则4的期望为—.

15.（原创）在AABC中，CA=2,CB=6,ZACB=60°.若点。在ZAC8的角平

分线上，满足租&+〃加,m,〃G/?,且，则充的取值范围

是.

16.（改编）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A,B在该抛物线上且位

于X轴的两侧，OAOB=2（其中0为坐标原点），则△AF0及△BF0

面积之和的最小值是.

22

17.（摘录）已知双曲线G：土本=1（〃<0力>0）的左右焦点分别为6,工，

抛物线G：/=2PMp>o）的焦点及双曲线c,的一个焦点重合，G与G在第

一象限相交于点P,且闺用=仍用，则双曲线的离心率为.

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答题应写出必要的文字说

明、证明过程或演算步骤.

18.（原创）（本题满分14分）

已知函数/（x）=—sin2x-cos2x-m,

（l）求函数/（x）的最小正周期及单调递增区间；

（2）若时，函数/Q）的最大值为0,求实数加的值.

19.（改编）（本小题满分15分）

在四棱锥P-ABC。中，AD//BC,ZABC=ZAP3=90。，点M是线段A8上

的一点，且PMLCD,AB=BC=2PB=2AD=4BM.

（1）证明：面"8，面45。。；/：\

（2）求直线CM及平面PCD所成角的正弦嬖N一…，，畛

DC

20.（本小题满分15分）

（摘录）已矢口函数/（x）=-；x3+2ox2-3a2x+b,（a,heR）

（1）当。=3时，若/（x）有3个零点，求b的取值范围；

（2）对任意，当xe[a+l,a+m]时恒有-a«r（x）«a,求〃?的最大值，并求

此时/（x）的最大值。

21.（本小题满分15分）

（改编）已知椭圆的焦点坐标为耳（-1,0）,玛（1,0）,过鸟垂直于长轴

的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3,

（1）求椭圆的方程;

（2）过名的直线1及椭圆交于不同的两点M、N,则△耳MN的内切圆

的面积是否存在最大值？若存在求出这个最

大值及此时的直线方程；若不存在，请说明

理由.

22.（本小题满分15分）

（原创）已知数列｛&｝的前n项和为S“，且nwN*.

（1）求证为等比数列，并求出数列口｝的通项公式；

（2）设数歹1」｛为的前n项和为人是否存在正整数4,对任意

孙〃eN*,不等式M"Sn<0恒成立？若存在，求出4的最小值，若不存在，请

说明理由

2017年高考模拟试卷数学卷参考答案及解题提示

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1.D【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题.

2.C【命题意图】本题考查纯虚数的概念，属于容易题

3.B【命题立意】本题主要考查三角函数的周期、诱导公式、奇偶性

问题，难度较小。

【解题思路】B.根据函数的周期为不可知选项C,D错误，又因为选项

A中y=sin（2x-］）=cos2x为偶函数，而选项B中y=cos（2x-］）=-sin2x为奇

函数，所以选B.

4.B【命题意图】本题考查空间中直线及平面的位置关系，属于容易

题

【解析】试题分析：如图，取明的中点/，连接延长ME交AA

于P,延长ME交CC.于Q,丁上、F分别是姐、g的中点，，P是AA

的中点，。是CG中点，从而可得后是MP中点，尸是MQ中点，所以

EFUPQ,又PQu平面ACGA，EFZ平面ACG4，所以PQ〃平面AC£4,

选B.

B

考点：线面平行.

命题意图空间中直线及平面的位置关系

5.A.【命题意图】本题考查平面向量的线性运算等基础知识，意在考

查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力.

【解析】如图所示，作丽=2所，PE^3PB,PF=4PC,/.PD+PE+PF=Q,

,•P为^DEF重心，・•sRPDE=S"EF=S"DF>,,SAPAC=TX~7S"DF=~S"DF'同理，,

24o

•c_1C1.5万1

•*S&PAB;S&PBC:S^PAC=4:2:3,又,|P3|=2|PA|=2,,••OADAP=---2-1-Sin-----=—9

“AB262

S

••S1M3c=td>ABx+3=',故选A.

4o

6.D【命题意图】函数奇偶性，不等式恒成立

试题分析：因为y=/（x）是定义在R上的奇函数，所以当x=（）时，小）=0;

22

当x>()时，f(x)=-f(-x)=-[-9x+—+7]=9x+—-7,因此ONa+l且对一切

—XX

x>()成立所以。<—1且2》x・0——72。+1n-6a-7>«+1=>a<—r即・

7.B【命题意图】本题考查空间位置关系的判断，求两异面直线所

成的角，属于中档题

【解题思路】法一：取妆AC,的中点，分别为O,M,N,则ON,MN所

成的角即为所求的角。当该四面体的体积最大时，即面ABZ)垂直于面

BCDo设正方形边长为2,则=脑V=ON=1,所以直线AB及8所成

的角为6。°。

法二：ABCD^AB(BD-BC)=-^

8.C.【命题立意】本题主要考查两角和的正切公式以及正弦定理的应

用，难度中等。

13

【解题思路】在AA8C中，tan(A+B)=tanA+tanB=即

1-tanAtanB.13

1------X——

45

tanC=-l,所以C=135。，所以c=V17

因为tanB>tanA,则角A所对的边最小。由可知，由正弦定理，得

V17V17

a=sinA----------X-产V2o

sinC17V2

2

9.A

【解析】令，则有，排除B、Do由对称性排除C,从而只有A正确。

一般地，对届R,令，则原不等式为|叶依-1|+||〃|.伙-当加2,由此易

知原不等式等价于，对任意的“£R成立。由于

5,c,4

-k-3k>—

23

3414

iii+/丁1--^\<k<-,

23

3--kk<l

2

所以min{H-l|+2|左一g|}=!，从而上述不等式等价于。

“R233

10.A

试题分析：从A开始判断，(/。/)(©=/(/(初=［八幻'/⑴>°,当x>0时，

f(x),/(x)<0

/(x)=%>0,(/o/)(x)=/(%)=%,当x<0时，/(x)=X2>0,(/o/)(%)=fix)=X2,

当x=0时(fo/)(x)=/2(x)=0=()2,因此对任意的xeH,有(/。/)(%)=/(X)，A

正确下面的B、C、D不再考虑了，选A.

考点：新定义，分段函数.

二、填空题：本大题7小题，11-14题每题6分，15-17每题4分，共

36分.

11.巫，2吧

2

试题分析：因为a3a5=。：=1，%>0,所以&=1，因为％+q=3,所以4=2,

因为，q>0,所以，所以%=%尸=2、国”=22之所以答案应填：冬

2」

22.

【命题立意】本题考查：1、等比数列的性质；2、等比数列的通项公

式.基本量运算，属于容易题.

12.5,14+V19.

试题分析:

试题分析：由三视图可知该几何体为长方体截去两个三棱锥后剩下的

部分，如图.根据三视图可知，长方体的长、宽、高分别为2,1,3,

所以几何体的体积V=2xlx3-2xlxlxlxlx3=6-l=5,表面积

32

S=2x3x-!-+2x3+2xl+2x3xlxi+J—xV2xix2=14+719.

22V22

【命题意图】本题考查三视图及棱柱、棱锥的体积111T

俯视图

公式.属于容易题

13.-1；1

【命题意图】本题考查：线性规划的基本问题；属于容易题.

14.6

【命题意图】本题考查排列组合，期望的运算.属于容易题.

15..

【命题立意】本题考查：1、平面向量的数量积的应用；2、向量的坐

标运算；

试题分析：如下图，以C为坐标原点，CB所在直线作x轴建立平面直角

坐标系.

则可知3(6,0),A(l,5)，直线C。：，可设，其中x>0,由OC=mOA+〃O5得,

(一x,一x)=m(\—x,y/3一x)+〃(6—x,一x),

-x=m(l一x)+n(6-x)

所以出厂内g，所以.由可得：，即，所以

—x=77/(v3—x)+n(—x)

阿居孚畔,

16.叵

4

【命题立意】本题考查：1、抛物线；2、基本不等式；属于较难题。

17.【命题立意】本题主要考查学生抛物线及双曲线的定义域及性质，

需要找出”之间的关系，难度较大。

【解题思路】设点P(Xo，x3尸(c,。),过点P做抛物线G：_/=2pMp>o)准

线的垂线，垂足为A,连接尸工。根据双曲线的定义和恒用=|P4|=2c,

可知|P[=2c-2a。由抛物线的定义可知|尸4=$+。=2<?-2"，则Xo=c-2a。

在RtAF^AP中,

田山之=(2*(2c-2a卜=Sac-4a2,即

y(/=8ac-4a2,由题意可知，所以=2px()=4c(c-2"),所以

8ac-4a2=4c(c-2a),化简可得c?-4ac+a?=0,即/-4e=l=0(e>l),解得

e-2+V3

三、解答题：本大题共5小题，共74分.

18.(1)T=1,单调递增区间为，keZ;(2).

【解析】

试题分析：(1)化简了⑺，求出了(X)在最小正周期，解不等式，求出函

数的递增区间即可；(2)根据X的范围，求出的范围，得到关于加的方

程，解出即可.

试题解析

(1)/(x)=—sin2x-cos2x-w=—sin2x-1+C°s2-y-zn=sinf

'，222<6j2

则函数f(x)的最小正周期

T=兀,...5分

根据一代+2kjr<2x--<—+2k7r,keZ>得一色+<—+k7r,keZ,

26263

所以函数的单调递增区间为，keZ.……7分

(2)因为，所以，……9分

则当，时，函数取得最大值3……11分

即，解得：.……14分

考点：三角函数中的恒等变换；三角函数的周期性及其求法；三角函

数的最值.

19.本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识.同

时考查空间想象能力和运算求解能力.满分15分.

【解析】(1)由A8=2依=48"，得

又因为PM_LCD,且ABDCD,所以PW面ABC£),5分

且PMu面PAB.所以，I®PABlffiABCDO.........7分

(2)过点M作M/7J.CD,连结HP,

因为PMLCD,,

所以CDJ•平面PAM,又由CDu平面PCD,

所以平面PM”_L平面尸CD,平面平面PCD=P”，过点M作

p

MNLPH,即有MN_L平面PCD,所

以4MCN为直线CM及平面PCD所

成角....10分

在四棱锥P-ABC。中，设AB=2Z,

则,，，，，

从而sin/MCN="L述，即直线

CM40

CM及平面P8所成角的正弦值为普.……15分

20.f'［x}=-x2+4ax-3a2--------------------------------------------2分

(1)a=3,r(x)=-(x-3X^-9),f(x)极小值=〃3)=-36+。,/⑺极大值

=/(9)=匕

由题意：:.0<b<36------------------------------6分

(2)时，有2aWa+l<2,由广(x)图不，/(尤)在［a+l,a+m］上为减函数

f'{a+m)<f'(a+\)易知/(a+l)=2a-l<a必成立；8分

只须f\a+m)>-a得

可得-----------------------10分

Xm>1：.\<m<2团最大值为212分

此时xe\a+l,a+2］,有助Wa+l<3aWa+2

/(x)在［a+1,3a］内单调递增,在［3a,a+2］内单调递减,

•・•/(尤),海=/(3。)=匕---------------------------------------15分

21.(1)设椭圆方程为=1(a>b>0)，由焦点坐标可得c=l......1由

PQ|=3,可得也=3,

a

解得a-2,b-V3,故椭圆方程为

=1..............6分

(2)设M(x,y),N(x2，%)，不妨弘>0，%<。，设△KMN的内切圆的径妨

贝1「△GMN的周长=4a=8,(MN+KM+^N)R=4R

因此S心最大，R就最大，

SAMN=；KK(x—y2)=x—>2，..............8分

由题知，直线1的斜率不为零，可设直线1的方程为x=my+l,

由得(3m2+4)V+6my-9=0,

得，，.............10分

则AB(%_%)=%_必=，令t=J〃，+i,贝11t?l,..............12分

贝1令f(t)=3t+』，当t'l时，f(t)在

3m+43/+14-t