函数的性质与图像变换

函数的性质与图像变换一、函数的性质定义：函数是两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。函数的要素：domain（定义域）、range（值域）、rule（对应法则）。函数的性质：单射性（一一对应）：若f：A→B，对于A中任意两个不同的元素x1、x2，都有f(x1)≠f(x2)，则f为单射函数。满射性（完全对应）：若f：A→B，对于B中任意一个元素y，都存在A中至少一个元素x，使得f(x)=y，则f为满射函数。连续性：若f：A→B，对于A中任意一个元素x，都有lim(x→a)f(x)=f(a)，则f为连续函数。二、图像变换横向变换（平移）左加右减：若函数f(x)图像向左平移h个单位，则新函数为f(x+h)；若函数f(x)图像向右平移h个单位，则新函数为f(x-h)。上下变换（伸缩）上加下减：若函数f(x)图像向上平移k个单位，则新函数为f(x)+k；若函数f(x)图像向下平移k个单位，则新函数为f(x)-k。左缩右扩：若函数f(x)图像在x轴方向上压缩m倍（m>1），则新函数为f(mx)；若函数f(x)图像在x轴方向上扩展m倍（0<m<1），则新函数为f(mx)。纵向变换（对称）y=f(x)关于y轴对称的函数为y=f(-x)。y=f(x)关于x轴对称的函数为y=-f(x)。y=f(x)关于原点对称的函数为y=-f(-x)。横向与纵向变换的组合y=f(x)先向左平移h个单位，再向上平移k个单位的函数为y=f(x+h)+k。y=f(x)先向右平移h个单位，再向下平移k个单位的函数为y=f(x-h)-k。y=f(x)先在x轴方向上压缩m倍，再向上平移k个单位的函数为y=f(mx)+k。y=f(x)先在x轴方向上扩展m倍，再向下平移k个单位的函数为y=f(mx)-k。三、函数图像的特点与应用直线图像：一次函数y=kx+b的图像为直线，斜率k决定直线的倾斜程度，截距b决定直线与y轴的交点。抛物线图像：二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定，顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。分段函数图像：分段函数由多个基本函数组成，根据各段的定义域和表达式，画出每段的图像，再进行拼接。实际问题：通过函数图像解决实际问题，如最优化问题、边界问题等。物理方程：将物理问题转化为函数关系式，通过绘制函数图像来分析物理现象。数据分析：对一组数据进行拟合，找出符合数据规律的函数图像，从而对数据进行分析。四、函数与方程的关系函数与方程的定义：函数：两个非空数集A、B之间的对应关系，记作f：A→B。方程：含有未知数的等式，记作f(x)=0。函数与方程的关系：习题及方法：习题一：判断以下函数是否为单射函数。f：R→R，f(x)=2xg：R→R，g(x)=x^2答案与解题思路：答案：是单射函数。解题思路：对于任意两个不同的实数x1、x2，若f(x1)=f(x2)，则有2x1=2x2，即x1=x2，故f为单射函数。答案：不是单射函数。解题思路：对于任意两个不同的实数x1、x2，若g(x1)=g(x2)，则有x12=x22，即x1=x2或x1=-x2，故g不是单射函数。习题二：已知函数f(x)=2x+3，求f(x)向左平移2个单位后的函数。答案与解题思路：答案：f(x+2)=2(x+2)+3=2x+7。解题思路：根据平移变换的法则，将x替换为x+2，得到f(x+2)=2(x+2)+3。习题三：已知函数f(x)=x^2-2，求f(x)向上平移1个单位后的函数。答案与解题思路：答案：f(x)+1=(x2-2)+1=x2-1。解题思路：根据平移变换的法则，将原函数的值域中的每一个元素加1，得到新的函数f(x)+1。习题四：已知函数f(x)=3x-2，求f(x)在x轴方向上压缩2倍后的函数。答案与解题思路：答案：f(2x)=3(2x)-2=6x-2。解题思路：根据压缩变换的法则，将x替换为2x，得到f(2x)=3(2x)-2。习题五：已知函数f(x)=x^3-3x，求f(x)关于y轴对称的函数。答案与解题思路：答案：f(-x)=(-x)3-3(-x)=-x3+3x。解题思路：根据对称变换的法则，将x替换为-x，得到f(-x)。习题六：已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)关于x轴对称的函数。答案与解题思路：答案：-f(x)=-(x2-4x+3)=-x2+4x-3。解题思路：根据对称变换的法则，将原函数的输出取相反数，得到-f(x)。习题七：已知函数f(x)=x^2，求f(x)关于原点对称的函数。答案与解题思路：答案：-f(-x)=-(x2)=-x2。解题思路：根据对称变换的法则，将x替换为-x，并将输出取相反数，得到-f(-x)。习题八：已知函数f(x)=2x+3，求f(x)先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后的函数。答案与解题思路：答案：f(x+1)+2=2(x+1)+3+2=2x+7。解题思路：根据组合变换的法则，先将x替换为x+1，得到f(x+1)，再将输出加2，得到f(x+1)+2。其他相关知识及习题：定义：如果函数f：A→B，且对于B中的每一个元素y，都有唯一的x∈A使得f(x)=y，则称f为一一对应的函数，这时，函数f有一个反函数，记作f^-1：B→A。习题一：判断以下函数是否具有反函数。f：R→R，f(x)=2xg：R→R，g(x)=x^2答案与解题思路：答案：具有反函数。解题思路：对于任意实数y，存在唯一实数x使得2x=y，即x=y/2，因此f具有反函数。答案：不具有反函数。解题思路：对于任意实数y，存在两个不同的实数x1、x2使得x12=y和x22=y，因此g不具有一一对应性，不具有反函数。习题二：已知函数f(x)=3x+4，求f的反函数。答案与解题思路：答案：f^-1(x)=(x-4)/3。解题思路：设y=f(x)，则y=3x+4，解出x得到x=(y-4)/3，因此f^-1(x)=(x-4)/3。二、函数的单调性定义：若函数f在区间I上，对于任意的x1、x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称f在区间I上单调递增；若对于任意的x1、x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称f在区间I上单调递减。习题三：判断以下函数在区间（0，+∞）上的单调性。f：R→R，f(x)=x^3g：R→R，g(x)=-2x+5答案与解题思路：答案：单调递增。解题思路：对于任意的x1、x2∈（0，+∞），当x1<x2时，有x13<x23，因此f(x1)<f(x2)，故f在（0，+∞）上单调递增。答案：单调递减。解题思路：对于任意的x1、x2∈（0，+∞），当x1<x2时，有-2x1+5>-2x2+5，因此f(x1)>f(x2)，故g在（0，+∞）上单调递减。三、函数的极值定义：若函数f在区间I上，存在x0使得对于任意的x∈I，都有f(x0)≥f(x)，则称f在x0处取得极大值；若存在x0使得对于任意的x∈I，都有f(x0)≤f(x)，则称f在x0处取得极小值。习题四：已知函数f(x)=x^3-3x，求f的极大值和极小值。答案与解题思路：答案：极大值为2，极小值为-2。解题思路：求导得到f’(x)=3x^2-3，令f’(x)=0得到x=±1，计算f(1)和f(-1)得到极大值为2，极小值为-2。四、函数的应用线性规划：利用函数的性质解决实际问