专题02 实数全章复习攻略（3个概念1个关系3个性质1种运算1个技巧2种思想专练）原卷版-2023-2024学年7下数学期末考点大串讲（人教版）

专题02实数全章复习攻略（3个概念1个关系3个性质1种运算1个技巧2种思想专练）3个概念【考查题型一】算术平方根与平方根一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【例1】（2023秋•鹤壁期末）9的平方根是A．3 B． C． D．没有平方根【变式1-1】．（2023秋•任城区期末）的算术平方根是．【变式1-2】（2023春•扎赉特旗期末）一个正数的的平方根是与，求和的值．【变式1-3】（2023秋•承德县期末）小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．（1）求长方形信封的长和宽；（2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．【考查题型二】立方根如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.【例2】．（2023秋•西安期末）已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根．【变式2-1】（2023秋•高青县期末）已知，，那么下列各式正确的是A． B． C． D．【变式2-2】．（2023春•海林市期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的立方根是．【变式2-3】．（2023春•鄂伦春自治旗期末）若，，则．【考查题型三】实数按定义分：实数按与0的大小关系分：实数【例3】．（2023春•巢湖市校级期中）下列说法中正确的是A．带根号的数都是无理数 B．无限小数都是无理数 C．无理数是无限不循环小数 D．无理数是开方开不尽的数【变式3-1】．（2023秋•射阳县期末）将下列各数对应的序号填在相应的集合里．①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦正数集合：整数集合：负分数集合：无理数集合：【变式3-2】．（2022春•连平县校级期末）我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点；②带根号的数不一定是无理数；③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数．其中说法错误的有（注填写出所有错误说法的编号）【变式3-3】．（旌阳区校级期末）把下列各数填入相应的集合中：、、0、、、、、、①无理数集合②整数集合③有理数集合④负数集合．1个关系【考查题型四】实数与数轴的对应关系要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。【例4】．（2023秋•邯郸期末）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画圆，交数轴于点．则点所表示的数为A． B． C． D．【变式4-1】．（2023秋•河北期末）实数在数轴上对应的点的大致位置是A． B． C． D．【变式4-2】．（2023秋•湛江期末）实数，和原点在数轴上的位置如图所示，下列各式中正确的是A． B． C． D．3个性质【考查题型五】平方根的性质平方根的性质平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.【例5】（2023秋•斗门区期末）已知，若，则的值A．86.2 B．0.862 C． D．【变式5-1】．（2023秋•任城区期末）下列计算正确的是A． B． C． D．【变式5-2】．（2021春•大余县期末）计算：．【变式5-3】．（2023春•滨海新区校级期末）已知，，则的值是．【考查题型六】立方根的性质立方根的性质要点：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.【例6】．（2023春•巴东县期末）已知，，那么下列各式正确的是A． B． C． D．【变式6-1】．（2023秋•柯桥区期末）．【变式6-2】．（2023春•鄂伦春自治旗期末）若，，则．【变式6-3】（2023春•莆田期末）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？（1）【发现与思考】，；又；是两位数；的个位数字是9；的个位数字是．，；的十位数字是．．（2）【运用并解决】类比上述的发现与思考，推理求出110592的立方根．【考查题型七】实数的性质实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即().非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.【例7】．（2023春•鸡西期末）的算术平方根的相反数是A．2 B． C．4 D．【变式7-1】．（2023春•西青区期末）的绝对值是A． B． C． D．【变式7-2】．（2023秋•榕城区期末）已知，．（1）已知的算术平方根为3，求的值；（2）如果一个正数的平方根分别为，，求这个正数．【变式7-3】．（2023春•长垣市期末）已知的立方根是，的算术平方根是2，是的相反数．（1）求，，的值；（2）求的平方根．1种运算【考查题型八】实数的运算数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.【例8】．（2023秋•仪征市期末）（1）计算：；（2）解方程：．【变式8-1】．（2023春•长沙期末）计算：．【变式8-2】（2023春•科左中旗期末）计算：．【变式8-3】．（2023春•铁锋区期末）计算：．1个技巧【考查题型九】比较实数大小的技巧有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.考向1.比较绝对值法【例9】.比较与的大小．考向2.开方法【例10】.比较与的大小。【变式】.比较大小－6______．考向3.平方法或立方法【例11】.比较和的大小．【变式】．比较下列各组数的大小：（1）与2.5；（2）与．考向4.取近似值法【例12】．比较-174和考向5.放缩法【例13】．一个正方形的面积是18，估计它的边长的大小在（

）A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间【变式13-1】．比较大小：______﹣1．（填＞、=或＜）；【变式13-2】.比较与的大小。【变式13-3】．比较下列各组数中两个数的大小．（1）和12；

（2）和．【变式13-4】．比较与的大小．考向6.作差法【例14】.比较大小：1-______1-（填＞或＜）【变式14-1】.比较和的大小．【变式14-2】．通过估算，比较与的大小．考向7.特殊值法【变式14-3】．如果实数，那么，，，自小到大顺序排列正确的是（

）A． B． C． D．2种思想【考查题型十】数形结合思想【例15】（2023秋•献县期末）正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为1和0，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2021对应的点是A． B． C． D．【变式15-1】．（2023秋•巴中期末）如图，数轴上有，，，四点，则这四点中所表示的数最接近的是A．点 B．点 C．点 D．点【变式15-2】．（2023春•敦化市期末）表示实数，的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值．【变式15-3】．（2023春•咸安区期末）已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示：（1）化简：；（2）若实数，满足，求的平方根．【变式15-4】（2023春•无为市期末）（1）在数学活动课上，老师要求同学利用手中纸片剪出一块面积为的正方形，试求出