《数字图像处理》课件第5章 频域处理

数字图像处理DigitalImageProcessing目录1.概论2.数字图像处理基础3.图像增强4.图像的几何变换5.频域处理6.数学形态学基础7.图像分割8.图像特征与理解第五章频域处理1.频域与频域变换2.傅立叶变换3.频域变换的一般表达式4.离散余弦变换5.频域变换中图像处理的实现6.小波变换简介原始图像频域图像5.1频域与频域变换

频域变换本质上是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。参考资料：（从头到尾彻底理解傅里叶变换算法）/v_JULY_v/article/details/6196862

5.1频域与频域变换理论基础：任意波形都可以用不同频率和相位的正弦波或余弦波的加权和来表示。(a)(b)(c)(d)＝＋＋

图5-1任意波形可分解为正弦波或余弦波的加权和5.1频域与频域变换将图5－1(b)所示的正弦波取出来,虚线表示的振幅为1，且初相位为0的正弦波作为基本正弦波，则实线表示的波形可由其振幅A和初相位φ确定。一个正弦波可由频率，振幅和相位唯一确定。图5－2正弦波的振幅A和相位φ5.1频域与频域变换图5－1(b)、(c)、(d)３个不同的正弦波形可以描述为图5－3所示的2幅图。其中图5－3(a)表示振幅与频率之间的关系，称为幅频特性，而图5－3(b)表示初相位与频率之间的关系，称为相频特性。Au(a)幅频特性φ(b)相频特性图5-3图5-1(a)波形的频域表示u5.1频域与频域变换

时域和频域之间的变换可用数学公式表示如下：幅值与相位与频率w之间的关系F(w)为幅值与相位关于频率w的复数表示5.1频域与频域变换

举例来自：/69407/从时域看到的信号和频域看到的信号是不一样的。频域为信号的分析和处理提供了另一种视角。5.1频域与频域变换

举例来自：/69407/相位谱：基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。5.2傅立叶变换傅立叶变换是一种常用的正交变换，它的理论完善，应用广泛。

在图像处理应用领域，傅立叶变换起着非常重要的作用，可用它完成图像分析、图像增强及图像压缩等工作。5.2.1傅立叶变换

如果一维连续信号f(x)满足狄里赫莱条件，即：(1)有限个间断点；(2)有限个极值点；(3)绝对可积。其傅立叶变换对一定存在。f(x)的傅立叶变换与反变换(Fouriertransformpair)定义为x－时变量；u－频域变量。

正变换逆变换5.2.1傅立叶变换

1维连续傅里叶变换举例，窗函数的傅里叶变换：对p(t)作傅里叶变换对上式求解，可得F(u)的表达式5.2.1傅立叶变换如果二维函数f(x,y)满足狄里赫莱条件，则它的二维傅立叶变换对为:x,y－时域变量；u,v－频域变量。正变换逆变换5.2.2离散傅立叶变换

定义：设{f(x)|f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}为一维信号f(x)的N个抽样，其离散傅立叶变换对为：x,u=0,1,2,…,N－15.2.2离散傅立叶变换

欧拉公式离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列对每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和u决定了每个傅立叶变换结果的频率5.2.2离散傅立叶变换傅立叶变换为复数形式R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部傅立叶变换的指数形式式中：(R(u),I(u))实轴虚轴相位谱幅度谱5.2.2离散傅立叶变换离散傅里叶变换举例：5.2.2离散傅立叶变换离散傅里叶变换举例：5.2.2离散傅立叶变换离散傅里叶变换举例：信号的傅里叶变换结果5.2.2离散傅立叶变换信号的傅里叶变换中，F(i)和F(N-i)的频谱值相等，为什么？

说明：5.2.2离散傅立叶变换将一维离散傅立叶变换推广到二维，定义为：式中：u,x=0,1,2,…,M-1；v,y=0,1,2,…,N-1；x,y为时域变量；u,v为频域变量。5.2.2离散傅立叶变换二维离散函数的傅立叶频谱、相位谱和能量谱分别为：式中：R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部。5.2.3离散傅立叶变换的性质二维离散傅立叶变换的性质对图像的分析具有十分重要的作用。线性比例性质可分离性平移性质空间位移频率位移图像中心化当时，5.2.3离散傅立叶变换的性质二维离散傅立叶变换的性质对图像的分析具有十分重要的作用，因此，有必要理解和掌握二维DFT的性质。周期性共轭对称性旋转不变性平均值卷积定理5.2.3离散傅立叶变换的性质二维离散傅立叶变换的性质对图像的分析具有十分重要的作用，因此，有必要理解和掌握二维DFT的性质。互相关定理自相关：5.2.3离散傅立叶变换的性质线性+=fftfftfft+=5.2.3离散傅立叶变换的性质比例性质5.2.3离散傅立叶变换的性质

比例性质证明5.2.3离散傅立叶变换的性质比例性质图像幅度谱5.2.3离散傅立叶变换的性质可分离性可分离性

f(x,y)

F(x,v)

F(u,v)按行进行一维DFT按列进行一维DFT139921373606682022-8+6i-2-8-6i13-1+6i-3-1-6i153-93164-8i04+8i22-8+6i-2-8-6i13-1+6i-3-1-6i153-93164-8i04+8i66-2+4i-14-2-4i7+3i3+11i7+3i-25-i8-8+8i-88-8i7-3i-25+i7-3i3-11i行变换列变换变换结果以列为对象5.2.3离散傅立叶变换的性质可分离性139921373606682012181422-2+4i-3+7i9-i3-7i-4043-7i-2-4i-3-7i9+i3+7i12181422-2+4i-3+7i9-i3-7i-4043-7i-2-4i-3-7i9+i3+7i66-2+4i-14-2-4i7+3i3+11i7+3i-25-i8-8+8i-88-8i7-3i-25+i7-3i3-11i行变换列变换以行为对象5.2.3离散傅立叶变换的性质可分离性5.2.3离散傅立叶变换的性质平移性质—时移它表明若在时域f(x)在平移时间t，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位将改变ut。tMM5.2.3离散傅立叶变换的性质平移性质—时移证明5.2.3离散傅立叶变换的性质平移性质—时移5.2.3离散傅立叶变换的性质平移性质—频移证明：(a)原图像(b)无平移的傅立叶频谱(c)平移后的傅立叶频谱频谱平移示意图5.2.3离散傅立叶变换的性质平移性质—频移频移性5.3频域变换的一般表达式傅立叶变换是可分离变换的一个特例，这类变换具有一些共同特点。可分离变换图像变换的矩阵形式5.3.1可分离变换

二维傅立叶变换可用通用关系式表示

g(x,y,u,v),h(x,y,u,v)称为变换核，如果满足：

如果g1和g2,h1和h2在形式上一样，则称该变换是对称的。5.3.1可分离变换

二维傅立叶变换是可分离变换，它的核函数是对称的。二维傅立叶变换可以利用变换核的可分离性，用两次一维变换来实现。5.3.2图像变换的矩阵表示

设f(x,y)为M×N的图像灰度矩阵，将可分离变换写成矩阵的形式：式中：F、f－二维M×N的矩阵；P－M×M矩阵；Q－N×N矩阵。图像变换的矩阵表达式和代数表达式其本质相同，将上式写成代数表达式如下：式中：u取0,1,2,…,M－1；v取0,1,2,…,N－1。Q:对f每一行的变换，P：对f每列的变换5.4离散余弦变换（DCT）

离散余弦变换（DiscreteCosineTransform）的变换核为余弦函数，因其变换核为实数。

DCT的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号、图像信号的相关特征。

近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准中，均把DCT作为其中的一个基本处理模块。5.4.1一维离散余弦变换一维DCT的变换核定义为：式中：x,u取0,1,2,…,N－1，且 设{f(x)|x=0,1,…,N-1}为离散的信号列，则一维DCT定义如下： 式中：u,x取0,1,2,…,N－1

5.4.1一维离散余弦变换将DCT写成矩阵形式：其中：一维DCT的逆变换IDCT定义为：式中：x,u取0,1,2,…,N－15.4.2二维离散余弦变换将一维DCT的定义推广到二维DCT。其正变换核为：

f(x,y)为M×N的二维离散信号，其二维DCT定义如下：二维DCT逆变换定义如下：5.4.2二维离散余弦变换

DCT频谱举例DFT和DCT的频谱分布比较(a)DFT频谱分布(b)DCT频谱分布5.5频域中图像处理的实现理解数字图像的频谱图

频域图像处理步骤频域滤波5.5.1理解数字图像的频谱图数字图像平移后的频谱中，图像的能量将集中到频谱中心（低频成分），图像上的边缘、线条细节信息（高频成分）将分散在图像频谱的边缘。频谱中低频成分代表了图像的概貌，高频成分代表了图像中的细节。ft低频部分：变化缓慢高频部分：变化快5.5.2频域图像处理步骤在频域中进行图像处理的步骤如下：（1）计算图像的DFT，得到F(u,v)；（2）用滤波函数H(u,v)乘以F(u,v)，得到处理结果G(u,v)；（3）计算滤波后的IDFT；（4）取IDFT变换结果中的实部，得到处理后的图像。H(u,v)称作滤波器，它具有允许某些频率成分通过，而阻止其它频率成分通过的特性。滤波后的图像可以由IDFT得到：通过H(u,v)对图像在频域F(u,v)进行处理：5.5.2频域图像处理步骤频域处理的基本步骤流程图为：f(x,y)预处理DFT滤波F(u,v)*H(u,v)IDFT后处理g(x,y)5.5.3频域滤波

低通滤波器。低通滤波器允许低频成分通过，而抑制高频成分。因此，它能够去除图像中的噪声，实现图像平滑操作。5.5.3频域滤波低通滤波器举例(c)D0=10(d)D0=30(e)D0=60(f)D0=160(a)原图像

(b)频谱图像5.5.3频域滤波高通滤波器与低通滤波器相反，高通滤波器则允许高频成分通过，而抑制低频成分。因此，它能够强化图像中目标的边缘，起锐化作用。5.5.3频域滤波

带通滤波器带通滤波器允许指定范围的频率成分通过，而抑制其它频率成分。理想带通滤波器的滤波函数为：5.5.3频域滤波带阻滤波器带阻滤波器抑制指定范围的频率成分，而允许其它频率成分通过。理想带阻滤波器的滤波函数为：5.5.3频域滤波巴特沃斯滤波器由于理想滤波器存在明显的“振铃”现象，且其垂直的频率响应特性仅能用软件方法实现，无法用电路实现。因此，研究实用滤波器极具应用价值。一种常用的频域滤波器是巴特沃斯（Butterworth）滤波器。低通巴特沃斯滤波器高通巴特沃斯滤波器式中:5.5.3频域滤波巴特沃斯滤波器举例(a)原始图像(b)D0=60，n=1的滤波器

(c)低通巴特沃斯滤波效果巴特沃斯滤波器及处理效果5.6小波变换简介傅里叶变换能够得到信号的频率组成，但不知道频率发生的时间。如上图所示，两个不同的信号，他们的傅里变换是类似的，主频成分也近似一致。5.6小波变换简介对于非平稳信号，只知道包含哪些频率成分是不够的，我们还想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况，各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。来自：/question/22864189/answer/407720835.6小波变换简介小波分析的主要优点之一就是提供局部分析与细化的能力。

小波分析在时域和频域都具有良好的局部化特性，这称为小波变换的“数学显微镜”特征。

与传统的信号分析技术相比，小波分析能在无明显损失的情况下，对信号进行压缩和去噪。5.6.1小波变换的理论基础与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Motherwavelet）的宽度来获得信号的频率特