第一节 直线的方程课时作业 高三数学一轮复习

高考数学一轮复习-第八章-第一节直线的方程-课时作业（原卷版）[A组基础保分练]1.（2024·湖北武汉）若直线l的一个方向向量为（－1，3），求直线的倾斜角（）A.π3B.C.2π32.过点P（－1，3）且倾斜角为30°的直线方程为（）A.3x－3y＋43＝0B.3x－y＋23＝0C.3x－3y＋23＝0D.3x－y＝03.若将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则l的斜率是（）A.－32B.C.－23D.4.（多选）（2024·辽宁大连）已知直线l：3x－y＋1＝0，下列说法正确的是（）A.直线l的倾斜角为60°B.直线l在x轴上的截距为1C.直线l的一个方向向量为a＝（1，3）D.直线l与直线x＋3y＋c＝0垂直5.（多选）下面说法错误的是（）A.经过定点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k（x－x0）表示B.不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝C.经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y＝kx＋b表示D.经过任意两个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2）的直线都可以用方程（x2－x1）（y－y1）＝（y2－y1）（x－x1）表示6.方程y＝ax＋1aa>0表示的直线可能是（7.直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是（）A.[－2，2]B.（－∞，－2]∪[2，＋∞）C.[－2，0）∪（0，2]D.（－∞，＋∞）8.直线l的方程为kx－y＋2k＋1＝0k∈R，则该直线过定点9.直线l的倾斜角是直线3x－y－1＝0的倾斜角的2倍，且过点（3，－1），则直线l的方程为.10.过点1，1411.在△ABC中，点A（2，1），B（1，3），C（5，5）.若D为BC的中点，则直线AD所在直线方程为.[B组能力提升练]12.直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是（）A.33B.C.－3D.－313.（2024·贵州遵义）若直线l：a－2x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为（A.（－∞，0）∪（2，＋∞）B.（－∞，0）∪[2，＋∞）C.（－∞，0）∪3D.（－∞，0）∪314.已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy（）A.无最小值，且无最大值B.无最小值，但有最大值C.有最小值，但无最大值D.有最小值，且有最大值15.斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距｜PiPi＋1｜（i＝1，2，3，…，9）均为3.4m，拉索下端相邻两个锚的间距｜AiAi＋1｜（i＝1，2，3，…，9）均为16m.最短拉索的锚P1A1满足｜OP1｜＝66m，｜OA1｜＝86m，则最长拉索所在直线的斜率为（）A.±0.47B.±0.45C.±0.42D.±0.4016.（多选）垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是（）A.4B.－4C.3D.－317.（多选）已知直线xsinα＋ycosα＋1＝0（α∈R），则下列命题正确的是（）A.直线的倾斜角是π－αB.无论α如何变化，直线不过原点C.直线的斜率一定存在D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于118.过点P（－1，0）且与直线l1：3x－y＋2＝0的夹角为π6的直线的一般式方程是19.求圆的切点弦方程可利用“同构”思想.如“已知圆O：x2＋y2＝1，过P－2,−2作圆O的两条切线，切点记为A，B，求直线AB方程”，部分解答如下：设Ax1，y1，Bx2，y2，由PA·OA＝0，化简可得x12＋y12＋2x1＋2y1＝0，又因为x12＋y12＝1，所以2x1＋2y1＋1＝020.已知不全为零的实数a，b，c成等差数列，过点A（1，2）作直线l：ax＋by＋c＝0的垂线与直线l交于点P，点Q在直线3x－4y＋12＝0上，则｜PQ｜的最小值为.2025年高考数学一轮复习-第八章-第一节直线的方程-课时作业（解析版）[A组基础保分练]1.（2024·湖北武汉）若直线l的一个方向向量为（－1，3），求直线的倾斜角（）A.π3B.C.2π3答案：C解析：直线l的一个方向向量为（－1，3），则直线l斜率为－3，所以直线l的倾斜角为2π2.过点P（－1，3）且倾斜角为30°的直线方程为（）A.3x－3y＋43＝0B.3x－y＋23＝0C.3x－3y＋23＝0D.3x－y＝0答案：A3.若将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则l的斜率是（）A.－32B.C.－23D.答案：C解析：由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋b（k≠0），则平移后直线的方程为y＝k（x－3）＋b－2＝（kx＋b）＋（－3k－2），可得kx＋b＝（kx＋b）＋（－3k－2），即k＝－234.（多选）（2024·辽宁大连）已知直线l：3x－y＋1＝0，下列说法正确的是（）A.直线l的倾斜角为60°B.直线l在x轴上的截距为1C.直线l的一个方向向量为a＝（1，3）D.直线l与直线x＋3y＋c＝0垂直答案：ACD解析：由3x－y＋1＝0，可得l：y＝3x＋1，所以直线的斜率k＝3，即tanα＝3，又α∈0，π，所以倾斜角为60°，故在3x－y＋1＝0中，令y＝0，解得x＝－33，所以直线l在x轴上的截距为－33，故由直线的方向向量可知a＝1，3是直线l的一个方向向量，故由直线方程可得两直线的斜率分别为3，－33，所以3×－33＝－1，所以两直线垂直，故5.（多选）下面说法错误的是（）A.经过定点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k（x－x0）表示B.不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝C.经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y＝kx＋b表示D.经过任意两个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2）的直线都可以用方程（x2－x1）（y－y1）＝（y2－y1）（x－x1）表示答案：ABC解析：A错，斜率不存在，则不可用.B错，与坐标轴垂直的直线不可用.C错，y轴不可用.6.方程y＝ax＋1aa>0表示的直线可能是（答案：A解析：当a＞0时，直线y＝ax＋1a的斜率a＞0，该直线在y轴上的截距1a＞0，则直线y＝ax＋17.直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是（）A.[－2，2]B.（－∞，－2]∪[2，＋∞）C.[－2，0）∪（0，2]D.（－∞，＋∞）答案：C解析：令x＝0，得y＝b2，令y＝0，得x＝－b所以所求三角形的面积为12b2｜－b｜＝14b2，且b≠0，14b2≤1，所以所以b的取值范围是[－2，0）∪（0，2].8.直线l的方程为kx－y＋2k＋1＝0k∈R，则该直线过定点答案：－解析：kx－y＋2k＋1＝0可化为k（x＋2）－y＋1＝0，令x+2=0，即直线过定点－29.直线l的倾斜角是直线3x－y－1＝0的倾斜角的2倍，且过点（3，－1），则直线l的方程为.答案：3x＋y－2＝0解析：直线3x－y－1＝0可化为y＝3x－1，其斜率为3，∴其倾斜角为60°，∴直线l的倾斜角为120°，∴kl＝tan120°＝－3，∴直线l的方程为y＋1＝－3（x－3），即3x＋y－2＝0.10.过点1，14答案：x＋4y－2＝0解析：因为直线在两坐标轴上的截距互为倒数，所以可设直线方程为xa＋ay＝1（a≠0）又直线过点1，14，所以1a＋14a＝1，解得a＝2，所以所求直线方程为12x＋2y＝1，即x＋11.在△ABC中，点A（2，1），B（1，3），C（5，5）.若D为BC的中点，则直线AD所在直线方程为.答案：y＝3x－5解析：因为D为BC的中点，所以D（3，4），直线AD的斜率k＝1－42所以直线AD所在的直线方程为y－4＝3（x－3），即直线AD方程为y＝3x－5.[B组能力提升练]12.直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是（）A.33B.C.－3D.－3答案：A解析：设直线l的斜率为k，则k＝－sin30°cos150°13.（2024·贵州遵义）若直线l：a－2x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为（A.（－∞，0）∪（2，＋∞）B.（－∞，0）∪[2，＋∞）C.（－∞，0）∪3D.（－∞，0）∪3答案：C解析：若a＝0，则l的方程为x＝－32，不经过第四象限若a＝2，则l的方程为y＝－12，经过第四象限若a≠0且a≠2，将l的方程转化为y＝－a－2ax因为l经过第四象限，所以－a－2a＜0或－a－2a>0，－2a－3a综上知，a的取值范围为（－∞，0）∪3214.已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy（）A.无最小值，且无最大值B.无最小值，但有最大值C.有最小值，但无最大值D.有最小值，且有最大值答案：D解析：线段AB的方程为x3＋y4＝1（0≤x≤3），则y＝4·1－x3（0≤x≤3），所以xy＝4x1－x3＝－43·x－322＋3，显然当x＝3215.斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距｜PiPi＋1｜（i＝1，2，3，…，9）均为3.4m，拉索下端相邻两个锚的间距｜AiAi＋1｜（i＝1，2，3，…，9）均为16m.最短拉索的锚P1A1满足｜OP1｜＝66m，｜OA1｜＝86m，则最长拉索所在直线的斜率为（）A.±0.47B.±0.45C.±0.42D.±0.40答案：C解析：根据题意，｜OA10｜＝｜OA1｜＋｜A1A10｜＝86＋9×16＝230，即点A10（230，0），同理B10（－230，0），又｜OP10｜＝｜OP1｜＋｜P1P10｜＝66＋9×3.4＝96.6，即点P10（0，96.6），所以kA10P10＝96.6－016.（多选）垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是（）A.4B.－4C.3D.－3答案：CD解析：设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d3，－d4，所以6＝12×－d3所以d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3.17.（多选）已知直线xsinα＋ycosα＋1＝0（α∈R），则下列命题正确的是（）A.直线的倾斜角是π－αB.无论α如何变化，直线不过原点C.直线的斜率一定存在D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1答案：BD解析：根据直线倾斜角的范围为[0，π），而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsinα＋ycosα＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝121－sinα·1－cosα＝18.过点P（－1，0）且与直线l1：3x－y＋2＝0的夹角为π6的直线的一般式方程是答案：x＋1＝0或x－3y＋1＝0解析：直线l1的倾斜角β∈[0，π）且tanβ＝3，则β＝π3因为所求直线与直线l1的夹角为π6所以所求直线的倾斜角为π6或π当所求直线的倾斜角为π2时，直线为x＝－1当所求直线的倾斜角为π6时，直线为y＝33（x＋1），故直线为x－3y＋1综上，所求直线为x＋1＝0或x－3y＋1＝0.19.求圆的切点弦方程可利用“同构”思想.如“已知圆O：x2＋y2＝1，过P－2,−2作圆O的两条切线，切点记为A，B，求直线AB方程”，部分解答如下：设Ax1，y1，Bx2，y2，由PA·OA＝0，化简可得x12＋y12＋2x1＋2y1＝0，又因为x12＋y12＝1，所以2x1＋2y1＋1＝0答案：2x＋2y＋1＝0解析：由于2x1＋2y1＋1＝0，2x2＋2y2＋1＝0，故Ax1，y1，Bx2，y2均满足方程2x＋2y＋1＝0，由两点确定唯一的直线，故直线AB的方程为220.已知不全为零的实数a，b，c成等差数列，过点A（1，2）作直线l：ax＋by＋c＝0的垂线与直线l交于点P，点Q在直线3x－4y＋12＝0上，则｜PQ｜的最小值为.答案：1解析：∵不全为零的实数a，b，c成等差数列，∴b＝a＋c2，代入动直线l：ax＋by＋c得ax＋a