奇偶性 教学设计一-人教A版高中数学必修第一册

3.2.2奇偶性

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章第三节；函数奇偶性

是研究函数的一个重要策略，因此成为函数的重要性质之一，它的研究也为今后基函数、三角函数

的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用；奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教

育起着非常重要的作用，因此本节课充满着数学方法论的渗透教育，同时又是数学美的集中体现。

课程目标学科素养

1.数学抽象：奇函数、偶函数的定义；

A.使学生了解奇函数、偶函数的.定义；［X

2.逻辑推理：判断函数奇偶性的步骤；

B、使学生了解奇函数、偶函数图象的对称

性；3.数学运算：判断函数的奇偶性；

C、使学生.会用定义判断函数的奇偶性。4.直观想象：奇函数、偶函数图象的对称性；

D.培养学生判断、推理的能力，加强化归

转化能力的训练。

1.教学重点：奇函数、偶函数的定义，判断函数的奇偶性;

2.教学难点：用定义判断函数的奇偶性。

多媒体

教学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、情境导航、引入新课通过观察图片，引入

本节新课。提高观察

多媒体出示图片，观察图片有何特点？

的能力，建立数学与

我们现在正在学习的函数图象,是否也会具有对称的特性呢？是否也生活实际的联系，提

体现了图象对称的美感呢？高学生的学习数学

二、探索新知的兴趣。

探究一偶函数

1.在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数通过观察函数的图

象，思考问题，总结

/(x)=V和/(X)=2-1的图象，并观察这两个函数图象.

偶函数的定义。提高

学生的分析问题、总

思考1.总结出它们的共同特征.结问题的能力。

思考2.对于上述两个函数,f⑴与f(-l),f(2)与f(-2),f(-3)与f(3),f(x)

与f(-x)有什么关系？

2.偶函数定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有

f(-x尸f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.

3.思考:定义中“任意一个x,都有f(-x)=f(x)成立”说明了什么？

【答案】说明-x、x必须同时属于定义域，£(一)与£a)都有意义.

结论：(1)偶函数的图象关于y轴对称.

(2)偶函数的定义域关于原点对称.

牛刀小试

通过练习，巩固偶函

判断下列函数是否为偶函数。

数的定义，提高学生

解决问题能力。

(D/(x)=X2,XG[-1,1].(2)/(X)=X2,XG[-1,1)。

【答案】(1)是(2)不是

探究二奇函数

1.观察函数/(x)=%和/(X)=」的图象，并完成下面的两个函数值通过观察函数的图

X象，思考问题，总结

对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？

奇函数的定义。提高

学生的分析问题、总

结问题的能力。

X-3-2-10123

/(X)0

【答案】图象关于X轴对称。

2、奇函数定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,

都有/(-X)=-/(X),那么函数f(x)就叫做奇函数.

奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，反之，一个函数的

图象关于原点对称，那么它是奇函数.

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数

的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对

于定义域内的任意一个X,则一X也一定是定义域内的一个自变量(即

定义域关于原点对称).

③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇

函数的图象关于原点对称.

例1：判断下列函数的奇偶性：

1进一步理解偶

（1）/（x）=/⑵/（X）=x5（3）X

X函数、奇函数的定

义。

f（x）=—

（4）%

应用函数奇偶性定义说明四个函数的奇偶性.(本例由学生讨论，

师生共同总结具体方法步骤)

【解析】解析步骤见教材

总结：利用定义判断函数奇偶性的步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

通过例题，让学

②确定f(-x)与f(x)的关系；生掌握怎样判断函

数的奇偶性，提高学

③作出相应结论:若f(—X)=f(X)或f(―X)—f(X)=0,则f(x)

生解决问题的能力。

是偶函数；若f(一X)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇

函数.

3.思考：

(1)判断函数八%)=%3+》的奇偶性。

(2)如图，是函数/(x)=d+x图象的一部，］

分，你能根据函数的奇偶性画出它在y轴左边/

的图象吗？o\x

(3)一般地，如果知道函数为偶(奇)函数

那么我们可以怎样简化对它的研究？

【答案】(1)奇函数(2)

7

通过思考、让学生根

据奇(偶)函数的图

象的对称性画函数

的图象，进一步理解

函数的奇偶性，提高

学生解决与分析问

题的能力。

三、达标检测

1.下列函数是偶函数的是（）

A.J(x)=xB.兀1）=2^—3

C.火x)=5D../0=(，xe(-i,i]通过练习巩固本节

【解析】对于A,J(—x')=—x=-J(x),是奇函数；对于B,所学知识，提高学生

定义域为R,满足yu)=/(—x),是偶函数；对于C和D,定义域不解决问题的能力，感

对称，则不是偶函数，故选B.悟其中蕴含的数学

思想，增强学生的应

【答案】B

用意识。

2.已知火工)=以2+&是定义在[a-l,2a]上的偶函数，那么。+匕的值

是()

A.-qB.1C.—5D.J

【解析】依题意得x)=yu),.,./7=0,又。-1=-2"，二。

=1,.*.a+b=§.故选B.

【答案】B

3.若奇函数兀v)在[一6,-2]]上是减函数，且最小值是1,则它在

[[2„,6]]<()

A.增函数且最小值是一1

B.增函数且最大值是一1

C.减函数且最大值是一1

D.减函数且最小值是一1

【解析】•••奇函数在[-6,-2]]上是减函数，且最小值是

1,...函数段)在[[2,,,6]]上是减函数且最大值是一1.

【答案】C

4.如图,已知偶函数式x)的定义域为｛x|x#O,xGR),且火3)=

0,则不等式yu)<o的解集为________.

【解析】由条件利用偶函数的性质，画出函数7U)在R上的简

图：

Wb

二二

数形结合可得不等式TU)VO的解集为(-3,0)U(0,3).

【答案】(-3,0)U(0,3)

5.设函数Hx)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，贝x)=Zr2—*

(1)求_/(犬)的表达式；

(2)画出火x)的图象.

【解】(1)当x=0时，_/(一。)=一40),则#))=0；当x<0时，

即一r>0,函数y(x)是奇函数，

则./(x)=-/(_x)=_[2(-x)2—(_x)]=—(2x2+x)=~2x2~x.

2x2~x,x>0

综上所述，段)=<0,x=0

2x2-x,x<0.

(2)函数次x)的图象如图所示：

\

\\

X\

•/

/-]「1

/

—]1______1

四、小结通过总结，让学生

进一步巩固本节所

奇偶性奇函数偶函数学内容，提高概括能