第13讲 函数与方程-人教A版高中数学必修一讲义（解析版）

函数的应用

8］本章综述I

本章目的是让理论与实际相结合，能运用函数的思想理解和处理现实中相关的问题，培养解决实际问

题的能力，函数的应用题历来是高考的热点和重点，近十年来，函数的应用几乎每年都考查，命题的背景、

设问新颖灵活，但解决此类问题用的都是高中已学过的知识、方法。

第十三讲函数与方程

教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向

1.函数的零点数学运算水平1水平11.了解函数零点的概【考查内容】函数零点存

念，领会函数零点与相在的判定、函数零点的个

2.函数零点的存在性定理逻辑推理水平1水平1应方程的实根的关系。数、二分法的概念与应

用。

2.能利用函数的性质找

3.二分法数学运算水平1水平1

零点，从而求出方程的【考查题型】选择题、非

根。选择题

4.函数零点的性质逻辑推理水平2水平2

3.理解二分法的概念及【分值情况】选择题

其使用条件。5To分,非选择题6分

知识通关

知识点1函数的零点

(1)概念：函数f(x)的零点是使f(x)=O的实数x.

(2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:

知识点2函数零点的判断

⑴条件：①函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线；@f(a)-f(b)<0.

(2)结论：函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c6(a,b),使得f(c)=O,这个c也就是方程

f(x)=O的根.

知识点3二分法的定义

(1)定义：对于在区间［a,b］上连续不断且/(a)•/(。)<0的函数y=/(x),通过不断地把函数/(x)

的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法。

(2)满足的条件：

在区间［a,b］上连续不断的函数y=f(x)且在区间端点的函数值满足：f(a)f(b)<0.

(3)操作过程：

把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值.

知识点4二分法求函数零点近似值的步骤

题型一函数零点的概念及求法规律方法函数零点的两种求法

那么函数g(x)=bx?—ax的零点是.

(1)代数法：求方程f(x)=O的实数根，若存在实

数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.解析：

⑵几何法：与函数y=f(x)的图象联系起来，图象.函数f(x)=ax+b有一个零点是2,

与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.

.,.2a+b=0=b=—2a,

g(x)=bx2—ax=-2ax2—ax=—ax(2x+1),

V—ax(2x+l)=0=>x=0»x=-

例1、(1)函数y=/-4的零点是()

A.(±2,0)B.0.,.函数g(x)=bx?—ax的零点是0,—

C.±2D.4

答案0,一受

(2)设函数/(%)=2'"-4g(x)=l-log2(x+3)

题型二确定函数零点的个数

则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为.

规律方法判断函数零点个数的四种常用方法

(3)若3是函数f(x)=x2—mx的一个零点，则

m=.(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的

解析：实数根就有几个零点.

(1)令/一4=0,解得x=±2,所以函数(2)画出函数y=f(x)的图象，判定它与x轴的交

y=/-4的零点是±2；

点个数，从而判定零点的个数.

(2)令/(x)=21—4=0解得x=_],(3)结合单调性，利用零点存在性定理，可判定

即f(x)的零点为一1,

令g(x)=l—log2(x+3)=0,解得x=T,

...函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为一2.

(3)由f(3)=32—3m=0解得m=3.

答案⑴C(2)-2(3)3

【变式训练1】例2、判断下列函数零点的个数.

函数f(x)=ax+b有一个零点是2,(1)f(x)=X3-X;

,35答案(1)3(2)0(3)1

(2)f(x)=x~—XH—;

48

【变式训练2】

(3)f(x)=Inx+%2-3

函数f(x)=lnx—J1的零点的个数是()

解析：

A.0B.1C.2D.3

(i)y(x)=x(x—D(x+1)，

解析：

令x(x-l)(x+l)=0,

如图画出y=lnx与y=%的图象，

解得x,=0,x2=l,x3=-l,

即函数的零点为—1,0,1,共3个；由图知y=lnx与丫=止净>0,且x^l)的图象有两

,35个交点.

(2)由/'(x)=0,即/―+二=0,得

48

故函数f(x)=lnx—占■的零点有2个.

A=(--)2-4xlx—=--<0,

4816

所以方程/,一23工+己5=0没有实数根，

48

即函数/(x)零点的个数为0；

(3)函数对应的方程为Inx+x?—3=0,

所以原函数零点的个数即为

题型三判断函数零点所在的区间

函数y=lnx与y=3—x?的图象交点个数.

规律方法确定函数f(x)零点所在区间的常用方法

在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).

\.(1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方

/I程，再看求得的根是否落在给定区间上.

(2)利用函数零点存在性定理:首先看函数y=f(x)在区

由图象知，函数y=3—x2与y=lnx的图象只有一

间［a,b］上的图象是否连续，再看是否有f(a>f(b)<0.

个交点.从而方程lnx+x2-3=0有一个根，

若f(a)-f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.

即函数y=lnx+x2—3有一个零点.

(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在

给定区间上是否有交点来判断.

(2)V/(x)=--log2x,

，f(x)为(0,+8)上的减函数，且f(l)=6>0,f(2)

=3—log22=2>0,f(4)=?_2=_；<0,

例3、(1)二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值

如下表：

由零点存在性定理，

X-3-2-101234可知包含1奴)零点的区间是(2,4).

y6m—4-6-6-4n6答案(1)A(2)C

【变式训练3】

不求a,b,c的值，判断方程ax2+bx+c=0

(1)函数/(x)=3*+gx—2的零点所在的一个区

的两根所在区间是()

间是()

A.(—3,—1)和(2,4)

A.(-2,-1)B.(-1,0)

B.(-3,-1)和(一1,1)

C.(一1,1)和(1,2)C.(0,1)D.(1,2)

2

D.(-00,一3)和(4,+oo)(2)函数/(x)=ln九一一的零点所在的大致区间

x

(2)已知函数/'(x)=9—log,x,在下列区间是()

x

中，包含f(x)零点的区间是()A.(1,2)B.(%+8)

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(1,1)^(3,4)

C.(2,4)D.(4,4-00)

(3)若方程x-lg(x+2)=l的实根在区间

解析：

(k,k+l)(kez)±,则k等于()

(1)易知f(x)-ax2+bx+c的图象是一条连续不断

的曲线，又f(-3)f(—l)=6x(—4)=-24<0,A.-2B.1

.•.f(x)在(一3,—1)内有零点，C.-2或1D.0

即方程ax2+bx+c=0在(一3,—1)内有根，解析：

同理方程ax2+bx+c=0在(2,4)内有根.故选A.(1)由已知可知，函数=2单调

递增且连续，答案(1)C(2)C(3)C

V/(-2)=-^<0,/(-1)=-^<0,题型四二分法概念的理解

9o

规律方法运用二分法求函数的零点应具备的

3

/(0)--1<0,/(1)=1>0,条件

.•./(0)./(1)<0,(1)函数图象在零点附近连续不断.

由函数零点存在性定理可知，(2)在该零点左右函数值异号.

函数/(幻=3,+3X一2的一个零点所在区间只有满足上述两个条件，才可用二分法求函

是(0,1),故选C；

2

(2)函数/(x)=lnx-一单调递增，且有

x

例4、(1)下列函数中，不能用二分法求零点的是

2

/(2)=In2-1<0,/(3)=ln3-1>0,()

・,•函数有一个零点在区间(2,3)内，故选C；

(3)由题意知，x和，则原方程即为lg(x+2)=:,

(2)下列函数中不能用二分法求零点近似值的是

在同一平面直角坐标系中作出

()

函数y=lg(x+2)与y=(的图象，如图所示，

A./(x)=3x-lB.f(x)=x3

由图象可知，原方程有两个根，一个在区间

C./(x)=|乂D./(x)=lnx

(-2,-1)上，一个在区间(1,2)上，

(3)用二分法求方程2，+3x—7=0在区间(1,3)内

二k=-2或k=l.故选C.的根，取区间的中点为x0=2,那么下一个有根的

区间是•

解析：

(1)观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数

图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，

则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点;

⑵对于选项C而言，令忖=0,得x=0,题型五用二分法求函数的零点

规律方法用二分法求函数零点的近似值应遵循

即函数/(x)=W存在零点，但当x〉0时，

的原则

f(x)>0；当x<0时，/(x)>0,

(1)需依据图象估计零点所在的初始区间［m,n］

.../(x)=W有零点，但零点两侧函数值同号，

(一般采用估计值的方法完成).

...不能用二分法求零点的近似值；

(2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解

(3)设f(x)=2*+3x—7,f(l)=2+3-7<0,

区间是［m,c］还是［c,n］,逐步缩小区间的''长度"

f(3)=10>0,f(2)=3>0,ITTAJ-TVA-'.111I-A业士Rz—12./.it.t'I/xhr

f(x)零点所在的区间为(1,2),

方程2x+3x-7=0有根的区间是(1,2)。

答案(1)B(2)C(3)(1,2)

【变式训练4】

例5、用二分法求函数f(x)=x3—x—1在区间［1,1.5］

已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与

内的一个零点(精确度0.01).

可以用二分法求解的个数分别为()

解析：

经计算，f(l)<0,f(1.5)>0,

所以函数在［1』.5］内存在零点xo.

A.4,4B.3,4取区间(1,1.5)的中点xi=1.25,

C.5,4D.4,3经计算f(1.25)<0,因为f(1.25)f(1.5)<0,

解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数

为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以

所以xoe(1.25,1.5).

用二分法求解的个数为3.

如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区

答案D

间，如下表：

f(2)=4>0.又：f(x)是增函数,

VI1.328125-1.32031251=0.0078125<0.01,，函数f(x)=2*+3x—6在区间(1,2)内有唯一的

零点，

，函数f(x)=x3—x—1的一个精确度为0.01的近似

零点可取为1.328125.则方程6—3x=2x在区间(1,2)上有唯一一个实

数解，设该解为xo，则XoG(l,2),

【变式训练5】

取xi=L5,f(1.5)~1.33>0,f(l)f(1.5)<0,

证明函数f(x)=2*+3x-6在区间(1,2)内有唯——个

.,.x0G(l,1.5).

(a,b)(a,b)的中点中点函数值符号取X2=1.25,f(1.25)=0.128>0,f(l)-f(1.25)<0,

.,.xG(l,l,25).

(1,1.5)1.25f(1.25)<00

取X3=1.125,f(l.125)=-0.44<0,

(1.25,1.5)1.375f(1.375)>0

f(1.125)-f(1.25)<0,.,.x06(l,125,1.25).

(1.25,1.375)1.3125f(1.3125)<0

取X4=1.1875,f(1.1875)=-0.16<0,

(1.3125,1.375)1.34375f(1.34375)>0

f(1.1875)-f(1.25)<0,.IxoG(1.1875,1.25).

(1.3125,1.34375)1.328125f(1.328125)>0

V|1.25-l.l875|=0.0625<0.1,

(1.3125,1.328125)1.3203125f(1.3203125)<0

二可取xo=1.25,

零点，并求出这个零点(精确度0.1).

则方程的一个实数解可取xo=1.25.

解析：

设函数f(x)=2x+3x-6.•••£(1)=-1<0,

思维拓展

考向一一元二次方程根的分布的讨论

①方程有两个不等实根O△=k-4ac>0；

规律方法

讨论一元二次方程的根所在区间内的分布情况②方程有两个相等实根o△=〃—4ac=0；

③方程无实根O△=〃-4ac<0；

(1)一元二次方程g?+灰+，=0(a#0)的实

根情况，则有下列几种情形:

(3)一元二次方程32+法+。=0(。70)根的女

分布(即根相对于k的位置)，则有下列几种情形：

(2)一元二次方程ax?+Zu+c=0(aW0)根的零

分布(即根相对于零的关系)，则有下列几种情形：设一元二次方程。/+/^+。=03/0)的两个实

设一元二次方程ax?+/u+c=0(a¥0)的两个实根为玉,々,且玉，左为常数

根为玉,彳2,且％<x2

①方程二实根均大于零，即

①方程二根都大于左，即

2

△=/-4ac>0A=Z?-4ac>0

h

k<x]<x2<=><(X]-Z:)+(x2-k)>0

x,>0,x2>0<=><x,+x2=——>0

a(%j-k)(x-k)>0

c八2

x}x2=—>0

-a②方程二根都小于女，即

②方程二实根均小于零，即

A=/?2-4tzc>0

2<x2<ko<(x1-k)+(x2-k)<0

2

A=/?-4tzc>0(X)-k)(x2-k)>0

b

Xj<0,x2<0<=><X)+x2=——<0

a③方程一根大于攵，一根小于攵，即

c八

x}x^=—>0

-a,fA=/?2-4ac>0

为<A</o<

③方程一根大于零，一根小于零，即(x}-k)(x2—k)<0

△=-4ac>0

内<。<工2={④方程二根均在(匕，&2)之间，即(从函数图像

内X,——<U

-Q

层面去判断)：

④方程一根为零，一根大于零，即

若。>0,则

c=0

%j=0,x>0o<—<0

2'A>0

.b.

k、<----<k、

⑤方程一根为零，一根小于零，即xl9x2G(k^k2)<=><2a；

M)>o

c=0./(女2)>o

%,<0,修=。04人、八

_>U

例6、己知关于x的方程f—2公+4=0,在下列

条件下，求实数a的取值范围。

(1)一个根大于1,一个根小于1；

(2)一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内。

解析：

(1)由题意，可从方程根层面去判断，则有

A--(―2a)2—16>0

(x1-l)(x2-l)=4-2a+l<0

解得a〉』；

2

⑤方程一根介于伏I,右)之间，(2)由题意，可从对应二次函数图像层面去判

另一根介于(七次4)之间，断，则有

(匕,网,后4均为常数，且占<&<勺<&)，

k2,/(0)=4>0

即(从函数图像层面去判断)：/(1)=5-2«<0

'/(6)=40-⑵<0

若a>0,贝I

/(8)=68-16a>0

八匕)>0

.,〃,f(k)<0

k,<x,<k,,k]<x<«,<=>2

'7/(^)<0

—2八、5”、1017

答案(1)CL>―(2)--<<2<--

234

若。<0,则

【变式训练6】

/化)<0

关于x的方程/+2(m+3)x+2m+14=0有

//2)>°

k、<X<右,&<%2<左4O<两实根，且都在区间［0,4)内，求加的取值范围。

}/(自)>0

解析：

/囱)<0

由题意，可从函数图像与性质层面去判断，则有

若不能确定。的正负，则

/(左»(&)<0

&<%]<k,k<x<%o<

2y2J(23)/&)<。

A=4(m+3)2-4(2m+14)>0规律方法

2(加+3).

0n<--------<4

\2，

/(0)>0函数有零点o/(x)=0有根(解)

./⑷>0oy=/(x)图像与x轴有交点

m<一5或加>1oy=g(x)与y=人(x)图像有交点

-7<m<-3(y=g(x)与y=〃(%)由/(x)=o拆分而成)

即an《，

2机+14>0

16+8(〃?+3)+2/〃+14〉0

27

解得----<tn£-5

5

77

答案—巴<m&—5

5

考向二数形结合研究函数的零点

例7、已知/(幻=》2+3-1)》+1在(0,2)故函数y=l-a的图像要与

上有两个零点，求参数。的取值范围。

y=x+—(0cx<2)有两个交点，

x

则只需

解析：2

由题意，原问题可变形为：解得一3<。<一1

,12

1-4=X+—,

X3

答案——<。<一1

2

故原问题可转化为函数y=l-。图像与函

数y=x+工图像有两个交点问题，

X【变式训练7】

则先作出函数y=x+L,xe(0,2)的图像，10

若关于X的方程h9―f+a=o有两

x

1+W

如图所示；

个不等的实数解，则a的取值范围

是O

解析：

原方程可变形为=x2-a,

i+W

o

故原问题可转化为函数y=一二的图像

1+W

与函数y=--。的图像有两个交点，

作出函数y=—1的图像如图所示：

1+x

(2)存在性问题

存在性问题一般转换成求函数最值问

题，其取最值情况与函数恒成立取得最值

情况刚好相反。

例8、已知当xe［1,2］时，不等式

•.•函数？=/一。是一个二次函数，X?+/nx+4«0恒成立，则加的取值范围

是o

画出图像如图所示，

解析：

不难发现，当一。<1时，即”>一1时，两

方法一(分离参数法)：

个函数图像有两个交点，

由题意，原不等式可分离参数得，

a的取值范围是(―L+oo)__r2_4

m<----------,1<%<2

x

答案(-1,+8)故原问题可转化为求函数

_r2—4

考向三函数中恒成立存在性问题/(x)=—~~-在［1,2］上的最小值问题，

x

规律方法

—r2—44

(1)恒成立问题解题的基本思路：根据已又/(x)=-.........=—x--，故该函数为

XX

知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确

对勾类型函数，

选用函数法、最值法、数形结合法等方法求

解。作出其函数图像，可发现其当X=1时，函

数取最小值，且最小值为了⑴=一5,

解决恒成立问题的具体思路：

/.mW—5

思路一：转换成求函数最值，

①，〃Nf(x)在xe£)上恒成立

<^>m>/(x)max；

方法二(分类讨论法)：

②，〃</(x)在xe£>上恒成立

o根«/(x)向n。

思路二：转换成函数图像问题，

①若/(x)>g(x)在xe。上恒成立，则在

由题意，原问题可转化为求函数综上所述，的取值范围是mW-5

g(x)=/+mr+4在［1,2］上的最大值问

答案m<-5

题，先探讨其单调性，从而找出最大值；

【变式训练8】

；g(x)为二次函数，其开口方向向上，故

已知函数兀r)=f—lax+2,当

其单调性由对称轴x=-〃决定：

2xw［-l,oo)时，/(x)2a恒成立，求a

①当一上<1时，即机>一2时，的取值范围。

2

g(x)在［1,2］上单调递增，故最大值为解析：

/(2)=8+2m,

''fix)=(x—a)?+2一屋，

.'.8+2m<0,解得mKT,结合前面

m>-2,故此时m无解；，此二次函数图象的对称轴为x=a

②当一一^>2时，即加<T时，

2①当ae(-co,-l)时,«x)在［-1,+co)上单

g(x)在［1,2］上单调递减，故最大值为调递增，

/(l)=5+m,

X)min=代—1)~2a+3.

/.5+m<0,解得〃5,结合前面

m<—4,

要使/(x)Na恒成立，只需

故此时m<-5；

/(x)min>a,即2a+3Na,

rn3

③当14一一(二时，即一3(加〈一2时，

22

解得aN—3,即—3Wa<-1.

g(x)在［1,2］上先减后增，且偏2更远,

②当ae［-1,+8)口寸，式x)min=*a)=2—

故最大值为/(2)=8+2M,

a2.

.,.8+2m<0,解得加再结合

—3<m<—2.

要使/(x)Na恒成立，只需

故此时机无解；

3加

④当一4---42时，即一—3时，

22

即1—cr>a

g(x)在［1,2］上也是先减后增，且偏1更远,

解得-2WaW-l,BP-l<a<l.

故最大值为/(l)=5+m,

综上所述，实数a的取值范围为

5+mWO,解得m4—5,再结合

答案［-3,1］

—4<m<—3,

故此时相也无解;

综合训练

A组基础演练

一、选择题

1.下列函数没有零点的是（）

A.f(x)=OB.f(x)=2

C.f(x)=x2—1D.f(x)=x—~

解析：函数f(x)=2,不能满足方程f(x)=O,因此没有零点.

答案B

[2X-1,x<l

2.已知函数f(x)=一।则函数f(x)的零点为()

11+lOg2X,X>1,

A，2，0B.—2,0

C.1D.0

解析：当xWl时，由f(x)=0,得2'—1=0,

所以x=0.

当x>l时，由f(x)=0,得l+log2X=0,

所以x=T，不成立，

所以函数的零点为0,选D.

答案D

3.函数f(x)=-x3—3x+5的零点所在的大致区间是()

A.(-2,0)B.(0,1)

C.(1,2)D.(2,3)

解析：Vf(l)=-l3-3xl+5=l>0,

f(2)=-23-3x2+5=-9<0,

函数f(x)的零点必在区间(1,2)上，故选C.

答案C

4.方程09'—》x=0的实数解的个数是()

A.0个B.1个

C.2个D.3个

2

解析：设f(x)=0.9,一五x,

则f(x)为减函数，值域为R,故有1个.

答案B

5.函数y=.x?+a存在零点，则a的取值范围是（.）

A.a>0B.a<0

C.a>0D.a<0

解析：函数y=x?+a存在零点，

则x2=­a有解，

所以a<0.

答案B

6.如图是函数f（x）的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法

求出的零点，该零点所在的区间是（