2025届新高考数学精准冲刺复习圆锥曲线中的探索性与综合性问题

2025届新高考数学精准冲刺复习圆锥曲线中的探索性与综合性问题题型一探索性问题例1

(2023·广州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－2,0)，B(2,0)，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为

，点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)已知点F(1,0)，直线l：x＝4与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数λ，使得∠MFD＝λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.即∠MFD＝2∠NFD，所以存在λ＝2，使得∠MFD＝2∠NFD.存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.跟踪训练1

(2023·阜阳模拟)已知双曲线C：

＝1(a>0，b>0)，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为(6,4).(1)求C的方程；点A的坐标为(6,4)，得c＝4，设焦点F2(0,4)，F1(0，－4)，设l的方程为y＝2m(m>1)，则D(0,2m)，故M(0，m)，当直线PQ斜率存在时，如图，设直线PQ的方程为y＝kx＋m(k≠0)，与双曲线方程联立得(3k2－1)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，由已知得3k2≠1，Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，①②题型二圆锥曲线的综合问题如图，F(4,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN：x＝ty＋4，代入3x2－y2＝12，整理得(3t2－1)y2＋24ty＋36＝0，由于y1y2<0，不妨设y1>0，y2<0，(2)试判断以MN为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＋x1x2＋y1y2＝0，由对称性可知，若存在定点，则必在x轴上，令y＝0，有x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋y1y2＝0，当直线MN：y＝0时，圆过点(－2,0).综上，以MN为直径的圆过定点(－2,0).圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质.如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有

＝0.跟踪训练2

如图，过抛物线E：y2＝2px(p>0)焦点F的直线l交抛物线于点A，B，|AB|的最小值为4，直线x＝－4分别交直线AO，BO于点C，D(O为原点).(1)求抛物线E的方程；当直线AB斜率不存在时，当直线AB斜率存在时，Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2＝4p2(k2＋1)>0，显然当直线AB斜率不存在时，|AB|的值最小，即2p＝4，解得p＝2，∴抛物线E：y2＝4x.(2)圆M过点C，D，交x轴于点G(t,0)，H(m,0)，证明：若t为定值时，m也为定值.并求t＝－8时，△ABH面积S的最小值.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－4，y3)，D(－4，y4)，若G(t,0)(t为定值)，H(m,0)，∴H也为定点.当且仅当y1＝±2时取到最小值.故△ABH面积S的最小值为22.课时精练1234(1)求双曲线C的方程；1234由题意得，c＝2，1234(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在异于F的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.假设存在P(n,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线AB的斜率不为0，当直线AB的斜率存在时，设直线AB：x＝my＋2(m≠0)，则3m2－1≠0，Δ＝(12m)2－4×9(3m2－1)＝36(m2＋1)>0，1234因为点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是∠APB的平分线，则y1(my2＋2－n)＋y2(my1＋2－n)＝0，整理得2my1y2＋(2－n)(y1＋y2)＝0，即3m－2m(2－n)＝0，因为m≠0，12341234(1)求椭圆C的方程；123412341234(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由.假设满足条件的直线l存在，因为点F为△EAB的垂心，1234记A(x1，y1)，B(x2，y2)，123412343.(2024·唐山模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为

的直线交抛物线于M，N两点，|MN|＝8.(1)求抛物线E的方程；12341234所以|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，则p＝2，即抛物线E的方程为y2＝4x.1234(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线x＝－1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由.设A(x0，y0)，则过A作抛物线E的切线为y－y0＝k(x－x0)，令y＝0得x＝－x0，即B(－x0,0)，12341234所以|BF|＝|AF|＝|AC|，又AC∥BF，所以四边形ACBF有一组对边平行且相等，且邻边也相等，所以四边形ACBF为菱形.1234(1)若椭圆上存在两点B1，B2关于直线y＝x＋m对称，求实数m的取值范围；由题意得，c＝2，A1(－a,0)，A2(a,0)，P(x，y)，①∴a2＝2b2，∵a2＝b2＋4，∴a2＝8，b2＝4，12341234设B1