上海市静安区2023-2024学年高一下学期期末教学质量调研数学试题（含答案）

静安区2023学年第二学期教学质量调研高一数学试卷2024．06考生注意：1．本试卷共4页，18道试题，满分100分，考试时间90分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中115题每题3分，610题每题4分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．已知向量，则______．2．若复数满足（为虚数单位），则______．3．已知（其中为正整数）是公比为的等比数列，且，则______．4．已知角的终边经过点，则______．5．已知向量，且，则实数______．6．已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是______．7．在中，若，那么______．8．设是正实数，将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到的曲线仍然是某个函数的图像，则的最大值______．9．已知角的终边经过点，则______．10．函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则______．二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得相应分值，否则一律得零分．】11．已知，则角的终边所在的象限为第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四12．已知函数，且，则（）A．11 B．14 C．17 D．2013．若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（）．A． B． C． D．三、解答题（本大题共有5题，满分53分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】14．（本题满分10分，本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）已知一元二次方程．（1）在复数范围内解该方程；（2）设这个方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示）15．（本题满分10分）设是数列的前项和（其中为正整数），已知，且数列是等差数列，求．16．（本题满分10分，本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）化简下列各式：（1）；（2）．17．（本题满分11分，本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分4分）已知函数．（1）某同学打算用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下：00100000请在答题纸上填写上表的空格处数值，并写出函数的表达式和单调递增区间；（2）将（1）中函数的图像向下平移个单位得到的图像，若函数在闭区间上恰有两个零点，请直接写出实数的取值范围．18．（本题满分12分，本题共有3个小题，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设：1．通过路口的车辆长度都相等；2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等；3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶；4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止；5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生．一名建模爱好者收集数据整理如下：1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为；2．加速度记作，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程；3．前后车启动延迟时间记为，取；4．第辆车启动延迟时间为；5．该十字路口限速，换算为；6．第辆车到达最高限速的时间为取．设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题：（1）求；（结果保留一位小数，单位：）（2）对于第辆车，写出函数的分段表达式；（3）求在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口．静安区2023学年第二学期教学质量调研高一数学试卷含评分标准2024.6考生注意：1．本试卷共4页，18道试题，满分100分，考试时间90分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中题每题3分，题每题4分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．已知向量，则______．-22．若复数满足（i为虚数单位），则______3．已知（其中为正整数）是公比为的等比数列，且，则______．34．已知角的终边经过点，则______．5．已知向量，且，则实数______．26．已知平面上两点的坐标分别是，是直线上的一点，且，则点M的坐标是______．（0，15）7．在中，若，那么______．8．设是正实数，将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到的曲线仍然是某个函数的图像，则a的最大值为______．9．已知角终边上有一点，则______．10．函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则______．二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得相应分值，否则一律得零分．】11．已知，则角的终边所在的象限为第（）象限．A．— B．二 C．三 D．四C12．已知函数，且，则（）．A．11 B．14 C．17 D．20B13．若函数在内是严格减函数，则的取值范围是（）．A． B． C． D．D三、解答题（本大题共有5题，满分53分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】14．（本题满分10分，本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）已知一元二次方程．（1）在复数范围内解该方程；（2）设这个方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示）解：（1），方程有一对虚数根．（1分）（累计1分）解得．（4分）（累计5分）（2），（2分）（累计7分），求得与夹角的大小为．（3分）（累计10分）15．（本题满分10分）设是数列的前项和（其中为正整数），已知，且数列是等差数列，求．解：设公差为，，（或者即，）（2分）（累计2分）又，所以（或者）（2分）（累计2分）解得．（2分）（累计6分）所以为正整数（3分）（累计9分）所以．（1分）（累计10分）16．（本题满分10分，本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）化简下列各式：（1）；（2）．解：（1）．（5分）（累计5分）（辅助角公式3分，结果2分）方法2：（5分）（累计5分）（两角和与差公式3分，结果2分）（2）．（5分）（累计10分）（诱导公式3分，化简结果2分）17．（本题满分11分，本题共有2个问题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分4分）已知函数．（1）某同学打算用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下：00100000请在答题纸填写上表的空格处，并写出函数的表达式和单调递增区间；（2）将（1）中函数的图像向下平移个单位得到的图像，若函数在闭区间上恰有两个零点，请直接写出的取值范围．解：．（3分）（累计3分）（累计分）单调递增区间．（2分）（累计7分）（2）的取值范围是．（4分）（累计11分）（区间端点或者不等式值正确得2分，在区间端点值正确的前提下，区间端点处开闭或者不等式符号一处1分，共2分）18．（本题满分12分，本题共有3个小题，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（s为时间单位：秒），那么，每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？该问题涉及车长，车距、车速、前方堵塞状况，包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，建模爱好者提出如下基本假设：1．通过路口的车辆长度都相等；2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等；3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶；4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟1s时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止；5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生．一名建模爱好者收集数据整理如下：1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为；2．加速度记作，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程；3．前后车启动延迟时间记为，取；4．第辆车启动延迟时间为；5．该十字路口限速，换算为，6．第辆车到达最高限速的时间为取．设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题：（1）求；（结果保留一位小数，单位：m）（2）对于第辆车，写出函数的分段表达式；（3）求在亮绿灯的15s内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口．解：（1），（1分）（2分）（累计3分）（2）对第辆车，列出函数的分段表达式，相当于已经解决一般化的问题．通过对小汽车三个运动阶段的分析，整理得：（4分）（累计7分）其中，，或者写成（4分）（累计7分）（表达式中可以保留，也可以写成—；表达式书写