新教材同步备课2024春高中数学课时分层作业14余弦定理正弦定理习题课新人教A版必修第二册

课时分层作业(十四)余弦定理、正弦定理习题课一、选择题1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝1，b＝3，B＝60°，则△ABC的面积为()A．12B．32C2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则C等于()A．π3 B．C．2π33．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc等于(A．6 B．5C．4 D．34．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是()A．a＝3，b＝4，A＝πB．a＝3，b＝4，cosB＝3C．a＝3，b＝4，C＝πD．a＝3，b＝4，B＝π5．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是()A．a2＝b2＋c2－2bccosAB．asinB＝bsinAC．a＝bcosC＋ccosBD．acosB＋bcosC＝c二、填空题6．在△ABC中，A＝2π3，a＝3c，则bc7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinB＝2sinA，且△ABC的面积为a2sinB，则cosB＝________．8．在△ABC中，B＝60°，c＝2，若满意条件的三角形有两个，则b的取值范围为________．三、解答题9．(2022·广东深圳南山华侨城中学月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满意2b-ccosA＝a(1)求角A；(2)若a＝13，b＋c＝5，求△ABC的面积．10．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于()A．3 B．53C．63 D．7311．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为()A．33 B．C．3 D．2312．在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为()A．43 B．63C．83 D．10313．已知在△ABC中，AC＝2，AB＝3，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的角平分线，则AD＝________．14．如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AB⊥AD，AC⊥CD．(1)若sin∠BAC＝14，求sin∠BCA(2)若AD＝3AC，求AC．15．在△ABC中，已知a+ba＝sinBsinB-sinA，且cos(A－B)(1)试确定△ABC的形态；(2)求a+课时分层作业(十四)1．B[∵a＝1，b＝3，B＝60°，∴由正弦定理可得sinA＝asinBb＝1∵a＜b，∴A＜60°，∴A＝30°，C＝180°－A－B＝90°，∴S△ABC＝12ab＝12×1×3＝322．C[由asinA＝bsinB和3sinA＝5sinB，得3a即b＝35a，又b＋c＝2a，∴c＝75∴由余弦定理的推论，得cosC＝a2+b∴C＝2π33．A[∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2．由余弦定理的推论，得cosA＝b2+c2-a22bc＝b24．BCD[依据题意，在A的条件下，由正弦定理asinA＝bsinB⇒sinB＝43×sinA＝23，因为12<23<22，所以角B在π在B的条件下，依据余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB，即16＝9＋c2－185c，解得c＝5或c＝－75(舍)，所以只有在C的条件下，条件为边角边，依据余弦定理可以求得唯一的c边，所以有唯一解；在D的条件下，由正弦定理asinA＝bsinB⇒sinA＝34×sinB＝38，因为38<12，所以角A在0，π6和5π5．ABC[对于A，依据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccosA，故A正确；对于B，依据正弦定理边角互化，可得asinB＝bsinA⇔ab＝ab，故B正确；对于C，依据正弦定理，得a＝bcosC＋ccosB⇒sinA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA，故C正确；对于D，依据正弦定理的边角互化可得，sinAcosB＋sinBcosC＝sinC＝sin(A＋B)＝sinA·cosB＋cosAsinB，即sinBcosC＝cosAsinB，又sinB≠0，所以cosC＝cosA，当A＝C时，等式成立，故D不正确．]6．1[由asinA＝csinC得sinC＝csinAa又0<C<π3，所以C＝π6，B＝π－(A＋C)＝所以bc＝sinBsinC7．14[由sinB＝2sinA，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sinB，得12acsinB＝a2sinB，由sinB≠0，知c＝2a，∴cosB＝a2+c8．在△ABC中，B＝60°，c＝2，若满意条件的三角形有两个，则b的取值范围为________．(3，2)[因为满意条件的三角形有两个，所以csinB＜b＜c，将B＝60°，c＝2代入，解得3＜b＜2．]9．解(1)在△ABC中，∵2b-ccosA＝acos由正弦定理，得2sinB-sinCcosA＝化为：2sinBcosA＝sinCcosA＋sinAcosC＝sinA+C＝sinB，又sinB≠0，解得cosA＝12，又A∈0，π，∴A(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵a＝13，b＋c＝5，∴13＝b+c2－3cb＝52－3bc，即bc＝4所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×4×3210．B[连接BD(图略)，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝180°-120∴∠ABD＝90°．在△BCD中，由余弦定理知，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝22＋22－2×2×2×cos120°＝12，∴BD＝23，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12×4×23＋12×2×2×sin120°＝511．C[将c2＝a2＋b2－2abcosC与(a＋b)2－c2＝4联立，解得ab＝4，∴S△ABC＝12absinC＝312．C[如图，连接BD，在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝4＋16－2×2×4cosA＝20－16cosA，在△CBD中，由余弦定理，得BD2＝16＋36－2×4×6cosC＝52－48cosC，∵A＋C＝180°，∴20－16cosA＝52＋48cosA，解得cosA＝－12，∴A＝120°，C＝S＝S△ABD＋S△CBD＝12×2×4×sin120°＋12×4×6×sin60°＝813．635[如图，∵S△ABC＝S△ABD＋S△∴12×3×2×sin60°＝12×3AD×sin30°＋12×2AD×sin30°，∴AD14．解(1)在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠BCA＝BCsin∠BAC，即2sin∠BCA(2)设AC＝x，则AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝AD2-AC2＝22x，sin∠在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos∠BAC＝AB2+A又∠BAC＋∠CAD＝π2所以cos∠BAC＝sin∠CAD，即x2-1整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－13(舍去)，即AC＝15．解(1)在△ABC中，设其外接圆半径为R，依据正弦定理得，sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，代入a+ba＝sinB所以b2－a2＝ab．①因为cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C，所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C，所以sinAsinB＝sin2C．由正弦定理，得a2R·b2R＝所以ab＝c2．②把②代入①得，b2－a2＝c2，