新人教版九年级下册初中数学 课时2 相似多边形教案

第二十七章相似

27.1图形的相似

课时2相似多边形

【知识与技能】

1.在具体生活实例中认识相似图形,理解和掌握两个图形相似的概念.

2.理解相似图形的特征,掌握相似图形的识别方法.

3.了解成比例线段的含义,会判断是不是成比例线段.

4.理解相似多边形的概念、性质及判定,并能计算和相似多边形有关的角度和

线段的长.

【过程与方法】

1.通过观察实际生活中的图形,辨析相似图形,让学生体会数学与实际生活密

切联系，激发学生学习的兴趣.

2.通过观察、测量、辨析、归纳等数学活动，经历相似多边形的概念的形成过

程,体会由特殊到一般的数学思想方法.

3.通过应用成比例线段定义及相似多边形的性质进行有关计算,体会方程思想

在几何中的应用，渗透数形结合思想.

【情感态度与价值观】

1.通过观察识别相似图形,渗透生活和数学中美的教育.

2.经历相似多边形的概念的形成过程，培养学生的观察、推理能力，激发学生

探究、发现数学问题的兴趣.

3.在探索相似多边形的性质的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品

质.

4.在观察、操作、推理的探究过程中，体验数学活动充满探索性和创造性.

L理解并掌握相似图形、相似多边形的概念及特征.

2.能利用成比例线段的概念及相似多边形的性质进行有关计算.

1.理解相似图形的特征,掌握识别相似图形的方法.

2.探索相似多边形的性质中的“对应”关系.

多媒体课件.

导入一：

欣赏图片.

【课件1展示】

(1)汽车和它的模型

(2)大小不同的两个足球

(3)大小不同的两张照片

［引导语】上面各组图片的共同之处是什么？这些图形涉及的就是我们这章

要学习的相似形问题.

导入二：

请同学们看黑板正上方的五星红旗，五星红旗上的大五角星与小五角星它们的

形状、大小有什么关系？

导入三：

【复习提问】

1.什么是全等形?全等形的形状和大小有什么关系？

(能够完全重合的图形是全等形,全等形的形状相同、大小相等)

2.判断下列图形是不是全等形?如何判断？

（下列两幅图片均是全等形.判断依据:形状相同、大小相等）

［设计意图］通过欣赏生活中的图片，让学生体会数学来源于生活,激发学生

学习的兴趣，感受数学中的美.在欣赏国旗上的五角星时，对学生进行爱国主义思

想教育.同时通过复习全等形的概念及全等形的判定，为本节课相似形的学习做

铺垫.

________________________________________________________

［过渡语］在上面的全等形的图片中放大或缩小其中一张图片，得到的图片

与另一张图片的形状和大小有什么关系？通过今天的学习，我们将认识这一类图

形.

一、认识相似图形

思路一

【思考1］以上展示的图片之间有什么特点?它们的形状和大小有怎样的关

系？

【师生活动】学生观察思考，教师引导点拨它们形状相同、大小不等.共同

归纳本节课学习重点一一相似形的概念.

【结论】形状相同的图形叫做相似图形.

【思考2］全等形一定是相似图形吗？相似图形一定全等吗？它们之间有什

么关系？

【师生活动】学生通过观察导入中图片，独立思考后小组交流,教师对学生

的回答进行点评,归纳全等形与相似形之间的关系.

【结论】全等图形是相似图形的一种特殊情况.全等图形一定相似,相似图

形不一定全等.

【思考3］你能举出现实生活中一些相似图形的例子吗？

【师生活动】学生积极回答,通过生活中相似图形的实例巩固相似图形的概

念，教师对思维活跃、积极参与的学生给予鼓励.

思路二

教师引导学生思考回答下列问题.

(1)全等形的形状和大小之间有什么关系？

(全等形的形状相同、大小相等)

(2)观察上述图片，它们的形状和大小之间有什么关系？

(形状相同、大小不等)

(3)你能给出相似图形的定义吗？

(形状相同的图形叫做相似形)

(4)全等图形一定相似吗?相似图形一定全等吗？

(全等图形一定相似,相似图形不一定全等)

(5)归纳全等图形和相似图形之间的关系.

(全等图形是相似图形的特例)

(6)你能举出现实生活中一些相似图形的例子吗？

【师生活动】学生在教师设置的问题下积极思考回答,教师及时点拨和引导,

最后课件展示探究结论.

【结论】形状相同的图形叫做相似图形.

全等图形是相似图形的一种特殊情况.

［设计意怪I］让学生亲自观察实际生活中的图形，在教师问题的引导下，进行

分析、探究,根据图形特点归纳出相似形的概念，培养学生的观察能力,激发学生

的求知欲望,经历相似形概念的形成过程，体会数学与生活息息相关.

二、相似图形的特征

【课件2展示】

观察下列每组图形,是不是相似图形？

OoOo

<1)(2)

【思考】

(1)两个相似的平面图形之间有什么关系?

(2)两个相似图形的主要特征是什么？

（3）如何判定两个图形是相似图形？

（4）相似图形的大小是不是一定相等？

（5）相似图形是否可以看作其中一个图形是由另一个图形放大或缩小得到的？

【师生活动】学生观察独立思考，小组合作交流,展示小组成果，教师点评,

共同归纳相似图形的特征.

【结论】相似图形的特征是:形状相同.两个图形的形状相同，则两个图形就

是相似图形.相似图形的大小不一定相等，其中一个图形可以看作是由另一个图

形放大或缩小得到的.

［设计意图］让学生通过观察思考、合作交流，共同归纳出相似形的特征，培

养学生的观察能力、归纳总结能力及合作交流的能力，激发学生学习的兴趣，加

深学生对相似图形的概念的理解和掌握.

三、例题讲解

［过渡语］我们了解了相似形的概念和基本特征,让我们一起利用所学知识

判断下列图形是不是相似图形.

网1如图是一个女孩从平面镜和哈哈镜里看到的自己的形象,这些镜中的形

象相似吗？

【思考】

（1）在平面镜中的像与物体的形状,大小,则从平面镜里看

到的自己的形象与女孩相似图形（填"是”或“不是”）.

（2）哈哈镜里看到的形象，有的被“压扁”了，有的被“拉长”了，所以哈哈镜

中的像与物体的形状，大小,则从哈哈镜里看到的自己的形象

与女孩相似图形（填"是”或“不是”）.

（解析）女孩从平面镜中看到的自己的形象是相似的；女孩从哈哈镜里看

到的自己的形象不是相似的.

（答案）（1）相同相等是（2）不同不相等不是

【师生活动】学生独立思考回答,教师点评.

睡I观察下列图形，哪些是相似图形？

第一组：

国泰生固△△o°翠翠

图1图2图3图4

第二组：

©O@O©

(1)(2)(3)(4)(5)

O©©oczi

(6)<7)<8)<9><10)

【师生活动】教师引导、点拨、分析.要找出图中的相似图形，只要仔细观

察每个图形的特征，通过图形变化后是否具备“形状相同”这一特征.学生观察

后回答即可.

解:第一组图,图1,2,5是相似图形.

第二组的相似图形分别是：(1)和(8)；(2)和(6)；(3)和(7).

［设计意图］通过经历对例题的探究过程,加深学生对相似形的基本特征的理

解,达到巩固知识的目的,培养学生分析问题、解决问题的能力.

［知识拓展］所谓“形状相同”，就是与图形的大小、位置无关，与摆放角

度、摆放方向也无关.有些图形之间虽然只有很小的形状差异，但也不能认为是

“形状相同”.

［过渡语］思考导入中的问题,我们将得到相似多边形的概念.

一、成比例线段的概念

(1)把九年级数学课本的两个邻边看作两条线段AB和CO,那么什么是这两条

线段的比？

(这两条线段的长度比叫做这两条线段的比)

(2)对于四条线段a,8cd如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如

ac

(即。仁附，我们就说这四条线段成比例.

(3)如何判断四条线段是成比例线段？

（四条线段中其中两条线段的比与另两条线段的比相等，就说这四条线段成比

例）

（4）成比例线段的概念中应注意什么问题？

（成比例线段的概念中的四条线段是有顺序的，如a,b,c,d是成比例线段与

a,d,b,c是成比例线段得到的比例式是不同的）

【师生活动】学生在教师的引导下思考回答,教师课件展示成比例线段的概

念.

［设计意图］学生在教师提出的问题的引导下，层层深入地形成成比例线段的

概念，学生经历概念的形成过程,加深对概念的理解,为相似多边形的概念的形成

做了铺垫.

二、认识相似多边形

思路一

（1）问题思考.

①在导入二的△ABC及用2倍放大镜观察得到的中,对应角之间的

数量关系为：NANA,NBN8,ZCNG;

ABBCAC

对应边之间的数量关系为：人心1=,B1C1=,A1C1=,即

②在导入三的四边形ABC。及用2倍放大镜观察得到的四边形48cM中，对

应角之间的数量关系为：N4__________N4,/B___________N5,ZC__________NG,

4D

对应边之间的数量关系

ABBCCDDA

为:人网=,B1C1=,C1D1=,D1A1=,即=

③放大镜下的图形与原图形是否相似?两个图形的对应角、对应边之间有什么

关系？

（相似,对应角相等,对应边成比例）

④你能尝试给出相似多边形的定义吗?并尝试用几何语言表示出来.

⑤相似比的值与两个相似多边形的顺序有关吗？

⑥相似多边形的对应角、对应边有什么特点?用几何语言怎样表示？

【师生活动】（1）学生独立思考后小组合作交流,共同探究相似多边形的概

念,教师要给学生足够的时间让学生交流,在巡视过程中帮助学习有困难的学生,

并对学生的展示作出点评，同时规范学生的语言表达.

（2）相似多边形的定义:两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成

比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

【几何语言】如图，在两个大小不同的四边形口和四边形43G〃中，/

A=ZA},

ABBCCDDA

NeNG,/次/〃，AIB1=BICI=CIDI=DIAI,因此四边形ABCD与四边形

43G〃相似.

（3）相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.

如图，•.•四边形力反而与四边形45G〃相似，，N启N4,N庐NA,N俏NG,

N氏

ABBCCDDA

AIBI=BICI=（'IDI=DIAI.

思路二

（1）动手操作并思考.

①测量课前准备的两个相似三角形（两个形状相同的三角尺）的各角，你得到什

么结论？

（对应角相等）

②测量课前准备的两个相似三角形的各边，你发现了什么？

（对应边成比例）

③课前准备的两个正方形的各角相等吗？

（相等，都等于90。）

④课前准备的两个正方形的各边是否成比例？为什么？

(成比例，因为两个正方形的边长分别相等,对应边的比都等于两个正方形的边

长比.)

⑤你能根据以上探究活动得出相似多边形的概念吗？

⑥怎样用几何语言表示相似多边形的概念呢？

⑦相似比与两个相似多边形的顺序有关吗？

⑧相似多边形的对应角、对应边有什么特点?用几何语言怎样表示？

【师生活动】学生在教师的引导下,边动手操作边思考回答问题,师生共同

归纳出相似多边形的概念.

(2)相似多边形的定义:两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成

比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

【几何语言】如图，在两个大小不同的四边形48⑦和四边形43G〃中，N

ABBCCDDA

N比/瓦/年NG,N氏AIBI=BICI=CIDI=DIAI,因此四边形ABCD与四边形

4/C〃相似.

Di

(3)相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等，对应边成比例.

如图，•.•四边形47口与四边形464〃相似，I.N4=N4,N庐NA,N仁NG,

N仄

ABBCCDDA

N〃；AIBI=BICI=CIDI=DIAI.

［设计意佟I］通过观察一一测量一一辨析一一归纳等数学活动,探究相似多边

形的定义及性质，让学生体会由特殊到一般的数学思想方法.在探究过程中，教师

通过设置层层深入的小问题，引导学生完成探究活动，降低了学生学习新知识的

难度，体验了知识的形成过程,提高了学生分析问题的能力.通过几何语言表达相

似多边形的定义和性质，完成文字与符号语言之间的转化,培养学生用符号语言

表达数学知识的能力.

三、例题讲解

回I判断正误，正确的说明理由，错误的举出反例.

(1)所有的矩形都相似.()

(2)所有的菱形都相似.()

(3)所有的正方形都相似.()

(4)所有的等腰直角三角形都相似.()

(5)所有的等边三角形都相似.()

【师生活动】学生独立思考后小组讨论交流,教师巡视过程中及时帮助有困

难的学生,对学生的展示进行点评,并指出易错点,强化相似多边形的判定方法.

喝自如图，四边形力仇刀与石%7/相似,求角a，B的大小和肥的长度x.

【思考】

(1)相似多边形的性质是什么？

(2)根据相似多边形的性质，你能求出的大小吗？

(3)四边形的内角和是多少度？

(4)由四边形的内角和定理,能否求出的值？

(5)在相似四边形中，对应边48与硒力〃与"之间有什么关系？

(6)在比例式中，已知三条线段的长能否求出第四条线段的长?尝试求出EH的

值.

【师生活动】学生在教师问题的指导下独立思考，完成解答过程，小组之间

交流结果,小组代表板书过程,教师点评，归纳总结.

解：四边形/时与四边形必第相似，

ADAB

•,.a=ZC=83°，/A=NE=118°,EH=EF,

2118

即x=24,解得-28.

在四边形/时中,夕=360°-83°-78°-118°=81°.

【教师追问】利用相似多边形的性质，可以解决哪种类型的几何问题？

(求角的大小、线段的长度；证明角相等、线段成比例等)

［设计意图］通过对例题的探究,进一步巩固相似多边形的概念和性质，同时

通过小组合作交流，归纳解题方法和思路，培养学生的合作意识及分析问题的能

力.

ac

［知识拓展］(1)式子U也可以写成a：炉c：d通常这里的a叫做第一比例

项,8叫做第二比例项,c叫做第三比例项，d叫做第四比例项.

ac46

(2)有时在中，左G例如这时我们把6(或c)叫做a,d的比例中项,此时

4(或c2)-ad.

ac

⑶在式子认彳的两边同时乘bd,得ad=cb,在与比例有关的计算中，我们常通过

上述变形转化字母之间的关系.

(4)通常情况下，四条线段a,6,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便,a,b

和c,d的单位分别一致也可以.

(5)在相似多边形中，“对应边成比例”“对应角相等”这两个条件必须同时

成立时,才能说明这两个多边形是相似多边形.

(6)相似多边形的性质可以用来确定两个多边形中未知的边的长度或未知的角

的度数.

(7)相似比的值与两个多边形的前后顺序有关.

(8)相似比为1：1的两个相似多边形是全等多边形.

1.相似图形的定义:形状相同的图形叫做相似图形.

2.相似图形与全等形之间的关系.

3.相似图形的特征:形状相同.

1.成比例线段:对于四条线段a,6,c,d如果其中两条线段的比与另外两条线

ac

段的比相等,如&2（即a乐历），我们就说这四条线段成比例.

2.相似多边形的定义:两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等,边成比

例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等,对应边成比例.

第1课时

L认识相似图形

2.相似图形的特征

3.例题讲解

例1

例2

第2课时

1.成比例线段的概念

2.认识相似多边形

定义

性质

表示

3.例题讲解

例1

例2

一、教材作业

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列图形,相彳以的一组图形是（）

OoOo〃口Oo

ABCD

2.下列属性,是相似图形的本质属性的是（）

A.大小不同B.大小相同C.形状相同D.形状不同

3.下列图形，不是相似图形的有（）

。⑨仙修爨公力

（1）（2）（3）（4）

A.0组B.1组C.2组D.3组

4.下列四组图形,一定相似的是（）

A.正方形和矩形B.正方形和菱形

C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形

5.如图是小华拍摄的足球的照片，下列说法不正确的是（）

A.足球上所有“黑片”形状相同

B.足球上所有“白片”形状相同

C.足球上“黑片”“白片”形状相同

D.足球上“黑片"''白片"形状不相同

6.放大镜下的图形和原来的图形相似图形.哈哈镜中的图形和原来的

图形相似图形（填"是”或“不是”）.

7.下列各组图形:①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角是

80°的两个等腰三角形；⑤两个正六边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰

三角形.其中一定是相似图形的是.

8.如图，各组图形中相似的是.（只填序号）

正六边府与

等I1佛形堂形

一*六边出

①

9.在实际生活和数学学习中，我们常会看到许多形状相同的图形，下图中，形状相

同的图形有哪几组？

10.如何将图中的图形ABCOE放大，使新图形的各顶点仍在格点上?

【能力提升】

11.用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数是.

12.在实际生活和数学学习中，我们常会看到许多形状相同的图形,在下图中，形

状相同的图形有哪些？

【拓展探究】

13.用相似图形设计美丽的图案.生活中有许多形状相同的图形,我们可以用相似

图形设计出各种各样的美丽图案.例如：已知如图⑴是由相似的直角三角形拼成

的一个商标图案,请你参照此图案用相似图形设计出几个你喜欢的图案，并联系

实际为你的设计取一个合适的名字.(下面举两例供参考,如图(2))

3

含位格放■糊

<1）（2）

【答案与解析】

1.D解析:观察各图形,只有D中两个图形形状相同,大小不相等.故选D.

2.C解析:相似图形的形状相同，但大小不一定相同，所以形状相同是相似图形的

本质属性.故选C.

3.B解析：（1）中形状相同，但大小不同，符合相似形的定义；（2）中形状相同，但

大小不同，符合相似形的定义；⑶中形状不相同，不符合相似形的定义；（4）中

形状相同,符合相似形的定义.故不是相似图形的有1组.故选B.

4.D解析：正方形和矩形的形状不一定相同，所以不一定相似；正方形和菱形的

对应角不一定相等,所以不一定相似；菱形与菱形对应角不一定相等,所以不一

定相似；正五边形与正五边形的形状相同,所以两个图形相似.故选D.

5.C解析：“黑片”是正五边形，“白片”是正六边形，两个图形的形状不相同.

故选C.

6.是不是解析:放大镜下的图形与原来的图形形状相同，大小不相等,所以是相

似图形；哈哈镜中的图形与原来的图形形状不同,大小也不相等,所以不相似.

7.②⑤⑥解析:两个平行四边形的角不一定相等，所以不一定相似；两个矩形的

边不确定，所以不一定相似；80°的内角可能是顶角也可能是底角，所以形状不

一定相同；两个圆、两个正六边形、一个内角是100°的两个等腰三角形的形

状相同,所以图形相似.故填②⑤⑥.

8.②③解析:观察图形可得:②③的形状相同,大小不相等.故填②③.

9.解：（1）中的左边图形是圆，右边图形是椭圆,形状不同；（2）中的左边是正六边

形，右边不是正六边形，形状不同；（3）中的两个图形形状相同；（4）中的左边是

长方形，右边的是正方形，形状不同；（5）中的两个图形形状相同；（6）中的左边

是圆形脸，右边是椭圆形脸，形状不同，故（3）,⑸组中的图形形状相

同，（1）,（2）,（4）,（6）组中的图形形状不同.

10.如图.

11.15°解析:用放大镜看后的图形与原图形形状相同，大小不相等，角放大后度

数不变.故填15°.

12.解：⑴和(3),(2)和(13),⑷和(11),(5)和(10),(6)(7)(8)和(9).

13.解:答案不唯一,如图.

■稣网<3>*绿疗再

一、教材作业

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列各组中的四条线段成比例的是)

A.a=A\/2,b=3,c=2,d=y/^

B.a=4,ZF6,C=5,d=10

C.a=2,Z>=A/5,d=y/^

D.a=2,b=3,c=4,d=\

2.下列说法正确的是（）

A.两个平行四边形一定相似

B.两个菱形一定相似

C.两个矩形一定相似

D.两个等腰直角三角形一定相似

3.若四边形力腼s四边形A"B'C'D',且AB：A'B'=1：2,已知g8,则8'。'的长

为（）

A.4B.16C.24D.64

4.如图的两个四边形相似,则。的度数是)

5.如凰有三个矩形,其中是相似图形的是（）

A,甲和乙B.甲和丙C.乙和丙D.甲、乙和丙

6.如果a,b,x,y四条线段成比例，那么可写成比例式,用乘法的形式表

示为.

a5a-b

7.已知己=5,贝Ub=.

8.在比例尺为1：40000的工程示意图上,南京地铁一号线的长度约为54.3cm,

它的实际长度约为km.

9.下列说法，正确的是（填序号）.

①对应角相等的两个多边形相似；

②对应边成比例的两个多边形相似；

③若两个多边形不相似,则对应角不相等；

④若两个多边形不相似,则对应边不成比例；

⑤边长分别为3,5的正方形是相似多边形；

⑥全等多边形一定是相似多边形.

10.如图,把矩形力腼对折,折痕为MN,矩形与矩形力及勿相似，已知AB=4.

（1）求/〃的长；

⑵求矩形〃历VC与矩形ABCD的相似比.

【能力提升】

x+3y-z

11.如果x：y：2=1：3：5,那么x-y+z=

12.如图，在梯形ABCD中，AD/7BC,AD=i2cm,g27cm,石少分别在两腰AB,CD上,

且EF//AD,梯形/旧叨s梯形EBCF,则4的长为.

13.如图，依次连接正方形/颇各边中点E,F,G,〃所形成的四边形与原正方形相

似吗?若相彳以,求出相似比.

【拓展探究】

14.在一矩形花坛ABCD的四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等.若

AB=2Q米，AD=

30米,则小路的宽*与y的比值为多少时,能使小路四周所围成的矩形

与矩形48口相似?请说明理由.

【答案与解析】

a22A/5C2-\/^2-\/5ac

1.C解析:C中,屋、五飞一,所以X3所以a,8,c,d是成比例线段.

故选C.

2.D解析:两个平行四边形的角不一定相等，所以不一定相似；两个菱形的角不

一定相等，所以不一定相似；两个矩形的对应边不一定成比例，所以不一定相

似；两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，两个三角形相似.故选D.

ABBC18

3.B解析:根据相似多边形的对应边成比例，可得A'B'=B'C',所以2=B'C',所以

8'C'=16.故选B.

4.A解析：根据相似多边形的对应角相等及四边形的内角和为360°,可得

138°+60°+75°+。=360°,解得a=87°.故选A.

5.B解析:矩形的四个角都是直角，所以三个矩形的对应角相等，甲和丙的对应边

12=n#_2_\

的比相等］L而甲和乙的对应边的比不相等D51.5/；即甲和丙的对

应边成比例，甲和乙的对应边不成比例，所以甲和丙相似，甲和乙不相似.故选B.

axax

6,b=yay=bx解析：根据成比例线段的定义可得口=1由比例的基本性质可得

ay=bx.

3a-b5k-2k3

7.2解析：设a=5k,b=2k,则b=2k=2.

8.21.72解析：设实际距离为xcm,根据图上距离：实际距离=比例尺，可得

154.3

40000=x，解得后2172000,2172000cm=21.72km.

9.⑤⑥解析:对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似，所以①②错误；两

个多边形不相似时，对应角可能相等,如矩形和正方形不相似，但对应角相等,所

以③错误；两个多边形不相似时,对应边可能成比例，如菱形和正方形