2025届湖南省株洲二中高一下数学期末考试模拟试题含解析

2025届湖南省株洲二中高一下数学期末考试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图是某体育比赛现场上评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别是()A．5和1.6 B．85和1.6 C．85和0.4 D．5和0.42．如果直线a平行于平面，则（）A．平面内有且只有一直线与a平行B．平面内有无数条直线与a平行C．平面内不存在与a平行的直线D．平面内的任意直线与直线a都平行3．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是()A．甲队平均得分高于乙队的平均得分中乙B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D．甲乙两队得分的极差相等4．定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于的四边形，在平面凸四边形中，，，，，设，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知数列的前项和为，若，则（）A． B． C． D．6．向量，，若，则（）A．2 B． C． D．7．角的终边过点，则等于（）A． B． C． D．8．(2016高考新课标III，理3)已知向量,则ABC=A．30 B．45 C．60 D．1209．若直线上存在点满足则实数的最大值为A． B． C． D．10．在中，,则=（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，,则该三棱锥的外接球的表面积为________.12．已知是定义在上的奇函数，对任意实数满足，，则________.13．将正偶数按下表排列成列，每行有个偶数的蛇形数列（规律如表中所示），则数字所在的行数与列数分别是_______________.第列第列第列第列第列第行第行第行第行……14．数列满足：，，则______.15．设是等差数列的前项和，若，则___________.16．设等差数列的前项和为，则______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式，并求出的单调递增区间；（2）若，求的值18．设等比数列{}的首项为，公比为q(q为正整数),且满足是与的等差中项；数列{}满足.(1)求数列{}的通项公式;(2)试确定的值，使得数列{}为等差数列：(3)当{}为等差数列时，对每个正整数是，在与之间插入个2,得到一个新数列{}，设是数列{}的前项和，试求满足的所有正整数.19．已知函数为奇函数，且，其中，.（1）求，的值.（2）若，，求的值.20．已知平面向量，，，其中，（1）若为单位向量，且，求的坐标；（2）若且与垂直，求向量，夹角的余弦值.21．已知平面向量满足：（1）求与的夹角；（2）求向量在向量上的投影.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

去掉最低分分，最高分分，利用平均数的计算公式求得，利用方差公式求得.【详解】去掉最低分分，最高分分，得到数据，该组数据的平均数，.【点睛】本题考查从茎叶图中提取信息，并对数据进行加工和处理，考查基本的运算求解和读图的能力.2、B【解析】

根据线面平行的性质解答本题．【详解】根据线面平行的性质定理，已知直线平面.

对于A，根据线面平行的性质定理，只要过直线a的平面与平面相交得到的交线，都与直线a平行；所以平面内有无数条直线与a平行；故A错误；

对于B，只要过直线a的平面与平面相交得到的交线，都与直线a平行；所以平面内有无数条直线与a平行；故B正确；

对于C，根据线面平行的性质，过直线a的平面与平面相交得到的交线，则直线，所以C错误；

对于D，根据线面平行的性质，过直线a的平面与平面相交得到的交线，则直线，则在平面内与直线相交的直线与a不平行，所以D错误；

故选：B．【点睛】本题考查了线面平行的性质定理；如果直线与平面平行，那么过直线的平面与已知平面相交，直线与交线平行．3、C【解析】

由茎叶图分别计算甲、乙的平均数，中位数，方差及极差可得答案．【详解】29；30，∴∴A错误；甲的中位数是29，乙的中位数是30，29<30,∴B错误；甲的极差为31﹣26＝5，乙的极差为32﹣28＝4，5∴D错误；排除可得C选项正确，故选C．【点睛】本题考查了由茎叶图求数据的平均数，极差，中位数，运用了选择题的做法即排除法的解题技巧，属于基础题.4、D【解析】

先利用余弦定理计算，设，将表示为的函数，再求取值范围.【详解】如图所示：在中，利用正弦定理：当时，有最小值为当时，有最大值为（不能取等号）的取值范围是故答案选D【点睛】本题考查了利用正余弦定理计算长度范围，将表示为的函数是解题的关键.5、A【解析】

再递推一步，两个等式相减，得到一个等式，进行合理变形，可以得到一个等比数列，求出通项公式，最后求出数列的通项公式，最后求出，选出答案即可.【详解】因为，所以当时，，两式相减化简得：，而，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，因此有，所以，故本题选A.【点睛】本题考查了已知数列递推公式求数列通项公式的问题，考查了等比数列的判断以及通项公式，正确的递推和等式的合理变形是解题的关键.6、C【解析】试题分析：，，得得，故选C.考点：向量的垂直运算，向量的坐标运算.7、B【解析】由三角函数的定义知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.8、A【解析】试题分析：由题意，得，所以，故选A．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．9、B【解析】

首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m的最大值.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示，由，得：，即C点坐标为（－1，－2），平移直线x＝m，移到C点或C点的左边时，直线上存在点在平面区域内，所以，m≤－1，即实数的最大值为－1.【点睛】本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.10、C【解析】

解：因为由正弦定理，所以又ｃ＜ａ所以，所以二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由已知计算后知也是以为斜边的直角三角形，这样的中点到棱锥四个顶点的距离相等，即为外接球的球心，从而很容易得球的半径，计算出表面积．【详解】因为，所以是等腰直角三角形，且为斜边，为的中点，因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以，点即为球心，则该三棱锥的外接圆半径，故该三棱锥的外接球的表面积为.【点睛】本题考查球的表面积，考查三棱锥与外接球，解题关键是找到外接球的球心，证明也是以为斜边的直角三角形，利用直角三角形的性质是本题的关键．也是寻找外接球球心的一种方法．12、【解析】

由奇函数的性质得出，由题中等式可推出函数是以为周期的周期函数，再利用周期性和奇偶性求出的值.【详解】函数是定义在上的奇函数，则，且对任意实数满足，，所以，函数是以为周期的周期函数，，，因此，，故答案为：.【点睛】本题考查抽象函数求值，利用题中条件推导出函数的周期是解题的关键，在计算时充分利用函数的周期性将自变的值的绝对值变小，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.13、行列【解析】

设位于第行第列，观察表格中数据的规律，可得出，由此可求出的值，再观察奇数行和偶数行最小数的排列，可得出的值，由此可得出结果.【详解】设位于第行第列，由表格中的数据可知，第行最大的数为，则，解得，由于第行最大的数为，所以，是表格中第行最小的数，由表格中的规律可知，奇数行最小的数放在第列，那么.因此，位于表格中第行第列.故答案为：行列.【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键就是要结合表格中数据所呈现的规律来进行推理，考查推理能力，属于中等题.14、【解析】

可通过赋值法依次进行推导，找出数列的周期，进而求解【详解】由，，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，当故数列从开始，以3为周期故故答案为：【点睛】本题考查数列的递推公式，能根据递推公式找出数列的规律是解题的关键，属于中档题15、1.【解析】

由已知结合等差数列的性质求得，代入等差数列的前项和得答案．【详解】解：在等差数列中，由，得，，则，故答案为：1．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，考查了等差数列前项和的求法，属于基础题．16、【解析】

设等差数列的公差为，由，可求出的值，结合，可以求出的值，利用等差数列的通项公式，可得，再利用，可以求出的值.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，又因为，所以，而.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及等差数列的前项和公式，考查了数学运算能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；递增区间为；（2）【解析】

（1）由图可知其函数的周期满足，从而求得，进而求得，再代入点的坐标可得值，从而求得解析式；解不等式，可得函数的单调增区间；（2）由题意可得，结合，得到，利用平方关系，求得，之后利用差角余弦公式求得结果.【详解】（1）设函数的周期为，由图可知，∴，即，∵，∴，∴，上式中代入，有，得，，即，，又∵，∴，∴，令，解得，即的递增区间为；（2），又，∴，∴；∴．【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，求正弦型函数的单调区间，同角三角函数关系式，利用整体角思维，结合差角正弦公式求三角函数值，属于简单题目.18、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）由已知可求出的值，从而可求数列的通项公式；（2）由已知可求，从而可依次写出，，若数列为等差数列，则有，从而可确定的值；（3）因为，，，检验知，3，4不合题意，适合题意．当时，若后添入的数则一定不适合题意，从而必定是数列中的某一项，设则误解，即有都不合题意．故满足题意的正整数只有．【详解】解（1）因为，所以，解得或（舍），则又，所以（2）由，得，所以，，，则由，得而当时，，由（常数）知此时数列为等差数列（3）因为，易知不合题意，适合题意当时，若后添入的数，则一定不适合题意，从而必是数列中的某一项，则.整理得，等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以无解。综上：符合题意的正整数.【点睛】本题主要考察了等差数列与等比数列的综合应用，考察了函数单调性的证明，属于中档题．19、(1)；（2）.【解析】试题分析：（1）先根据奇函数性质得y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，解得θ＝，再根据解得a（2）根据条件化简得sinα＝，根据同角三角函数关系得cosα，最后根据两角和正弦公式求sin的值试题解析：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝，所以f(x)＝－sin2x·(a＋2cos2x)，由f＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.(2)由(1)得f(x)＝－sin4x，因为f＝－sinα＝－，即sinα＝，又α∈，从而cosα＝－，所以sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝.20、（1）或；（2）.【解析】

(1)设,根据和列出关于的方程求解即可.(2)根据垂直数量积为0,代入的模长,求解得.再根据夹角公式求解即可.【详