新九年级数学时期讲义第5讲二次函数(三)-提高班(学生版+解析)

第5讲二次函数（三）利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：

(1)建立适当的平面直角坐标系；

(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；

(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；

(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.

1.列二次函数关系【例题精选】例1(2023•芜湖县二模）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a例2(2023秋•岳麓区校级月考）用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为（）A．y＝x2﹣30x（0＜x＜30） B．y＝﹣x2+30x（0≤x＜30） C．y＝﹣x2+30x（0＜x＜30） D．y＝﹣x2+30x（0＜x≤30）【随堂练习】1．(2023秋•江汉区校级月考）把一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝x2﹣50x C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣2x2+252．(2023秋•金安区校级月考）据权威部门发布的消息，2019年第一季度安徽省城镇居民人均可支配收入约为0.75万元，若第三季度安徽省城镇居民人均可支配收人为y万元，平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，则y与x之间的函数表达式是________________________．2．实际问题【例题精选】例1(2023秋•同安区校级期中）龙眼是同安的特产，远销国内外．现有一个龙眼销售点在经销时发现：如果每箱龙眼盈利10元，每天可售出50箱．若每箱龙眼涨价1元，日销售量将减少2箱．若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱龙眼应涨价多少元才能获利最高？例2(2023秋•博山区期中）如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m【随堂练习】1．(2023秋•衡水期中）一学生推铅球，铅球行进的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣x2+x+，则学生推铅球的距离为（）A． B．3m C．10m D．12m2．(2023秋•大通县校级期中）铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣x2+x+，铅球推出后最大高度是______m，铅球落地时的水平距离是_______m．3．(2023春•雨花区期末）飞行中的炮弹经x秒后的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时间是第_______秒．4．(2023•南关区二模）如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个门洞的高度为________m．（精确到0.1m）3．二次函数与几何综合【例题精选】例1(2023秋•麻城市期末）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）．点D为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式及A点坐标；（2）若△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（3）若△BCD是锐角三角形，请直接写出点D的横坐标n的取值范围________________或____________．【随堂练习】1．(2023秋•薛城区期末）如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；（3）点F在抛物线上运动，是否存在点F，使△BFC的面积为6，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．2．(2023•嘉兴模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长．②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．综合练习一．选择题（共3小题）1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（）A．600元 B．625元 C．650元 D．675元2．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s＝﹣6t2+bt（b为常数）．已知t＝时，s＝6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（）A．米 B．8米 C．米 D．10米3．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（）A．（6+3）cm B．（6+2）cm C．（6+2）cm D．（6+3）cm二．解答题（共5小题）4．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解板式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．5．某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）不销售单价x（元/件）符合一次函数y＝kx+b，且x＝70时，y＝50；x＝80时，y＝40；（1）写出销售单价x的取值范围；（2）求出一次函数y＝kx+b的解析式；（3）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？6．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现：销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b（k≠0），且当x＝65时，y＝55；当x＝70时，y＝50．（1）求y与x之间的解析式；（2）若该商场获得利润为w元，写出利润w与销售单价x之间的关系式，并求出利润是500元时的销售单价；（3）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？7．公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：（1）求出当销售量等于2.5万个时，销售价格等于多少？（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式；（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？销售价格x（元/个）销售量y（万元）30≤x≤60﹣x+860≤x≤808．如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？第5讲二次函数（三）利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：

(1)建立适当的平面直角坐标系；

(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；

(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；

(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.

1.列二次函数关系【例题精选】例1(2023•芜湖县二模）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝a（1+x）2 B．y＝a（1﹣x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a分析：主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，则y＝a（1+x）2．故选：A．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．例2(2023秋•岳麓区校级月考）用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为（）A．y＝x2﹣30x（0＜x＜30） B．y＝﹣x2+30x（0≤x＜30） C．y＝﹣x2+30x（0＜x＜30） D．y＝﹣x2+30x（0＜x≤30）分析：由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．【解答】解：由题意得：矩形的另一边长＝60÷2﹣x＝30﹣x，矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y＝x（30﹣x）＝﹣x2+30x（0＜x＜30）．故选：C．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式；掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解决本题的突破点．【随堂练习】1．(2023秋•江汉区校级月考）把一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝x2﹣50x C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣2x2+25【解答】解：设这个长方形的一边长为xcm，则另一边长为（25﹣x）cm，以面积y＝x（25﹣x）＝﹣x2+25x．故选：C．2．(2023秋•金安区校级月考）据权威部门发布的消息，2019年第一季度安徽省城镇居民人均可支配收入约为0.75万元，若第三季度安徽省城镇居民人均可支配收人为y万元，平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，则y与x之间的函数表达式是________________________．【解答】解：平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，根据题意可得：y与x之间的函数关系为：y＝0.75（1+x）2．故答案为：y＝0.75（1+x）2．2．实际问题【例题精选】例1(2023秋•同安区校级期中）龙眼是同安的特产，远销国内外．现有一个龙眼销售点在经销时发现：如果每箱龙眼盈利10元，每天可售出50箱．若每箱龙眼涨价1元，日销售量将减少2箱．若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱龙眼应涨价多少元才能获利最高？分析：直接利用每件利润×销量＝总利润，进而得出关系式求出答案．【解答】解：设每箱龙眼应涨价x元，总利润为y，根据题意可得：y＝（10+x）（50﹣2x）＝﹣2x2+30x+500＝﹣2（x﹣）2+612.5，答：每箱龙眼应涨价元才能获利最高．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．例2(2023秋•博山区期中）如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m分析：由题意可以知道M（1，），A（0，10）用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y＝0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+，由题意，得10＝a+，a＝﹣．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+．当y＝0时，0＝﹣（x﹣1）2+，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝3．OB＝3m．故选：B．【点评】此题考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．【随堂练习】1．(2023秋•衡水期中）一学生推铅球，铅球行进的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣x2+x+，则学生推铅球的距离为（）A． B．3m C．10m D．12m【解答】解：令函数式y＝﹣x2+x+中，y＝0，即﹣x2+x+＝0，解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），即铅球推出的距离是10m．故选：C．2．(2023秋•大通县校级期中）铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣x2+x+，铅球推出后最大高度是______m，铅球落地时的水平距离是_______m．【解答】解：∵y＝﹣x2+x+，∴y＝﹣（x﹣4）2+3因为﹣＜0所以当x＝4时，y有最大值为3．所以铅球推出后最大高度是3m．令y＝0，即0＝﹣（x﹣4）2+3解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去）所以铅球落地时的水平距离是10m．故答案为3、10．3．(2023春•雨花区期末）飞行中的炮弹经x秒后的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时间是第_______秒．【解答】解：∵高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0），此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，∴炮弹在最高处的时间是第＝10（秒），故答案为：10．4．(2023•南关区二模）如图，有一个横截面边缘为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个门洞的高度为________m．（精确到0.1m）【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可知各点的坐标，A（﹣4，0），B（4，0），D（﹣3，4）．设抛物线的解析式为：y＝ax2+c（a≠0），把B（4，0），D（﹣3，4）代入，得，解得，∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+，则C（0，）．∵m≈9.1m．故答案为：9.1．3．二次函数与几何综合【例题精选】例1(2023秋•麻城市期末）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）．点D为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式及A点坐标；（2）若△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（3）若△BCD是锐角三角形，请直接写出点D的横坐标n的取值范围________________或____________．分析：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设D点板坐标为3，代入函数解析式可得纵坐标，分别论∠BCD＝90°，∠CBD＝90°的情況，作出图形进行求解；（3）当BC为斜边构成Rt△BCD时，以BC中点O为圆心，以BC直径画圆，与抛物线交于D和D'，此时△BCD和△BCD'就是以BC为斜边的直角三角形，利用两点间的距离公式列出方程求解，然后结合（2）找到m的取值范围．【解答】解：（1）把B（4，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c，得，解得，则抛物线的解析式为y＝x2﹣5x+4．由于y＝x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣4）．所以点A的坐标是（1，0）；（2）设D点坐标为a，则坐标为a2﹣5a+4①当∠BCD＝90°时，如下图所示，连结BC，过C点作CD⊥BC与抛物交于点D，过D作DE⊥y轴于点E，由B、C坐标可知，OB＝OC＝4∴△OBC为等要真角三角形，∴∠OCB＝∠OBC＝45°又∵∠BCD＝90°，∴∠ECD+∠OCB＝90°∴∠ECD＝45°，∴△CDE为等要真角三角形，∴DE＝CE＝a∴OE＝OC+CE＝a+4由D、E织坐标相等，可得a2﹣5a+4＝a+4解得a1＝6，a2＝0，当a＝0时，D点坐标为（0，4），与C重含，不符含思意，舍去当a＝6时，D点坐标为（6，10）②当∠CBD＝90°时，如下图所示，连按BC，过B点作BD⊥BC与抛物线交于点D，过B作FG⊥x轴，再过C作CF⊥FG于F，过D作DG⊥FG于G∠COB＝∠OBF＝∠BFC＝90°，四边形OBFC为形，又∵OC＝OB，∴四边形OBFC为正方形，∠CBF＝45°∠CBD＝90°，∴∠CBF+∠DBG＝90°∴∠DBG＝45°，∴△DBG为等腰直角三角形，∴DG＝BGD点横坐标为a∴DG＝4﹣a而BG＝﹣（a2﹣5a+4）∴﹣（a2﹣5a+4）＝4﹣a解得a1＝2，a2＝4当a＝4时，D点坐标为（4，0），与B重含，不符含题意，舍去当a＝2时，D点坐标为（2，﹣2）上所述，D点坐标为（6，10）或（2，﹣2）；（3）当BC为斜边构成Rt△BCD时，如下图所示，以BC中点O'为圆心，以BC为直径画圆，与物线交于D和D’BC为O'的直径∠BDC＝∠BD'C＝90°∵BC＝＝4．∴D到O'的距离为O'的半径r＝BC＝2．D点横坐标为m，纵坐标为m2﹣5m+4，O'坐标为（2，2），∴DO′＝．由图象易得m＝0或4为方程的解，则方程方边必有因式m（m一4）．采用因式分解法进行降次解方程：m（m﹣4）（m2﹣6m+6）＝0．m＝0或m﹣4＝0或m2﹣6m+6＝0，解得m1＝0，m2＝4，m3＝3+，m4＝3﹣．当m＝0时，D点坐标为（0，4），与C点重合，舍去；当m＝4时，D点坐标为（4，0），与B点重合，舍去；当m＝3+时，D点横坐标3+．当m＝3﹣时，D点横坐标为3﹣结合（2）中△BCD形成直角三角形的情况，可得△BCD为锐角三角形时，D点横坐标m的取值范围为3+＜m＜6或3﹣＜m＜2．故答案是：3+＜m＜6或3﹣＜m＜2．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题．【随堂练习】1．(2023秋•薛城区期末）如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；（3）点F在抛物线上运动，是否存在点F，使△BFC的面积为6，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），则c＝3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）函数的对称轴为：x＝1，则点D（1，4），则BE＝2，DE＝4，BD＝＝2；（3）存在，理由：△BFC的面积＝×BC×|yF|＝2|yF|＝6，解得：yF＝±3，故：﹣x2+2x+3＝±3，解得：x＝0或2或1，故点F的坐标为：（0，3）或（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；2．(2023•嘉兴模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长．②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）如图：①设P（m，m2﹣4m+3），将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为yBC＝﹣x+3．∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，∴D（m，﹣m+3），∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．②S△PBC＝S△CPD+S△BPD＝OB•PD＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．∴当m＝时，S有最大值．当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣．∴P（，﹣）．答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）．（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．根据题意，点E（2，1），∴EF＝CF＝2，∴EC＝2，根据菱形的四条边相等，∴ME＝EC＝2，∴M（2，1﹣2）或（2，1+2）当EM＝EF＝2时，M（2，3）答：点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．综合练习一．选择题（共3小题）1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（）A．600元 B．625元 C．650元 D．675元【解答】解：设降价x元，所获得的利润为W元，则W＝（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，∵﹣1＜0∴当x＝5元时，二次函数有最大值W＝625．∴获得的最大利润为625元．故选：B．2．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s＝﹣6t2+bt（b为常数）．已知t＝时，s＝6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（）A．米 B．8米 C．米 D．10米【解答】解：把t＝，s＝6代入s＝﹣6t2+bt得，6＝﹣6×+b×，解得，b＝15∴函数解析式为s＝﹣6t2+15t＝﹣6（t﹣）2+，∴当t＝时，s取得最大值，此时s＝，故选：C．3．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（）A．（6+3）cm B．（6+2）cm C．（6+2）cm D．（6+3）cm【解答】解：设左侧抛物线的方程为：y＝ax2，点A的坐标为（﹣3，4），将点A坐标代入上式并解得：a＝，则抛物线的表达式为：y＝x2，由题意得：点MG是矩形HFEO的中线，则点N的纵坐标为2，将y＝2代入抛物线表达式得：2＝x2，解得：x＝（负值已舍去），则AD＝2AH+2x＝6+3，故选：A．二．解答题（共5小题）4．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解板式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．【解答】解：（1）令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，∴点A（1，0），∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C（﹣3，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，∴设点P（m，﹣m2﹣2m+3），∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，∴，解得：，，∴点B（﹣4，﹣5），如图，过点P作PM∥y轴交直线AB于点M，则点M（m，m﹣1），∴PM＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，∴S△ABP＝S△PBM+S△PBA＝（﹣m2﹣3m+4）（m+4）+（﹣m2﹣3m+4）（1﹣m）＝，∴当m＝时，P最大，∴点P（，）；（3）当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴点E（﹣1，﹣2），如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y＝﹣x﹣3，∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，联立得D1（0，3），同理可得D2（﹣6，﹣3），D3（﹣2，﹣7），综上所述，符合条件的点D的坐标为D1（0，3），D2（﹣6，﹣3），D3（﹣2，﹣7）．5．某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）不销售单价x（元/件）符合一次函数y＝kx+b，且x＝70时，y＝50；x＝80时，y＝40；（1）写出销售单价x的取值范围；（2）求出一次函数y＝kx+b的解析式；（3）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？【解答】解：（1）根据题意得，60≤x≤60×（1+40%），即60≤x≤84；（2）由题意得：，∴．∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+120；（3）w＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，∵抛物线开口向下，∴当x＜90时，w随x的增大而增大，而60≤x≤84，∴当x＝84时，w＝（84﹣60）×（120﹣84）＝864．答：当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元．6．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现：销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b（k≠0），且当x＝65时，y＝55；当x＝70时，y＝50．（1