高级微观经济学

高级微观经济理论AdvancedMicroeconomicTheoryGeoffreyA.JehlePhilipJ.Reny微观经济学基本理论和内容都是一样的。但是划分初、中、高级微观经济学的关键是理论在一般化、形式化程度上有差别。微观经济学基本核心三大假定三大原理三大分析方法资源稀缺、经济理性、保护私有财产供求原理、等价交换原理、福利最大化原理均衡分析方法（动态与静态）、收益成本分析（动态与静态）、帕累托标准分析一个好模型研究可观察的真实世界的各种现象，而不是虚构各种事实，或者研究虚拟世界。解释的现象如果太特殊，理论没有意义，解释的现象如果太空泛，放之四海的真理容易变成套套逻辑。假设和“前提性假设”。假设为我们的研究设定了一个范围和条件，使待研究的现象变得更简单，让研究者的精力集中在主要方面，而暂时忽略一些次要内容。在满足这个假设条件下，得到的推论是可靠的。但是，关于假设条件是否必须为真，经济学家之间通常有严重分歧。如弗里德曼认为，假设是否为真不重要，重要的是得到的结论有比较普遍的解释能力。如理性假设、完全竞争市场模型的四个假设条件、古诺模型的假设条件。在界定范围后，需要引入的变量。需要注意哪些变量是外生变量，哪些变量是内生变量。在确定变量后，选择合适的函数形式。函数形式既要考虑经济含义，又要考虑处理的方便。太复杂的函数通常不容易求解出结果，推导过程也会很复杂。由于资源总是稀缺的，因此，还必须加入约束条件。如何处理好约束条件，是模型构建的难点和重点，也是经济学家水平的重要分水岭。一个好模型必须能够解释观察到的各种现象，推测的结果要用真实世界观察到的现象或者素材来检验，一个好模型还必须是有可能被可证伪的。这样，理论才能不断创新，不断发展。Ch0.导论数学基础（一）Asetisanycollectionofelements.Wecanbedefinedbyenumeration(列举）oftheirelementsorbydescriptionoftheirelements.一个集合是所有元素的合并。我们既可以用列举法来定义集合中的这些元素，也可以用描述法来定义集合中的这些元素。A={1,3,5,7,9}orA={小于10的奇数｝数学基础（一）Membershiporinclusioninaset,weusethesymbol.otherwise,AsetSisasubsetofanothersetT,wewriteST(SiscontainedinT)orIfTS(TcontainsS),thenxSxT数学基础（一）Theemptyset（空集）symbolis

.S=Tmeanstwosetsareequal.IfandonlyifSTandTS.Theunion(并集）ofTandSisST{xxSorxT}Theintersection(交集）ofTandSisST{xxSandxT}数学基础（一）实数集数学基础（一）ConvexsetsinRn

isaconvexsetifforallwehave

如果一个集合包含了该集合中每对点的所有凸组合，它才是凸的。当且仅当我们可把集合内的两点用一条直线连接，该连接线又完全处在集合内的情况下，这一集合才是凸的。数学基础（一）:binaryrelationbetweenSandTAnycollectionoforderedpairss与t存在特定关系或数学基础（一）Completeness（完备性）ArelationonSiscompleteif,forallelementsx,yinS,Transitivity（传递性）ArelationonSistransitiveif,foranythreeelementsx,y,zinS,implies。数学基础（一）度量与度量空间欧氏空间欧氏度量：数学基础（一）开邻域闭邻域数学基础（一）例1：在R1上的邻域

数学基础（一）

上的邻域：数学基础（一）开集如果，都使，那么是上的开集。数学基础（一）闭集S如果S的补集Sc是开集，那么S是闭集。数学基础（一）定理：一个集合是一个闭集，当且仅当，对所有的序列，如果对任意的m有，那么，就有。数学基础（一）BoundedSets（有界集）AsetSinRniscalledboundedifitisentirelycontainedwithinsomeThatis,数学基础（一）upperandlowerboundofS

inRupperbound:u最小上界：上确界（l.u.b.）lowerbound:l最大下界：下确界（g.l.b.）数学基础（一）定理1.5：实数子集的上界与下界1、有界开集不包含上、下确界；2、有界闭集包含上、下确界。数学基础（一）Compactset（紧集）有界闭集Ch1消费者理论Slide251.消费者理论基本概念偏好关系与效用函数消费者问题间接效用函数与支出函数需求函数性质Slide261.1消费集商品i及其数量种类有限性数量无限可分

消费组合（束）Slide271.1消费集消费集：消费者可以想象自己可能消费的各种消费组合的集合。——反映自然的约束以及消费者关于商品的信息Slide281.1消费集消费集基本假设Nonempty：

isclosed凸性(convex)

Slide291.1消费集可行集B在给定环境约束下，所有消费者实际上可以选择的消费束。——反映制度、技术、个人能力等因素Slide301.2偏好与效用如何描述消费者的偏好？Betham：效用可度量、可比较Jevons等：边际效用递减法则

需求规律——基数效用论Slide311.2偏好与效用序数效用论Hicks（1939）:ValueandCapitalSlide321.2偏好与效用理性假设theconsumercanchoose能够判断自己喜欢什么andchoicesareconsistent自己的偏好具有一致性Slide331.2.1偏好关系二元关系(binaryrelation):如果，有,那么至少与一样好。读作：偏好于。Slide341.2.1偏好关系偏好公理1：完备性

偏好公理2：传递性

Slide351.2.1偏好关系定义1.1：如果在消费集上的二元关系满足公理1和2，那么我们称它为偏好关系。Slide361.2.1偏好关系定义1.2：strictpreferencerelation而且

读作：严格偏好于

定义1.3：indifferencerelation而且

读作：与无差异Slide371.2.1偏好关系消费集的分划弱偏好集：严格偏好集：无差异集：Slide381.2.1偏好关系

消费集的分划Slide391.2.1偏好关系公理3：连续性

,如果都有而且有和，那么就有和

是闭集。连续定理：Slide401.2.1偏好关系Slide411.2.1偏好关系公理:局部非饱和性

,,使得。——总存在改进福利的可能性Slide421.2.1偏好关系X1不满足公理Slide43局部非饱和性

无差异集合是一条曲线，

不存在无差异区域。1.2.1偏好关系Slide44X3（好的）商品越多越好！！X2Slide451.2.1偏好关系公理4：严格单调性，如果有那么有，如果有，那么有严格单调性局部非饱和性Slide46X2X3X11.2.1偏好关系

无差异曲线斜率为负严格单调性Slide471.2.1偏好关系公理：凸性如果，那么Slide48X2X1Xt1.2.1偏好关系Slide491.2.1偏好关系公理5：严格凸性如果和，那么Slide50

X1Xt严格单调、严格凸性偏好严格凸向原点的无差异曲线1.2.1偏好关系Slide511.2.1偏好关系边际替代率无差异曲线的斜率凸偏好边际替代率非递增严格凸偏好边际替代率递减Ch1.2.2效用函数Slide53数学基础：函数连续性如果定义域的一个“微小运动”并不导致值域的“大跳跃”，那么，函数基本上可以判断是连续的。函数Slide54数学基础：函数连续性（Cauchy）在此定义中，函数的定义域不再在R中取值，而只是在R的一个子集中取值。Slide55Slide56数学基础：函数象与原象（inverseimage）

连续性与原象（定理A1-6）Slide57数学基础：函数定理A1.7：连续函数在紧集上的象（image)是紧集Slide58数学基础：函数极值存在性定理（Weierstrass）Slide59数学基础：多变量函数的微分梯度(gradient)：一阶微分：二阶微分：（海赛矩阵）Slide60数学基础：矩阵定义：

N×N矩阵M，如果都有半负定矩阵的特点是其每个特征值都是0或负数；负定矩阵的特点是其每个特征值都是负数。那么，称M是半负定矩阵；如果不等号严格成立，那么称M为负定矩阵。Slide61数学基础：拟凹函数Slide62数学基础：拟凹函数Slide631.2.2效用函数定义1.5：实值函数u:R₊ⁿ

R是表示偏好关系的效用函数，如果存在性唯一性Slide641.2.2.1效用函数存在性定理1.1：代表偏好关系的实值函数的存在性定义在的偏好关系满足连续性和严格单调性，那么就存在一个连续的实值函数表示.。Slide651.2.2.1效用函数存在性定理1.1证明思路先构造一个实值函数然后证明它满足效用函数的条件Slide66I、效用函数的构造0u(x)e~xSlide67至此我们证明出，对于每个x属于R，正好存在一个函数u（x），使得u(x)e~x。到此为止,我们构造了一个效用函数,它给X中的每一消费束分配一个数字。以下我们将说明这一效用函数代表偏好关系。Slide68II、是效用函数由式得到（传递性）（严格单调性）——u(x)是表示偏好关系效用函数Slide69III、是连续函数效用函数u(x)在开区间(a,b)上的逆映射(原象)（定义）（单调性）（传递性）是开集（因为的补集是闭集）Slide701.2.2.2效用函数的唯一性正单调变化其中在的取值范围上是严格递增函数。Slide711.2.2.2效用函数的唯一性定理1.2：效用函数对正单调变化的不变性实值函数u(x)能够表示偏好关系，那么，当且仅当v(x)是u(x)的正单调变换,v(x)也能够表示该偏好关系。Slide721.2.2.2效用函数的唯一性设表示的是偏好关系的结构。

Ch1.3消费者问题Slide74Ch1.3消费者选择问题最优解的性质最优解的充分必要条件Slide75数学基础约束最优化求解：拉格朗日方法受约束于可构造拉格朗日函数，用无拘束三变量函数替代两变量函数：

Slide76拉格朗日定理（定理A2-16）设f（x）与是一些定义域在上的连续可微的实值函数。设x*是D的一个内点并且x*是f的一个最优值点（最大值或最小值）；f受到的约束，如果梯度向量是线性独立的，那么总会存在m个不同的数使得Slide77定理A2-19受非负性条件约束的实值函数最优化的必要条件：设f(x)是连续可微的1.如果在的约束下,x*最大化了f(x),那么x*满足:

Slide78定理A2-19,续2.如果在的约束下,x*最小化了f(x),那么x*满足:Slide79Kuhn-Tucker条件（定理A2-20）受不等式条件约束的实值函数最优化的（Kuhn-Tucker

）必要条件设f（x）与是一些定义域在上的连续可微的实值函数。设x*是D的一个内点并且x*受到条件约束的f的最优解（最大值或最小值解）。如果与所有束紧约束相关的梯度向量是线性独立的，那么必存在唯一的向量使得（x*，）满足Kuhn-Tucker

条件：Slide80Ch1.3消费者选择问题分析框架偏好关系：消费集：可行集：最优化选择：Slide81Ch1.3消费者选择问题假设1.2消费者偏好具有完备性、可传递性、连续性和严格单调性。消费者的效用可以由一连续、严格递增的拟凹实值函数表示。形式理性Slide82Ch1.3消费者选择问题可行集预算行动规则制度、政府规制等交易规则：完全竞争性市场可行集：Slide83Ch1.3消费者选择问题消费者问题Slide84Ch1.3.1解的性质：存在性如果定义域D是一个紧集，那么连续实值函数u(x)则存在最大值。是上的连续函数非空是有界、闭集是紧集存在最大值满足假设1.2

Slide85Ch1.3.1解的性质：唯一性如果偏好关系满足严格凸性，可行集B是凸集，那么最优解唯一证明：是凸集

是严格拟凹函数

——与假设矛盾假设不成立解是唯一的Slide86Ch1.3.1解的性质：唯一性非凸偏好x1x2Slide87Ch1.3.1解的性质：唯一性非严格凸偏好x1x2Slide88Ch1.3.1解的性质：瓦尔拉斯法则瓦尔拉斯法则偏好的递增性当且仅当满足以下条件时效用函数取到最大值：Slide89Ch1.3.1解的性质偏好的理性、连续性偏好的严格凸性偏好的递增性效用最大化问题的解就是马歇尔需求函数。存在性唯一性瓦尔拉斯法则——马歇尔需求函数Slide90Ch1.3.2解的充要条件偏好具有良好性质，可导Slide91解的充要条件I、II、III、根据Kuhn-Tucker条件Slide92Ch1.3.2解的充要条件偏好的严格单调性（几乎处处成立）内点解必要条件Slide93Ch1.3.2解的充要条件定理1.4：内点解必要条件的充分性如果效用函数连续拟凹，在可导，而且，。那么满足以下必要条件的解一定是消费者的效用最大化解。Slide94Ch1.3.2解的充要条件拟凹设有：证明Slide95Ch1.3.2解的充要条件假设不是消费者的效用最大化选择,即连续性——与u(x)拟凹性矛盾Slide96Ch1.3.2解的充要条件定理1.5：需求函数的可微性设为在下消费者的最优选择。如果有

在点上的加边海塞矩阵的秩不等于0。是上的二阶连续可微函数在可微。那么Slide97例Slide98角点解如果那么最优解位于可行集的角上Slide99角点解拟线性偏好Slide100角点解线性偏好2442x1Slide101角点解（根据定理A2.19)Slide102角点解1、2、Slide103角点解3、Slide104课堂练习1.20、、1.24、1.25、1.26、Ch1.4间接效用与支出Slide106数学基础值函数（Valuefunction）MP：Slide107最大化定理如果目标函数与约束条件关于参数是连续的,并且如果定义域是一个紧集,那么,M(a)与x(a)是参数a的连续函数.进一步,如果目标函数,约束条件与解均对参数可微,则有包络定理.Slide108包络定理（定理A2.21）（MP）中，如果f(·),g(·)对a连续可微，并且对任意a,x(a)>>0是MP的唯一解，而且对a可微。为该问题的拉格朗日函数，是满足kuhn-Tucker条件的解。那么有

（等式右边表示拉格朗日函数关于参数aj的偏导数，它在点（x(a)，(a)）处取值）Slide109包络定理的含义定理说明了如下情况：当参数发生变化时（并且假设因此变化而使整个最优化问题被重新赋值），它对目标函数最优化值产生的总效应可用如下方式来推导：给拉格朗日函数求参数的偏导数，并接着可在原问题的一阶库恩-塔克条件的解处给该导数取值。证明：略Slide1101.4.1间接效用函数Slide1111.4.1间接效用函数定义在消费集上的效用函数直接效用函数u(x)定义在(p,y)上的函数间接效用函数v(p,y)——当价格、收入变化时，消费者福利会发生怎样的变化？Slide1121.4.1间接效用函数性质1：在上连续最大化定理约束函数是p,y的连续函数性质2：是(p,y)的0次齐次函数Slide1131.4.1间接效用函数性质3、4：是y的严格递增函数，p的递减函数。证明：构建拉格朗日函数令为最大化问题的解，则根据拉格朗日定理得出存在一个使得下式成立：

易得>0Slide114性质3、4根据包络定理,因此v(p,y)关于y是递增的.同样根据包络定理有:因此v(p,y)关于p是递减的.Slide1151.4.1间接效用函数性质5：是(p,y)的拟凸函数拟凸令Slide1161.4.1间接效用函数假设不成立，那么即—与矛盾Slide117性质6:Roy恒等式：消费者对物品i的马歇尔需求只是间接效用函数关于pi的偏导数与其关于y的偏导数的比率的负数。根据包络定理，根据性质3，有Slide1181.4.1间接效用函数例Slide1191.4.2支出函数在给定价格(p1,p2)下，实现效用水平u，至少需要多少预算（支出）？ux1x2u(x1,x2)=u等支出线Slide1201.4.2支出函数支出最小化问题(EMP)——希克斯需求函数Slide1211.4.2支出函数希克斯需求函数xh(p,u)在价格p下，实现效用水平u，支出最小的消费束。Slide122x1x2xh补偿需求曲线Slide123Hicksiandemandfunction对于不同的无差异曲线，——对于不同的效用水平，有不同的希克斯需求曲线，它们中的每一个的形状与位置将总是由潜在的偏好所决定。在同一条希克斯需求曲线上的每一点，其给消费者带来的效用都相等。显然，在给定价格体系p和效用水平U(x)之后，相应的希克斯需求不见得存在，即使存在，也不见得唯一，要使其具有存在性和唯一性，还须运用相应的假设。Slide1241.4.2支出函数支出最小化问题解的存在性、唯一性支出函数的性质Slide125存在性定理设消费集合X是向下有界的非空闭集，•是连续的偏好，则对任何价格向量及任何，都有（即希克斯需求集合非空）。因此理性消费者的希克斯需求是存在的。Slide126唯一性定理设消费集X是凸集,•是连续的严格凸偏好,则对于符合条件e(p,x)>e*(p)的任何价格体系p和消费向量,希克斯需求集合中最多只有一种消费方案.因此,理性消费者的希克斯需求是唯一的.Slide127存在性定理的证明是连续函数是连续函数是闭集Slide128续

E有下界是闭集2.1.

存在最小值，即Slide129唯一性定理的证明u(x)是严格拟凹函数假设x1,x2都是EMP的最优解

u(xt)>up·xt=p·x2=e

存在k<1使得

u(kxt)>u

p·kxt<e如果偏好满足假设1.2，那么EMP最优解唯一证明：u(x)是连续函数—与假设矛盾Slide130支出函数e(p,u)的性质如果u(.)是连续且严格递增的,那么由最小值函数定义的e(p,u)则是:性质1：当效用水平取最低值时，支出函数值为0。偏好（严格）递增

性质2：在是连续函数(最大化定理)Slide1311.4.2.2支出函数性质性质3:对,是u的严格递增函数，而且无上界。证明:假设非严格递增，令u1<u2记x1＝xh(p,u1),x2＝xh(p,u2)——与x1＝xh(p,u1)矛盾Slide1321.4.2.2支出函数性质性质3：证明（微分方法：包络定理）假设1.而且可微u(·)可微u(·)连续，严格递增性2.I.Slide1331.4.2.2支出函数性质根据拉格朗日定理，必然存在一个λ*，使得：由于u(x)是递增的,,所以λ*>0根据包络定理：性质4：支出函数是价格的递增函数。Slide1341.4.2.2支出函数性质性质5：价格的一次齐次函数Slide1351.4.2.2支出函数性质性质6：是价格的凹函数证明：Slide1361.4.2.2支出函数性质性质7:Shephardlemma证明见性质4.Slide1371.4.2.2支出函数性质例:求与对应的支出函数解:

求拉格朗日函数的一阶条件并消去,得到

,于是可得支出函数Slide1381.4.3间接效用与支出函数的关系定义

定义

（1.17）（1.16）1、2、Slide1391.4.3间接效用与支出函数的关系支出最小化→要达到效用u，最小的支出是e(p,u)效用最大化→支出为y时效用最大取值为u→支出为y时总能实现效用u→y最小支出e(p,u)效用最大化→在支出为y的条件下能达到的最大效用是u支出最小化→实现效用u的最小开支取值为e(p,u)→当开支取值为e时总能实现u→开支取值为e(p,u)时带来的效用v(p,y)uSlide1401.4.3间接效用与支出函数的关系定理1.8：假设连续且严格递增，如果和分别是消费者的间接效用函数和支出函数，那么，对有：

Slide1411.4.3间接效用与支出函数的关系

假设e(·)连续性(1.17)

这是不可能的证明：v(·)是y的严格递增函数Slide1421.4.3间接效用与支出函数的关系

（1.17）:假设证明：v(·)连续

这是不可能的Slide1431.4.3间接效用与支出函数的关系定理1.9：马歇尔需求与希克斯需求的对偶性在假设1.2下，对于所有有:

Slide1441.4.3间接效用与支出函数的关系

证明：定理1.8

Slide145对偶性的内涵

从表面上看,效用最大化的马歇尔需求没有考虑支出最小化的问题,支出最小化的希克斯需求没有考虑效用最大化的问题,但事实并非如此.马歇尔需求与希克斯需求是互相一致的,或者说,效用最大化蕴涵着支出最小化,支出最小化也蕴涵着效用最大化.因此,消费最优选择不仅可以看做一个选择与预算线相切的最高无差异曲线的问题,也可以看做是一个选择与既定的无差异曲线相切的最低预算线的问题.1.5需求函数性质Slide147Relativepricesandrealincome.relativepricepricesthegoodbysomeothergood,notmoney.realincomeisthemaximumnumberofunitstheconsumercanconsumeifhespendsallhismoneyincome.Slide1481.5需求函数的性质定理1.10:0次齐次和预算平衡在假设1.2下

x(p,y)是(p,y)的0次齐次函数x(tp,ty)＝x(p,y)forallt>0满足预算平衡：p·x(p,y)=ySlide1491.5需求函数的性质相对价格形式令x(p,y)=x(tp,ty)相对价格：实际收入：对n种商品中每一种商品的需求只依存于n-1个相对价格与消费者的实际收入。Slide1501.5.2收入效应与替代效应希克斯分解替代效应(SE)：在保持消费者最大化效用不变前提下，相对价格变化所引起的需求量的变化。收入效应(IE)：总效应(TE)与替代效应的差。TE=SE+IESlide151x1x2xhTEIESE1.5.2收入效应与替代效应Slide1521.5.2收入效应与替代效应Slutsky方程收入效应替代效应Slide153Slutsky方程对偶性

记：对偶性

Shepard引理

Slide154Slutsky方程Slide1551.5.2收入效应与替代效应

是p的凹函数(支出函数性质6)定理1-12：负的自替代效应Shepard引理

Slide1561.5.2收入效应与替代效应NormalgoodsinferiorgoodsGiffenGoodsSlide1571.5.2收入效应与替代效应NormalgoodsinferiorgoodsGiffenGoodsSlide158需求规律定理1-13:正常商品自身价格的下降将导致需求的增加。如果自身价格下降导致需求减少，那么该商品必定是劣质商品。Slide159IncomeandSubstitutioneffects:NormalGoodFood(unitspermonth)OClothing(unitspermonth)RF1SC1AU1Theincomeeffect,EF2,(fromDtoB)keepsrelativepricesconstantbutincreasespurchasingpower.IncomeEffectC2F2TU2BWhenthepriceoffoodfalls,consumptionincreasesbyF1F2

astheconsumermovesfromAtoB.ETotalEffectSubstitutionEffectDThesubstitutioneffect,F1E,(frompointAtoD),changestherelativepricesbutkeepsrealincome(satisfaction)constant.Slide160Food(unitspermonth)ORClothing(unitspermonth)F1SF2TAU1ESubstitutionEffectDTotalEffectSincefoodisaninferiorgood,theincomeeffectisnegative.However,thesubstitutioneffectislargerthantheincomeeffect.BIncomeEffectU2IncomeandSubstitutioneffects:InferiorGoodSlide1611.5.2收入效应与替代效应定理1-14:对称性替代项e(p,u)二次连续可微

Shepard引理

Slide1621.5.2收入效应与替代效应定理1.15：负半定替代矩阵Slide1631.5.2收入效应与替代效应是p的凹函数

负半定Slide1641.5.2收入效应与替代效应定理1.16：负半定对称斯勒茨基矩阵Slide165Application定理1-10和1-16可用于对理论或实证模型进行检验.消费者需求满足齐次性和预算平衡性的要求,以及斯勒茨基矩阵必须是对称的和负半定的要求,为实际估算马歇尔需求方程组中参数的设定规定了一系列严格的限制(当然,在这种情况下,消费者必须是理性的价格接受者).Slide1661.5.3弹性分析收入弹性价格弹性收入份额Slide167消费者需求的加总定理1-17:设x(p,y)是消费者的马歇尔需求,则如下关系必须在收入份额,需求的价格弹性与收入弹性间成立:1.Engelaggregation:它表明收入份额加权的收入弹性之和为1.2.Cournotaggregation:它表明加权的自身需求价格弹性与交叉需求价格弹性总可以某种特殊方式加总.Slide168恩格尔加总Slide169古诺加总Slide170Tosumup定理1.10-1.17共同给出了一个有关效用最大化行为的逻辑含义的说明:齐次性告诉我们需求必将对等比例的价格与收入的同时变动做出反应,预算平衡性则要求需求耗尽消费者的收入.斯勒茨基方程告诉我们,针对一般性的价格变化,需求的变化数量和方向将怎样(它还考察了那些不可观测到的需求变化是如何具体影响需求总量,从而使需求量表现为我们最终观测到的实际变化).最后,加总关系提供了有关需求量如何在整个需求函数方程组中被“放到一起”的技巧.Slide171作业29、38、45、46、50、54、60、62、63Ch2消费者理论专题Slide173数学基础超平面（hyperplane）ahyperplaneisanycodimension-1vectorsubspaceofavectorspace.Equivalently,ahyperplaneVinavectorspaceWisanysubspacesuchthatW/Visone-dimensional.Slide174欧拉定理当且仅当如下式子成立时，f(x)是k次齐次性的:Slide175Ch2对偶性可积性显示偏好不确定性Slide1762.1对偶性－深入分析偏好EMPUMPSlide1772.1.1支出与偏好

它可能是、也可能不是一个支出函数。满足什么条件时是支出函数？从消费者的支出行为能否还原其偏好关系？在前面一章，我们的支出函数构造思路是：效用函数→EMP→支出函数而在本章我们的思路正相反：支出函数→效用函数Slide178定理1.7：支出函数的性质1.

在连续2.

对,是u的严格递增函数，而且无上界。3.

是价格的递增函数。4.

是价格的凹函数5.

是价格的一次齐次函数Slide179命题1：（本节所要说明的问题）如果E(p,u)满足定理1.7：1-5性质，那么它就是某一偏好的支出函数。换言之，与此支出函数相对应的效用函数必然存在。等价提法：能够构造一个效用函数u(·)，使得E(p,u)正好是该效用函数下的支出函数。思路：构造一个函数证明它是效用函数Slide1802.1.1支出与偏好偏好EMPUMP根据支出行为，能够恢复其偏好关系Slide181

XE(p,u0)u0Xu(x)A(u0)

表示的是这样的消费组合集合，它在任何价格水平下都能满足px>E(p,u0)Slide182XE(p,u0)u0Xu(x)A(u0)A(u1)u1A(u2)u2u*Slide183先构造：A(u):E(p,u)的上等值集然后在A(u)基础上构造u(·)Slide184效用函数的构造给定令超平面：Slide185效用函数的构造—p0·x是x的连续函数

A(p0,u0)是闭集—p0·x是x的线性函数

所有在价格p0下能够达到u0的消费束都在A(p0,u0)内，据此我们有：

A(p0,u0)是凸集A(u0)A(p0,u0)Slide186效用函数的构造存在一条未知的无差异曲线～(u0)，在价格p0下，刚好与该预算线相切.问题：如何通过A(p0,u0)

找出无差异曲线

u0？Slide187效用函数的构造我们可以把在不同价格水平下的所有与该无差异曲线相切的预算线划出来当p=p1时A(u0)A(p1,u0)Slide188效用函数的构造无差异集既在A(p0,u0)又在A(p1,u0)，即在它们的交集中。－－所有能够至少产生效用水平u0的消费组合记为式2-1A(p,u0)是闭集

A(u0)是闭集Slide189效用函数的构造E(p,u)是u的递增函数A(u)的递增性Slide190效用函数的构造给定消费组合x，其效用水平？如果那么x至少能够达到那么x不可能达到记：Slide191定理2.1如果E(p,u)具有定理1.7的支出函数的性质，A(u)是根据2.1式定义，那么函数是与E(p,u)相对应的效用函数,它是一个递增、无上界的拟凹函数。Slide192证明：第二步最大值存在

B(x)是有上界非空闭集递增、无上界、拟凹

——具有效用函数的性质Slide193是u的连续函数最大值存在性是闭集1.1、B(x)是闭集证明：Slide194E(p,u)无上界，是u的递增函数

B(x)有上界最大值存在性使得B(x)非空

存在上确界1.2、B(x)是存在上界证明Slide195最大值存在性存在上确界闭集具有良好定义Slide196

递增性Slide197无上界假设存在上界，则一定有上确界都有即我们需要证明证明Slide198给定是P的一次齐次可微函数欧拉定理

是P的凹函数,根据定理A2.4

无上界证明Slide199设即无上界Slide200拟凹给定记证明Slide201定理2.2如果E(p,u)具有定理1.7的支出函数的性质，u(x)是根据定理2.1构造的效用函数，那么Slide202定理2.2：证明给定设满足定义

给定Slide203定理2.2：证明是P的一次齐次可微函数欧拉定理

是P的凹函数(根据定理A2-4)

Slide204定理2.2：证明设Slide205结论定理2-1和2-2告诉我们,在任何时刻,我们可写出满足定理1-7性质的关于价格与效用的函数,对于满足一般公理的偏好而言,该函数将是一个合理的支出函数.我们可由一个直接效用函数出发,通过求解适宜的最优化问题以求出希克斯需求或马歇尔需求函数;也可由一个支出函数出发,经由相反的路线及简单积分的方法来获得消费者需求方程.而后者在真实世界里实用性更强.Slide2062.1.2凸性与单调性凸性、单调性假设

是对个人偏好很强的假设，如果需求理论需要依赖很强的假设，那么无疑会限制该理论的应用。——是经济学的一块心病Slide2072.1.2凸性与单调性只是技术性假设，理论的预测并不会因为引入这两个假设而改变。即：非凸、非单调性偏好下的最优选择一定也是单调、凸偏好下的最优选择。Slide208构造的凸化和单调化偏好连续具有良好定义,而且连续

——递增、拟凹（定理2.1的证明）根据构造函数:Slide209与关系

Slide210（拟凹）:凸集

与关系

Slide211I、如果是递增的拟凹函数是闭凸集——无差异曲线上的任意消费束，都存在一个正的价格向量，使其成为成本最小化选择Slide212I、如果是递增的拟凹函数支撑超平面定理

（分离超平面定理）是闭凸集使得都有：Slide213I、如果递增的拟凹函数是u的递增函数任何大于u的值都不属于B(x0)Slide214I、如果递增的拟凹函数Slide215II、如果不是递增、也不是拟凹函数无差异曲线上，x0~x1,以及x2~x3,上的消费束都存在严格为正的价格，使其成为成本最小化的最优选择。x3x0x2x1而且对于x1,x2Slide216II、如果不是递增、也不是拟凹函数不是拟凹函数即有(e(p,u)递增性)因为Slide217x2x1II、如果不是递增、也不是拟凹函数xtx0x3Slide218x2x1II、如果不是递增、也不是拟凹函数xtx0非递增性

x3Slide219II、如果不是递增、也不是拟凹函数2.1.2凸性与单调性Slide2202.1.3间接效用与偏好偏好EMPUMP从间接效用函数能够恢复其偏好关系Slide221直接效用函数的构造如果有Slide222定理2.3

在上拟凹而且可微，一阶偏导严格为正，那么间接效用函数在上取得最小值，并且有：（T1）Slide223定理2.3:证明令给定

Slide2242.1.3间接效用与偏好如果函数满足定理1.6中的性质，那么该函数就是一个间接效用函数，而且根据（T1）所构造的函数就是产生该间接效用函数的直接效用函数。Slide2252.1.3间接效用与偏好0次齐次

其中Slide226例Slide227反需求函数定理2.4设u(x)是消费者的效用函数，那么商品i的反需求函数为Slide228证明包络定理：Slide229例：求反需求函数Ch2消费者理论专题Lecture2可积性与显示偏好Slide2312.2可积性如何从可观察的需求行为恢复产生该需求的效用函数？

Slide2322.2可积性偏好EMPUMPSlide2332.2可积性需求函数应该满足那些条件？-零次齐次性、预算平衡性、对称性与负半定性，以及相伴随的古诺加总和恩格尔加总。-根据定理1-17，加总结论直接来自预算平衡性。-零次齐次性可由预算平衡性与对称性所蕴涵。Slide234定理2-5定理2-5：如果x(p,y)满足预算平衡性并且其斯勒斯基矩阵是对称的,那么它对p与y就是零次齐次的。证明：略Slide235总结如果x(p,y)是需求函数的一个效用最大化的方程组,那么,我们可以对已发现的可观察行为含义做如下总结:预算平衡性:p•x(p,y)=y负半定性:相关的斯勒斯基矩阵s(p,y)是负半定的.对称性:s(p,y)是对称的.Slide236定理2.6可积性定理定理2.6:一个连续可微的函数当其满足预算平衡性、对称性和负半定性时，它就是由一些递增、拟凹的效用函数产生的需求函数。该结论并且只在效用是连续的、严格递增的且严格拟凹的条件下成立。证明：略一个有用的引理:对偶性+ShepardlemmaSlide237例题2-3存在三种物品并设消费者的需求行为由如下函数表达，求其支出函数。Slide238首先，检查x(p,y)满足预算平衡性、对称性与负半定性,依据定理2-6，x(p,y)必是由效用函数生成的.根据定理2-6的引理（P.1）我们的任务在于寻找出,它求解出以下偏微分方程组:Slide239注意到上式可被改写为:于是有:Slide240进一步,于是,由于必须确保e(p,y)关于u是严格递增的,只要我们能保证c(u)严格递增,所得函数就是我们要求的支出函数,可以方便地设c(u)=u.我们的最终解就是Slide2412.3显示偏好分析的思路对偏好进行公理化假设最大化行为消费者行为观察和预测(前面各章节的思路)可观察的选择出发分析消费行为Samuelson（1947）消费者选择消费束A而非B,说明消费者更偏好于A,消费者的实际选择行为传递着关于消费者偏好的信息.Slide242直接显示偏好设是消费者在收入为m的条件下根据价格所能购买的任意商品束,是其实际购买的商品束,如果该消费者满足预算平衡性,显然有:于是有如果与是不同的消费束,此时我们说是的直接显示偏好.Slide243显示偏好原理设是价格在时被选择的商品束,是使得成立的另一个商品束.在这种情况下,如消费者总是在他能够购买的商品束中选择他最偏好的商品束,则我们有Slide244间接显示偏好与显示偏好如需求束本身恰好又是另一商品束的显示偏好,即根据传递性假设,我们有,在这种情况下,我们称是的间接显示偏好.如果一个商品束既是另一个商品束的直接显示偏好,又是它的间接显示偏好,那么我们就说第一个商品束是第二个商品束的显示偏好.Slide245AmountofExercise(hours)AnexampleOtherRecreationalActivities($)025507520406080100l1Cl2U2BTheratechangesto$1/hr+$30/wkNewbudgetlineI2&combinationBRevealpreferenceofBtoAU1AScenarioRoberta’srecreationbudget=$100/wkPriceofexercise=$4/hr/weekExercises10hrs/wkatAgivenU1&I1Slide246恢复偏好通过观察消费者所作的选择,我们可以获知他的偏好,当我们观察的选择越多时,我们就能对消费者的偏好作出越加准确的估计.充分利用显示偏好的概念及关于偏好的若干前提假设,则我们能准确地画出无差异曲线.Slide247DRevealedPreferences--TwoBudgetLinesl1l2BAI1:ChoseAoverBAisrevealedpreferredtoBl2:ChooseBoverDBisrevealedpreferredtoDFood(unitspermonth)Clothing(unitspermonth)Slide248AispreferredtoallmarketbasketsinthegreenareaRevealedPreferences--TwoBudgetLinesl2Bl1DAAllmarketbasketsinthepinkshadedareaarepreferredtoA.Food(unitspermonth)Clothing(unitspermonth)Slide249AllmarketbasketsinthepinkareapreferredtoAFood(unitspermonth)RevealedPreferences--fourBudgetLinesClothing(unitspermonth)l1l2l3l4A:preferredtoallmarketbasketsinthegreenareaEBAGI3:ErevealedpreferredtoA

I4:GrevealedpreferredtoASlide250显示偏好的弱公理（WARP）如果对于每一对不同的消费束与，消费者在价格为时选择，在价格为时选择，那么，这个消费者的选择行为会满足显示偏好弱公理：换言之，当是的显示偏好，且从来不是的显示偏好，那么，WARP成立。Slide251一种更容易理解的表述WARP：如果是的直接显示偏好，且和不同，那么，就不可能是的直接显示偏好。还原到现实世界就是：如果在购买商品束X时有能力购买商品束Y，那么在购买商品束Y时，商品束X就肯定是无力购买的商品束。Slide252显示偏好弱公理x1x1x0x0Slide253选择函数选择函数（choicefunction）假设1：称x1

直接显示偏好于x2，如果有记为：Slide2540次齐次设（预算平衡）（WARP）ifSlide255斯勒茨基补偿当价格变化后，调整收入，使其刚好买得起原来的消费束。（WARP）（2-5）Slide256如果那么等式成立。如果，那么，在可被支付时被选择，WARP意味着每当被选择时都是支付不起的，因此上式不等号是严格的。根据预算平衡有：（2-6）（2-6）-（2-5）得（2-7）：

Slide257令Slide258斯勒茨基补偿需求Slide259斯勒茨基补偿需求Slide260斯勒茨基补偿需求都成立负半定Slide261总结至此我们已证明，一旦选择函数满足WARP和预算平衡性，那么它必定满足由效用最大化所蕴涵的两个特性，即零次齐次性与斯勒斯基矩阵的负半定性。如果我们能进一步证明选择函数的斯勒司基矩阵是对称的，那么，依据可积分性结论，选择函数实际上就是需求函数，由此即可构建产生该需求函数的效用函数。Slide262两物品情况我们已证，满足WARP和预算平衡的选择函数具有：0次齐次负半定替代矩阵两物品的条件下，0次齐次和负半定性就意味着对称性，因此，此时选择函数必定是由效用最大化产生的。Slide263两物品情况反过来看，从效用最大化得到的需求函数一定满足WARP。设效用最大化的消费者具备了严格单调且严格凸的偏好，那么，在每一个价格集上将存在唯一的需求束，该需求束正好用尽消费者的收入。在价格为时令最大化其效用，价格为时最大化其效用，并设。由于是可支付但没被选择的消费束，因此必定有。因此，当在价格为时被选择，此时必定是不可获得的：因此，，WARP于是得到满足。Slide264两物品以上情况超过两物品的情况，由于WARP与预算平衡性不意味着斯勒斯基矩阵的对称性，因此，对于两种物品以上的情形，WARP与预算平衡并不等价于效用最大化假说。Slide265可见从效用最大化得到的需求函数一定满足WARP但满足WARP的选择不一定是效用最大化的选择这导致这样一个问题：如何强化WARP，才能使它等价于效用最大化理论。由于斯勒斯基矩阵的对称性与消费者偏好的可传递性之间存在密切关系（定理1-14的证明），我们只要确定消费者偏好是可传递的，则对称性就能得到满足，进而，效用最大化假说也就能够实现。这就是我们要寻找的WARP的附加条件。Slide266显示偏好的强公理（SARP）SARP：如果对于每个不同消费束的序列，是的显示偏好，是的显示偏好，……，是的显示偏好，同时不存在是的显示偏好，那么我们说SARP被满足。SARP（一种更简单的表达）：如果是的显示偏好（直接或间接），且与不同，则不可能是的直接或间接显示偏好Slide267SARP如果消费者选择行为满足SARP，那么其行为等价于效用最大化行为。或可以从满足SARP的选择行为恢复消费者的偏好关系。简单地说，建立在SARP上的需求理论，基本上等价于建立在效用最大化基础上的需求理论。SARP是使我们观察到的选择同消费者选择的经济模型相容的充分必要条件。但不能据此声言构成的偏好实际上产生了观察到的选择。如一切科学判断一样，我们只能证明观察到的行为同判断并非不相容。只在我们穷极一切可能使观察到的行为达到无限多的时候，上述观点才能成立。因此，我们不能证明经济模型是否正确，而只能决定模型的内涵，并判定观察到的选择是否同这些内涵相容。Slide268显示偏好的一般公理（GARP）如上所述，由于真实世界不存在无限多的可观察行为，因此更切实的工作是当可观察事物为有限时出现的问题。GARP——Afriat(1976)：当且仅当只存在一个局部非饱和的、连续的、递增的与凹的效用函数，那么，可观察的价格与数量资料的有限集合将满足GARP。GARP为在有限数据基础上恢复偏好关系提供了方法。其缺陷是非唯一性。Ch2消费者理论专题Lecture3不确定性Slide270prologue以上各章节的内容都是假设决策者在一个绝对确定的世界里行动的，他了解所有物品的价格，并知道任何可行的消费束可确定地获得。然而，在真实世界里经济个体并不总是会有这样的好运气，许多经济决策包含着或多或少的不确定性因素。在这种情况下，即使决策者可以知道不同结果的概率，决策的最终结果直至其发生前仍是不能了解的。因此，不确定性因素的引入是经济模型对真实世界的一大修正。Slide271内容偏好期望效用函数风险厌恶Slide2722.4.1偏好选择集选择对象：赌局（gamble、lottery）其结果不确定可描述性：结果集概率分布Slide2732.4.1偏好选择集简单赌局：每一个状态下都是确定的结果简单赌局集Slide2742.4.1偏好选择集复合赌局若干状态下的结果仍然是一个赌局Slide2752.4.1偏好赌局集偏好定义在赌局空间上的消费者偏好Slide276不确定下的选择公理公理1：完备性公理2：传递性Slide277不确定下的选择公理G1＋G2

结果集内所有结果可以根据偏好序进行完整的排序：公理3：连续性Slide278不确定下的选择公理公理3：连续性——是闭集Slide279不确定下的选择公理公理4:单调性含义：以较高概率获得最好结果的赌局将更受偏好。反例：死亡的刺激性微小的生命危险反而比绝对安全好，尽管百分之百死亡是绝对厌恶的。Slide280不确定下的选择公理公理5：替代性含义：如果决策者对两个赌局中任何给出的结果无差异，并且每个赌局的结果会以同样的概率出现，则这两个赌局无差异。如果那么就有Slide281复合赌局的有效概率例：设A={a1,a2}，复合赌局形式：（1）以概率α获得结果a1；（2）以概率（1-α

）获得彩票券，彩票券以概率β获得结果a1，以概率（1-β

）获得结果a2。实际上结果为a1的有效概率是多少？a1将以两种互相排斥的方式形成：作为复合赌局的直接结果出现或作为一张彩票券出现。因此结果为a1的有效概率为α+(1-α)

β；a2的有效概率为(1-α)(1-β)。人们在考虑所进行的赌局时只考虑有效概率，因此对复合赌局和由该复合赌局引致的简单赌局无差异。Slide282不确定下的选择公理简单赌局与复合赌局——复合赌局g的简化赌局形式Slide283不确定下的选择公理公理6：如果是g的简化赌局，那么一定有Slide2842.4.2冯·纽依曼－摩根斯坦恩效用效用函数如果偏好关系满足G1、G2、G3，那么存在效用函数：表示该偏好关系。Slide2852.4.2期望效用定理期望效用性质称效用函数具有期望效用性质，如果都有其中是g的简化赌局Slide2862.4.2期望效用定理冯·纽依曼－摩根斯坦恩效用函数如果效用函数具有期望效用性质，那么称其为VNM效用函数Slide287定理2.7VNM效用函数存在性在上的偏好关系，如果满足公理G1－G6，那么就存在具有期望效用性质的效用函数表示该偏好。Slide288证明单调性假设不唯一，设存在都满足（1）式，所以有连续性给定，使得唯一（1）任意，一定有，令单调性

(2)——与(2)式矛盾假设不成立Slide289证明连续性

使得单调性唯一假设不唯一，设存在都满足（1）式，所以有任意，一定有，令单调性

(2)——与(2)式矛盾假设不成立(1)Slide290证明定义：需要证明是能够表示偏好关系的效用函数具有期望效用性质其中满足Slide291证明：1、是表示偏好关系