人教版九年级数学上册专题01根与系数的四种考法(原卷版+解析)

专题01根与系数的四种考法【知识点精讲】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2类型一、整体代换求值例1．若是一元二次方程的两个实数根，则．例2．已知，是方程的两根，则．例3．已知是方程的两个实数根，则的值是．例4．已知方程的两根分别为，，则的值为．【变式训练1】已知关于x的方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围．(2)若两个实数根分别是，，且，求m的值．【变式训练2】已知，是方程的两个根，则代数的值为．类型二、降幂思想求值例．若，是方程的两根，则．【变式训练1】设方程的两个根是，则的取值是.【变式训练2】已知，是方程的两个实数根，则【变式训练3】设a、b是方程的两实数根，则．类型三、构造方程化简求值例．已知实数、满足，，则．【变式训练1】非零实数m，满足，，则．【变式训练2】若实数a、b满足，，则的值是．类型四、求参数值（易错点）例．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数．【变式训练1】已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是．【变式训练2】若，是方程的两个根，且，则m的值为．【变式训练3】关于的一元二次方程的两个实数根是，，满足，则的取值范围是．课后训练1．关于x的一元二次方程两个实数根的倒数和为1，则（

）A．或0 B．2或0 C．2 D．02．若，是一元二次方程的两个根，则．3．已知a，b是方程的两个根，则的值．4．已知方程的两根分别为，则的值为．5．已知方程的两根是，则=.6．已知关于的二次方程的两个实根为和，且，则的值为．7．已知是方程的两根，则=．8．如果一元二次方程的两个根为，，则．9．已知a、b为非零常数，，满足，则．

专题01根与系数的四种考法【知识点精讲】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2类型一、整体代换求值例1．若是一元二次方程的两个实数根，则．【答案】/【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得，，，然后代入求解即可．【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程的两个实数根，满足，．例2．已知，是方程的两根，则．【答案】【分析】利用根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式进行计算即可．【详解】解：根据题意得，，∴=．故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则有，．例3．已知是方程的两个实数根，则的值是．【答案】【分析】利用根与系数的关系求出，把代入方程得到关系式，变形后代入计算即可．【详解】解：∵是方程的两个实数根，∴，∴把代入方程得：，可得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，已知式子的值求代数式的值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．例4．已知方程的两根分别为，，则的值为．【答案】-1【分析】首先得到代数式x1x2=1，x12−2021x1=-1，然后整体代入求值．【详解】解：∵x2−2021x+1=0的两根分别为x1，x2，∴有x1x2=1，x12−2021x1=-1，∴原式=，故答案为-1．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及方程解得定义，整体思想的应用是解决问题的关键．【变式训练1】已知关于x的方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围．(2)若两个实数根分别是，，且，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可得，继而求得实数的取值范围；（2）由方程的两个实数根为、，且，可得方程，解关于的方程求得答案．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．，即；（2）解：由根与系数的关系可知：，，，，解得或，而，的值为．【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意方程有两个不相等的实数根，若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，．【变式训练2】已知，是方程的两个根，则代数的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得，再代入降次求值即可．【详解】解：由题意，得，，，原式，，，=．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．类型二、降幂思想求值例．若，是方程的两根，则．【答案】【分析】根据一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数关系可得，，则，，代入代数式即可求解．【详解】解：∵，是方程的两根，∴，，∴，，即，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式训练1】设方程的两个根是，则的取值是.【答案】-42【分析】根据一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系得到x12=1-x1，x22=1-x2，x1+x2=-1，再化简求得x15=5x1-3，x23=2x2-1，再整体代入即可求解．【详解】解：∵方程x2=-x+1的两个根是x1，x2，∴x12=1-x1，x22=1-x2，x1+x2=-1，∴x15=(x12)2・x1=(1-x1)2・x1=(1-2x1+x12)・x1=(1-2x1+1-x1)・x1=(2-3x1)・x1=2x1-3x12=2x1-3(1-x1)=5x1-3，x23=x22・x2=(1-x2)・x2=x2-x22=x2-(1-x2)=2x2-1，∴原式=4(5x1-3)+10(2x2-1)=20(x1+x2)-22=20(-1)-22=-42．故答案为：-42．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．【变式训练2】已知，是方程的两个实数根，则【答案】【分析】，是方程的两个实数根，可得再把降次化为，从而可得答案.【详解】解：，是方程的两个实数根，故答案为：【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的含义，掌握“利用一元二次方程的解把代数式进行降次”是解题的关键.【变式训练3】设a、b是方程的两实数根，则．【答案】2022【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得，从而可得，，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，从而可得，然后代入计算即可得．【详解】解：是的两实数根，，，，，，则，故答案为：2022．【点睛】本题考查了一元二次方程的根、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．类型三、构造方程化简求值例．已知实数、满足，，则．【答案】或【分析】实数、满足等式，，①当时，，可能是方程的同一个根，两数相等；②当a≠b时，由根与系数的关系，得，，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，即可求得代数式的值．【详解】解：①当时，原式．②当时，可以把，看作是方程的两个根．由根与系数的关系，得，．∴．故本题答案为：或．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的应用以及分类讨论思想的运用．此题综合性较强，特别注意不要漏掉“”的情况．【变式训练1】非零实数m，满足，，则．【答案】/【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．【详解】解：∵实数，满足等式，，∴m，n是方程的两实数根，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键．【变式训练2】若实数a、b满足，，则的值是．【答案】【分析】由题意可知，分别是方程的两个实数根，可得．，据此即可求解．【详解】解：，，，，，分别是方程的两个实数根，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．类型四、求参数值（易错点）例．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数．【答案】3【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得，∵，，∴，解得（不合题意，舍去），∴故答案为：3【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．【变式训练1】已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是．【答案】【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【详解】解：由题意得：，所以，依题意得：，解得4＜m≤5．故答案是：4＜m≤5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．【变式训练2】若，是方程的两个根，且，则m的值为．【答案】3【分析】根据根与系数的关系结合，可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而即可确定m的值，此题得解．【详解】解：∵，是方程的两个根，∴，，∵，∴，∴，，∵方程有两个实数根，∴，解得：，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合，列出关于m的一元二次方程是解题的关键．【变式训练3】关于的一元二次方程的两个实数根是，，满足，则的取值范围是．【答案】【分析】根据题意可得出，，整体代入，即可求出．再根据一元二次方程有两个实数根时，其根的判别式，可求出，最后取其公共解即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根是，，∴，，∴，∴．∵，∴，解得：．∵该方程有两个实数根，∴，解得：，∴．故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的解的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．课后训练1．关于x的一元二次方程两个实数根的倒数和为1，则（

）A．或0 B．2或0 C．2 D．0【答案】C【分析】先利用根与系数的关系得到，再建立关于m的方程，解方程后代入检验即可．【详解】解：设该方程的两个实数根分别为a和b，∴，∵，∴，∴，检验：均为该方程的解；∵，∴不成立，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，涉及到了根与系数的关系和解分式方程，解题关键是要记得检验．2．若，是一元二次方程的两个根，则．【答案】【分析】利用根与系数的关系可求得和的值，代入求值即可．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．3．已知a，b是方程的两个根，则的值．【答案】【分析】由根与系数关系知，，即知a＜0，b＜0，化简原式，所以原式故答案为：﹣14．【详解】解：∵a，b是方程的两个根，∴，，∴a＜0，b＜0，∴∴原式故答案为：﹣14．【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．4．已知方程的两根分别为，则的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，进而可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，再将原式变形为，即可求解．【详解】解：方程的两根分别为，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的根的定义以及根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，那么，．5．已知方程的两根是，则=.【答案】【分析】先利用根根与系数的关系得，，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据根与系数的关系得，，所以．故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．6．已知关于的二次方程的两个实根为和，且，则的值为．【答案】【分析】利用一元二次方程根