八年级数学下册专题09二元一次方程组全章必考压轴题(十大类型)(原卷版+解析)

专题09二元一次方程组全章必考压轴题（十大类型）类型一：由方程组的错解问题求参数的值类型二：根据方程组解的个数求参数或参数的取值范围类型三：构造二元一次方程组求解类型四：整体思想解二元一次方程组

类型五：二元一次方程组之行程问题

类型六：二元一次方程组之工程问题类型七：二元一次方程组之商品经济问题类型八：二元一次方程组之调配与配套问题类型九：二元一次方程组之图形与表格问题类型十：二元一次方程组之优化方案问题类型一：由方程组的错解问题求参数的值1．（2023春•沈丘县期末）甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求5a﹣2b的值．2．（2023春•灌云县期末）甲、乙两位同学在解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①，解得；乙看错了②，解得，求a、b的值．3．（2023春•富县期末）已知关于x，y的方程组，小明在解方程组时看错a，解得，小红在解方程组时看错b，解得．（1）求a，b的值．（2）求原方程组正确的解．类型二：根据方程组解的个数求参数或参数的取值范围4．（2023秋•惠来县期末）如果是关于x和y的二元一次方程x﹣my＝1的解，那么m的值是（）A．1 B．﹣2 C．2 D．35．（2024春•余杭区月考）若关于x，y的方程组有正整数解，则正整数a为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023秋•榕城区期末）已知关于x、y的方程组与有相同的解，则a和b的值为（）A． B． C． D．类型三：构造二元一次方程组求解7．（2024春•通州区期中）已知关于x，y的二元一次方程y＝kx+b的解为和．（1）求k，b的值；（2）当x＝5时，求y的值．8．（2023春•耿马县期中）已知和都是关于x、y的二元一次方程y＝x+b的解．（1）求m+2n的值；（2）若m﹣2n＝b2+2b﹣7，求b的值．9．（2023春•卫辉市期中）已知与都是方程ax﹣y+b＝0的解．（1）求a、b的值；（2）若y的值不小于0，求x的取值范围．10．（2023秋•历下区期中）和都是方程ax﹣y＝b的解，求a与b的值．11．（2023春•荔城区校级期中）若方程5x2m+3n+20+4ym+5n＝9是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．类型四：整体思想解二元一次方程组12．（2024春•南安市期中）若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2024，则k等于（）A．2026 B．2025 C．2023 D．202213．（2024春•越秀区校级月考）已知关于x、y的方程组的解满足x﹣y＝1，则n＝（）A． B． C． D．14．（2024•凉州区二模）已知关于x，y的方程组的解是．则关于x，y的方程组的解是（）A． B． C． D．15．（2023春•海阳市期中）小明对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出了这样的想法：这两个方程组之间存在一定的联系，可以尝试用“整体替换”的方法进行求解．按照小明的想法，可以求出方程组的解为．16．（2023秋•凤翔区期末）先阅读材料，然后解方程组：材料：解方程组在本题中，先将x+y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2．把y＝2代入①得x＝2，所以这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组．17．（2023秋•西安期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时．采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③．把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1，所以y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为．请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2的值．18．（2022春•德宏州期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．请根据上述思想解决下列问题：（1）已知二元一次方程组，求5x+y和x+3y的值；（2）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知2*3＝15，3*5＝28，求a+b+c的值．类型五：二元一次方程组之行程问题19．（2023•永康市一模）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为里/小时．20．（2023春•石狮市校级月考）甲、乙两人匀速骑车分别从相距60km的A，B两地同时出发，若两人相向而行，则两人在出发2h后相遇；若两人同向而行，则甲在出发6h后追上乙．若设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，则得方程组为．21．（2023秋•法库县期末）甲、乙两人从相距36km的两地相向而行，如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇，甲、乙两人的速度分别是多少？22．（2023春•南沙区期末）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家已测得一定温度下声音传播的速度如下表．如果用v表示声音在空气中的传播速度，t表示温度，则v，t满足公式：v＝at+b（a，b为已知数）．温度（℃）﹣20﹣1001020声音传播速度（米/秒）324330336342348（1）求a，b的值；（2）若温度是80℃时，求声音在空气中的传播速度．23．（2023春•江油市期末）小甬和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小甬，并且比小甬多跑了20圈，求：（1）哥哥速度是小甬速度的多少倍？（2）哥哥经过25分钟追上小甬时，小甬跑了多少圈？类型六：二元一次方程组之工程问题24．（2023春•七星区校级期中）一个有25%的余水量的圆柱形蓄水池有5个进出水口，每个进出水口匀速进水或出水；每天早晨6点，水池开始进水或出水，如果开放2个进水口和3个出水口，8小时将水池注满，如果开放3个进水口和2个出水口，2小时将水池注满．随着天气转冷，居民的用水量减少，每天早晨6点时，水池的余水量达到了40%，若只开2个进水口和1个出水口，那么从早晨6点开始经过小时将水池注满．25．（2022•越秀区校级开学）画展8时开门，但早有人来等候．从第一个观众来到时起，每分钟来的观众数一样多．如果开3个入场口，8时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，8时5分就不再有人排队．那么，第一个观众到时是几时几分？26．（2022秋•西丰县期末）甲、乙两工程队共同承包了一段长4600米的排污管道铺设工程，计划由两工程队分别从两端相向施工．已知甲队平均每天可完成230米，乙队平均每天比甲队多完成115米．（1）若甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要几天？（2）若甲乙两队共同施工5天后，甲队被调离去支援其他工程，剩余的部分由乙队单独完成，则乙队需再施工多少天才能完成任务？类型七：二元一次方程组之商品经济问题27．（2024春•长沙期中）长郡开福中学在今年3月29日组织了一场有声有色的“爱心义卖”活动．在这次活动中，学生会组织的“衫衫来了，爱心义卖”成为活动焦点．活动前一个月左右学生会购进黑白两种纯色文化衫共200件，组织学校美术爱好者进行DIY手绘设计，计划设计好后全部在义卖活动中售出（颜料由学校提供，不计入成本），预计获利3360元．已知每种文化衫的成本和售价如表：白色文化衫黑色文化衫成本（元/件）1012售价（元/件）2630（1）他们购进两种文化衫各多少件？（2）由于活动时间有限，白色文化衫按原价售出后，剩余的七五折销售，黑色文化衫原价售出55件后，剩余的八折销售，最后全部卖完．他们将实际获利全部捐赠，求他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款多少元？28．（2024春•镇海区校级期中）体育无处不在，运动无限精彩．随着天气转暖，户外活动人数逐渐增多．某体育用品店为了吸引顾客，准备在五一假期搞促销活动，对部分品牌篮球进行打折销售，其中甲品牌篮球打九折，乙品牌篮球打八折．已知打折前，买1个甲品牌篮球和1个乙品牌篮球共需180元；打折后，买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共需398元．（1）打折前甲、乙两种品牌篮球每个分别为多少元？（2）某校需购买甲品牌篮球10个，乙品牌篮球6个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？类型八：二元一次方程组之调配与配套问题29．（2023春•衡阳期中）某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应怎样分配工人，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？30．（2023春•二道区校级期中）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是230cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）（1）写出图甲中m与n的值，m＝，n＝．（2）在试生产阶段，若将a张标准板材用裁法一裁剪，b张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式（长大于宽）无盖礼品盒．①两种裁法共产生A型板材张，B型板材张（用含有a、b的代数式表示）②当10＜b＜20时，所截得的A型板材和B型板材恰好配套用完，做成的横式无盖礼品盒可能是个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）31．（2022秋•皇姑区校级期末）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若只单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位．（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（用二元一次方程组解答）（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则36座客车需要辆，22座客车需要辆．32．（2023秋•兴庆区校级期末）在2022年冬奥会的开幕式上，某武校的健儿们参演的《立春》节目让全世界人民惊艳和动容．经调查发现：原计划调配若干辆客车接送健儿们，每辆车满载坐55人，则有8人没有座位；若更换车型，每辆车满载坐44人，则用车数量将比原计划增加两辆，且最后一辆车空出3个座位，求一共参演的健儿们有多少名？原计划调配多少辆车？类型九：二元一次方程组之图形与表格问题33．（2023秋•东莞市期末）如图，由七个完全一样的小长方形组成的大长方形ABCD，CD＝7，求长方形ABCD的周长．34．（2022秋•仁寿县期末）已知一个长方形草坪，若它的长增加4米，宽减少1米，则面积保持不变；若它的长减少2米，宽增加1米，则面积仍保持不变．（1）求：长方形草坪的长和宽；（2）如图，在长方形草坪内部修两条互相垂直，宽为1米的小路，求原长方形草坪剩余部分的面积．35．（2023春•邗江区期末）现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．（1）如图1，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长．（2）如图2，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为x和y．①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求x和y满足的关系式（不含a，b）．36．（2024春•鄞州区期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：牛奶（箱）咖啡（箱）金额（元）方案一20101100方案二3015采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是元；（2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有箱．（直接写出答案）37．（2023春•隆回县期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费＝自来水销售费用+污水处理费用）自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨及以下a0.80超过17吨不超过30吨的部分b0.80超过30吨的部分6.000.80已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．（1）求a，b的值．（2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？38．（2023春•江北区校级期末）疫情期间，小李家购买防护用品的收据如表，有部分数据因污染无法识别，根据表格，解决下列问题：商品名单价（元）数量（件）金额（元）温度计1901190消毒水2100酒精喷剂30消毒纸巾205医用口罩50合计14650（1）小李家此次购买的酒精喷剂和医用口罩各多少件？（2）随着疫情的发展，小李家准备用260元购买消毒纸巾和医用口罩，在260元刚好用完的条件下，有哪些购买方案？类型十：二元一次方程组之优化方案问题39．（2024春•福清市期中）福清某中学准备组织七年级师生共700人去福州鼓山春游．据了解：客运公司有49座和35座两种型号的客车可供租用，49座客车每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元．（1）求49座和35座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（2）若该中学到客运公司租车一天，如何设计租车方案才能保证每辆车均满载且租金最省？40．（2024•渠县校级模拟）某大型物流公司急需将170吨物资运送到甲、乙两地，现有A、B两种车型可供选择，每辆车的运载能力和运费表示如下：（假设每辆车均达到最大满载量）车型AB汽车运载量（吨/辆）58汽车运费（元/辆）600800（1）若要将全部物资用A、B两种车型来运送，运费恰好是18000元，问需A、B两种车型各几辆？（2）因特殊情况安排，部分司机参与其他活动，该物流公司经理调拨一种载重量为10吨的C种车型加入运送，恰好一次性全部运送完成，已知车辆总数为22辆（三种车辆都有），试通过计算判断有几种运送方案．41．（2023秋•苍梧县期末）北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天载人飞船模型和3件B种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件A种航天载人飞船模型和2件B种航天载人飞船模型的进价共计105元．（1）求A，B两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？（2）若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．42．（2024•沈阳模拟）因强降雨天气，有500名群众被困，某救援队前往救援，已知3艘小型船和2艘大型船一次可救援125名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众．（1）每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众？（2）设计一种方案，使得安排m艘小型船和n（n＜6）艘大型船，恰好一次救援完，且每艘船都坐满．（写出一种方案即可）43．（2023秋•焦作期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？44．（2023春•鲤城区校级期中）某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲、乙两种货车运货情况如表：第一次第二次甲种货车（辆）25乙种货车（辆）36累计运货（吨）1328（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？（2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，请你写出所有租车方案（3）王先生要租用该公司的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费时甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？专题09二元一次方程组全章必考压轴题（十大类型）类型一：由方程组的错解问题求参数的值类型二：根据方程组解的个数求参数或参数的取值范围类型三：构造二元一次方程组求解类型四：整体思想解二元一次方程组

类型五：二元一次方程组之行程问题

类型六：二元一次方程组之工程问题类型七：二元一次方程组之商品经济问题类型八：二元一次方程组之调配与配套问题类型九：二元一次方程组之图形与表格问题类型十：二元一次方程组之优化方案问题类型一：由方程组的错解问题求参数的值1．（2023春•沈丘县期末）甲和乙两人同解方程组甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求5a﹣2b的值．【答案】1．【解答】解：由题意，是bx+y＝12的解得5b+2＝12，解得b＝2．又是x+ay＝5的解得3+2a＝5，解得a＝1，∴5a﹣2b＝5×1﹣2×2＝1．2．（2023春•灌云县期末）甲、乙两位同学在解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①，解得；乙看错了②，解得，求a、b的值．【答案】．【解答】解：把代入方程②得a﹣b＝7③．把代入方程①得﹣4a﹣3b＝﹣2④，联立方程③④可得方程组，解得：．3．（2023春•富县期末）已知关于x，y的方程组，小明在解方程组时看错a，解得，小红在解方程组时看错b，解得．（1）求a，b的值．（2）求原方程组正确的解．【答案】（1）a＝4，b＝2；（2）．【解答】解：（1）∵小明在解方程组时看错a，∴满足5x+by＝4，将代入5x+by＝4中，得﹣10+7b＝4，∴b＝2，同理满足ax﹣3y＝17，把代入ax﹣3y＝17中，得5a﹣3＝17，∴a＝4，答：a＝4，b＝2；（2）当a＝4，b＝2时，原方程组可变为，①×2+②×3得，23x＝46，解得x＝2，把x＝2代入②得，10+2y＝4，解得y＝﹣3，∴方程组正确的解为．类型二：根据方程组解的个数求参数或参数的取值范围4．（2023秋•惠来县期末）如果是关于x和y的二元一次方程x﹣my＝1的解，那么m的值是（）A．1 B．﹣2 C．2 D．3【答案】C【解答】解：∵是关于x和y的二元一次方程x﹣my＝1的解，∴3﹣m＝1．∴m＝2．故选：C．5．（2024春•余杭区月考）若关于x，y的方程组有正整数解，则正整数a为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：∵x+y＝1，∴x＝y＝1，代入ax﹣y＝3中，a﹣1＝3，a＝4，故选：D．6．（2023秋•榕城区期末）已知关于x、y的方程组与有相同的解，则a和b的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：解方程组得，把代入得，解得．故选：C．类型三：构造二元一次方程组求解7．（2024春•通州区期中）已知关于x，y的二元一次方程y＝kx+b的解为和．（1）求k，b的值；（2）当x＝5时，求y的值．【答案】（1）；（2）7．【解答】解：（1）由题意，得，解得；（2）把代入y＝kx+b，得y＝2x﹣3．当x＝5时，y＝2×5﹣3＝10﹣3＝7．8．（2023春•耿马县期中）已知和都是关于x、y的二元一次方程y＝x+b的解．（1）求m+2n的值；（2）若m﹣2n＝b2+2b﹣7，求b的值．【答案】（1）m+2n＝6；（2）．【解答】解：（1）由条件可得：①﹣②得：m﹣4＝2﹣2n，整理得：m+2n＝6；（2）由（1）可得，，则m﹣2n＝2b﹣2，则m﹣2n＝b2+2b﹣7＝2b﹣2，整理得b2＝5，解得，∴b的值为．9．（2023春•卫辉市期中）已知与都是方程ax﹣y+b＝0的解．（1）求a、b的值；（2）若y的值不小于0，求x的取值范围．【答案】（1）﹣2，4；（2）x≤2【解答】解：（1）根据题意得：，解得：．（2）由（1）得方程为﹣2x﹣y+4＝0，∴y＝﹣2x+4，∵y≥0，∴﹣2x+4≥0，解得x≤210．（2023秋•历下区期中）和都是方程ax﹣y＝b的解，求a与b的值．【答案】a＝1，b＝﹣3．【解答】解：∵和都是方程ax﹣y＝b的解，∴，解得：a＝1，b＝﹣3．11．（2023春•荔城区校级期中）若方程5x2m+3n+20+4ym+5n＝9是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．【答案】．【解答】解：由题意得，，解得．类型四：整体思想解二元一次方程组12．（2024春•南安市期中）若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2024，则k等于（）A．2026 B．2025 C．2023 D．2022【答案】A【解答】解：，①+②，得7x+7y＝7k﹣14，解得x+y＝k﹣2，∵x+y＝2024，∴k﹣2＝2024，解得k＝2026，故选：A．13．（2024春•越秀区校级月考）已知关于x、y的方程组的解满足x﹣y＝1，则n＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵x﹣y＝1，∴x＝y+1，∴原方程组化为：，解得：；故选：C．14．（2024•凉州区二模）已知关于x，y的方程组的解是．则关于x，y的方程组的解是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：可化为：，∵关于x，y的方程组的解是，∴的解为：；解得：．故选：D．15．（2023春•海阳市期中）小明对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出了这样的想法：这两个方程组之间存在一定的联系，可以尝试用“整体替换”的方法进行求解．按照小明的想法，可以求出方程组的解为．【答案】．【解答】解：令x+2＝a，y﹣1＝b，则：转化为：，∵方程组的解是，∴，∴；故答案为：．16．（2023秋•凤翔区期末）先阅读材料，然后解方程组：材料：解方程组在本题中，先将x+y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2．把y＝2代入①得x＝2，所以这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组．【答案】见试题解答内容【解答】解：由①得：x﹣y＝1③，把③代入②得：4﹣y＝5，即y＝﹣1，把y＝﹣1代入③得：x＝0，则方程组的解为．17．（2023秋•西安期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时．采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③．把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1，所以y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为．请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2的值．【答案】（1）；（2）x2+4y2＝17．【解答】解：（1）将方程②变形：3x+6x﹣4y＝19即3x+2（3x﹣2y）＝19③，把方程①代入③得：3x+10＝19，∴x＝3，把x＝3代入①得y＝2，∴方程组的解为；（2）①+2×②得到，7x2+28y2＝119，∴x2+4y2＝17．18．（2022春•德宏州期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．请根据上述思想解决下列问题：（1）已知二元一次方程组，求5x+y和x+3y的值；（2）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知2*3＝15，3*5＝28，求a+b+c的值．【答案】（1）11；5；（2）2．【解答】解：（1），①+②可得：5x+y＝11，①﹣②可得：x+3y＝5；（2）由题意可得：，①×2﹣②可得：a+b+c＝2．类型五：二元一次方程组之行程问题19．（2023•永康市一模）《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为60里/小时．【答案】见试题解答内容【解答】解：戴宗顺风行走的速度为：180÷2＝90（里/小时），戴宗逆风行走的速度为：180÷6＝30（里/小时），设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，由题意得：，解得：，∴设戴宗的速度为60里/小时，答：戴宗的速度为60里/小时．故答案为：60．20．（2023春•石狮市校级月考）甲、乙两人匀速骑车分别从相距60km的A，B两地同时出发，若两人相向而行，则两人在出发2h后相遇；若两人同向而行，则甲在出发6h后追上乙．若设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，则得方程组为．【答案】．【解答】解：由题意得：，故答案为：．21．（2023秋•法库县期末）甲、乙两人从相距36km的两地相向而行，如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇，甲、乙两人的速度分别是多少？【答案】甲的速度为6km/h，乙的速度为3.6km/h．【解答】解：设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，依题意得：，解得：．答：甲的速度为6km/h，乙的速度为3.6km/h．22．（2023春•南沙区期末）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家已测得一定温度下声音传播的速度如下表．如果用v表示声音在空气中的传播速度，t表示温度，则v，t满足公式：v＝at+b（a，b为已知数）．温度（℃）﹣20﹣1001020声音传播速度（米/秒）324330336342348（1）求a，b的值；（2）若温度是80℃时，求声音在空气中的传播速度．【答案】（1）a＝0.6，b＝336；（2）384米/秒．【解答】解：（1）由题意得，t＝﹣10时v＝330；若t＝0时v＝336，即：，解得，（2）∵，∴v＝0.6t+336，当t＝80时，v＝0.6×80+336＝384，答：温度是80℃时，声音在空气中的传播速度是384米/秒．23．（2023春•江油市期末）小甬和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小甬，并且比小甬多跑了20圈，求：（1）哥哥速度是小甬速度的多少倍？（2）哥哥经过25分钟追上小甬时，小甬跑了多少圈？【答案】（1）2倍；（2）20圈．【解答】解：（1）设哥哥的速度为x米/秒，小甬的度数为y米/秒，环形跑道的周长为s米，依题意得：，∴x＝2y．答：哥哥速度是小甬速度的2倍．（2）设哥哥经过25分钟追上小甬时，小甬跑了m圈，则哥哥跑了2m圈，依题意得：2m﹣m＝20，解得：m＝20．答：哥哥经过25分钟追上小甬时，小甬跑了20圈．

类型六：二元一次方程组之工程问题24．（2023春•七星区校级期中）一个有25%的余水量的圆柱形蓄水池有5个进出水口，每个进出水口匀速进水或出水；每天早晨6点，水池开始进水或出水，如果开放2个进水口和3个出水口，8小时将水池注满，如果开放3个进水口和2个出水口，2小时将水池注满．随着天气转冷，居民的用水量减少，每天早晨6点时，水池的余水量达到了40%，若只开2个进水口和1个出水口，那么从早晨6点开始经过小时将水池注满．【答案】．【解答】解：设：进水口每小时进水量为x，出水口每小时出水量为y，总水量为s，，解得，设：注满水需要t小时，则（2x﹣y）t＝（1﹣40%）s，解得，∴经过小时将水池注满．故答案为：．25．（2022•越秀区校级开学）画展8时开门，但早有人来等候．从第一个观众来到时起，每分钟来的观众数一样多．如果开3个入场口，8时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，8时5分就不再有人排队．那么，第一个观众到时是几时几分？【答案】第一个观众到时是7时15分．【解答】解：设每个入场口每分钟可进人数为1，来人的速度为（3×9﹣5×5）÷（9﹣5）＝（27﹣25）÷4＝2÷4＝，开门之前到的人数为3×9﹣9×＝27﹣＝，第一个观众来的时间距开门时间为÷＝45（分），8时﹣45分＝7时15分．答：第一个观众到时是7时15分．26．（2022秋•西丰县期末）甲、乙两工程队共同承包了一段长4600米的排污管道铺设工程，计划由两工程队分别从两端相向施工．已知甲队平均每天可完成230米，乙队平均每天比甲队多完成115米．（1）若甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要几天？（2）若甲乙两队共同施工5天后，甲队被调离去支援其他工程，剩余的部分由乙队单独完成，则乙队需再施工多少天才能完成任务？【答案】（1）甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要8天；（2）乙队需再施工5天才能完成任务．【解答】解：（1）设甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要x天根据题意得（230+230+115）x＝4600，解得x＝8，答：甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要8天；（2）设乙队需再施工y天才能完成任务根据题意得5（230+230+115）+（230+115）y＝4600，解得y＝5，答：乙队需再施工5天才能完成任务．类型七：二元一次方程组之商品经济问题27．（2024春•长沙期中）长郡开福中学在今年3月29日组织了一场有声有色的“爱心义卖”活动．在这次活动中，学生会组织的“衫衫来了，爱心义卖”成为活动焦点．活动前一个月左右学生会购进黑白两种纯色文化衫共200件，组织学校美术爱好者进行DIY手绘设计，计划设计好后全部在义卖活动中售出（颜料由学校提供，不计入成本），预计获利3360元．已知每种文化衫的成本和售价如表：白色文化衫黑色文化衫成本（元/件）1012售价（元/件）2630（1）他们购进两种文化衫各多少件？（2）由于活动时间有限，白色文化衫按原价售出后，剩余的七五折销售，黑色文化衫原价售出55件后，剩余的八折销售，最后全部卖完．他们将实际获利全部捐赠，求他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款多少元？【答案】（1）购进白色文化衫120件，黑色文化衫80件；（2）他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款2950元．【解答】解：（1）设购进白色文化衫x件，黑色文化衫y件，依题意得：，解得：，答：购进白色文化衫120件，黑色文化衫80件；（2）120××（26﹣10）+120×（26×0.75﹣10）+55×（30﹣12）+（80﹣55）×（30×0.8﹣12）＝1280+380+990+300＝2950（元），答：他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款2950元．28．（2024春•镇海区校级期中）体育无处不在，运动无限精彩．随着天气转暖，户外活动人数逐渐增多．某体育用品店为了吸引顾客，准备在五一假期搞促销活动，对部分品牌篮球进行打折销售，其中甲品牌篮球打九折，乙品牌篮球打八折．已知打折前，买1个甲品牌篮球和1个乙品牌篮球共需180元；打折后，买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共需398元．（1）打折前甲、乙两种品牌篮球每个分别为多少元？（2）某校需购买甲品牌篮球10个，乙品牌篮球6个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？【答案】（1）打折前甲种品牌篮球每个为100元，乙种品牌篮球每个为80元；（2）打折后购买比不打折购买节省了196元钱．【解答】解：（1）设打折前甲种品牌篮球每个为x元，乙种品牌篮球每个为y元，由题意得：，解得：，答：打折前甲种品牌篮球每个为100元，乙种品牌篮球每个为80元；（2）10×100×（1﹣90%）+6×80×（1﹣80%）＝196（元）．答：打折后购买比不打折购买节省了196元钱．类型八：二元一次方程组之调配与配套问题29．（2023春•衡阳期中）某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应怎样分配工人，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？【答案】见试题解答内容【解答】解：设应分配x人生产螺栓，y人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套，根据题意，得，解得，答：应分配24个人生产螺栓，32个人生产螺母．30．（2023春•二道区校级期中）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是230cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）（1）写出图甲中m与n的值，m＝60，n＝40．（2）在试生产阶段，若将a张标准板材用裁法一裁剪，b张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式（长大于宽）无盖礼品盒．①两种裁法共产生A型板材3a+2b张，B型板材a+2b张（用含有a、b的代数式表示）②当10＜b＜20时，所截得的A型板材和B型板材恰好配套用完，做成的横式无盖礼品盒可能是16或20或24个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）【答案】（1）m＝60，n＝40；（2）①3a+2b，a+2b；②16或20或24．【解答】解：（1）由题意得：，解得；（2）①由图示裁法一产生A型板材为：3×a＝3a，裁法二产生A型板材为：2×b＝2b，所以两种裁法共产生A型板材为（3a+2b）张，由图示裁法一产生B型板材为：1×a＝a，裁法二产生A型板材为：2×b＝2b，所以两种裁法共产生B型板材为（a+2b）张；②当10＜b＜20时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是28或32或36．∵所裁得的板材恰好用完，∴＝，化简得3a＝2b．∵a，b皆为整数，∴b＝a，又∵10＜b＜20，则＜a＜，∴a可取8，10，12．此时，b分别为12，15，18，可做成的礼品盒个数分别为16，20，24．故答案为：2m+n；m+2n；16或20或24．31．（2022秋•皇姑区校级期末）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若只单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位．（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（用二元一次方程组解答）（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则36座客车需要4辆，22座客车需要5辆．【答案】（1）计划调配36座新能源客车7辆，该大学共有254名志愿者；（2）需调配36座客车4辆，22座客车5辆．【解答】解：（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，依题意，得：，解得：．答：计划调配36座新能源客车7辆，该大学共有254名志愿者．（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，依题意，得：36m+22n＝254，∴n＝．又∵m，n均为正整数，∴．需调配36座客车4辆，22座客车5辆．故答案为：4，5．32．（2023秋•兴庆区校级期末）在2022年冬奥会的开幕式上，某武校的健儿们参演的《立春》节目让全世界人民惊艳和动容．经调查发现：原计划调配若干辆客车接送健儿们，每辆车满载坐55人，则有8人没有座位；若更换车型，每辆车满载坐44人，则用车数量将比原计划增加两辆，且最后一辆车空出3个座位，求一共参演的健儿们有多少名？原计划调配多少辆车？【答案】一共参演的健儿们有393名，原计划调配7辆车．【解答】解：设原计划调配x辆车，一共参演的健儿们有y名，依题意得：，解得：，答：一共参演的健儿们有393名，原计划调配7辆车．类型九：二元一次方程组之图形与表格问题33．（2023秋•东莞市期末）如图，由七个完全一样的小长方形组成的大长方形ABCD，CD＝7，求长方形ABCD的周长．【答案】34．【解答】解：设小长方形长为x，宽为y，根据题意有，，解得，∴BC＝2y＝2×5＝10，AB＝7，∴长方形ABCD的周长＝2×（AB+BC）＝2×（10+7）＝34，∴长方形ABCD的周长为34．34．（2022秋•仁寿县期末）已知一个长方形草坪，若它的长增加4米，宽减少1米，则面积保持不变；若它的长减少2米，宽增加1米，则面积仍保持不变．（1）求：长方形草坪的长和宽；（2）如图，在长方形草坪内部修两条互相垂直，宽为1米的小路，求原长方形草坪剩余部分的面积．【答案】（1）长方形草坪的长为8米，宽为3米；（2）原长方形草坪剩余部分的面积为14平方米．【解答】解：（1）设长方形草坪的长和宽分别为x，y米，根据题意，得，即，解得：，答：长方形草坪的长为8米，宽为3米；（2）依题意，（8﹣1）×（3﹣1）＝14平方米，答：原长方形草坪剩余部分的面积为14平方米．35．（2023春•邗江区期末）现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．（1）如图1，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长．（2）如图2，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为x和y．①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求x和y满足的关系式（不含a，b）．【答案】（1）10，25；（2）①；②x2﹣xy+y2＝0．【解答】解：（1）依题意有：，解得．故小长方形的相邻两边长是10，25；（2）①∵1个小长方形的周长为2（x+y），1个大长方形的周长为2（2x+y+x+2y）＝6（x+y），∴2（x+y）：6（x+y）＝．故1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值；②依题意有：（2x+y）（x+2y）＝2×3xy，化简得x2﹣xy+y2＝0．故x和y满足的关系式为x2﹣xy+y2＝0．36．（2024春•鄞州区期中）某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：牛奶（箱）咖啡（箱）金额（元）方案一20101100方案二3015（1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是1650元；（2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有6箱．（直接写出答案）【答案】（1）1650；（2）①牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；②6．【解答】解：（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，由题意得：20x+10y＝1100，∴30x+15y＝1.5（20x+10y）＝1.5×1100＝1650（元），故答案为：1650；（2）①设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，由题意得：，解得：，答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；②设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为a，打折牛奶价格为：30×0.6＝18（元），打折咖啡价格为：50×0.6＝30（元），即打折咖啡价格与牛奶原价相同，设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有（a﹣b）箱，由题意得：18×a+30×（a﹣b）+50b＝1200，整理得：27a+20b＝1200，∵a、b均为正整数，∴，或，∵a＞b，∴a＝40，b＝6，即此次按原价采购的咖啡有6箱，故答案为：6．37．（2023春•隆回县期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费＝自来水销售费用+污水处理费用）自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨及以下a0.80超过17吨不超过30吨的部分b0.80超过30吨的部分6.000.80已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．（1）求a，b的值．（2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意可得，，解得，，即a的值是2.2，b的值是4.2；（2）设小王家6月份用水x吨，根据题意知，30吨的水费为：17×2.2+13×4.2+30×0.8＝116，∵184＞116，∴小王家6月份计划用水超过了30吨∴6.0（x﹣30）+116+0.80×（x﹣30）＝184，解得，x＝40即小王家6月份用水量40吨．38．（2023春•江北区校级期末）疫情期间，小李家购买防护用品的收据如表，有部分数据因污染无法识别，根据表格，解决下列问题：商品名单价（元）数量（件）金额（元）温度计1901190消毒水2100酒精喷剂30消毒纸巾205医用口罩50合计14650（1）小李家此次购买的酒精喷剂和医用口罩各多少件？（2）随着疫情的发展，小李家准备用260元购买消毒纸巾和医用口罩，在260元刚好用完的条件下，有哪些购买方案？【答案】（1）小李家此次购买的酒精喷剂2件，医用口罩4件；（2）一共有2种方案：①购买消毒纸巾3件，医用口罩4件；②购买消毒纸巾8件，医用口罩2件．【解答】解：（1）小李家此次购买的酒精喷剂x件，医用口罩y件，根据表格可得：，解得，答：小李家此次购买的酒精喷剂2件，医用口罩4件；（2）设购买消毒纸巾a件，医用口罩b件，∴20a+50b＝260，整理得b＝，∵a，b都是非负整数，∴a＝3，b＝4或a＝8，b＝2或a＝13，b＝0，∴一共有2种方案：①购买消毒纸巾3件，医用口罩4件；②购买消毒纸巾8件，医用口罩2件．类型十：二元一次方程组之优化方案问题39．（2024春•福清市期中）福清某中学准备组织七年级师生共700人去福州鼓山春游．据了解：客运公司有49座和35座两种型号的客车可供租用，49座客车每辆每天的租金比35座的客车贵200元；4辆49座和2辆35座的客车一天的租金共计4400元．（1）求49座和35座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（2）若该中学到客运公司租车一天，如何设计租车方案才能保证每辆车均满载且租金最省？【答案】（1）49座的客车每辆每天的租金是800元，35座的客车每辆每天的租金是600元；（2）租金最少的租车方案为：租用10辆49座的客车，6辆35座的客车．【解答】解：（1）设49座的客车每辆每天的租金是x元，35座的客车每辆每天的租金是y元，根据题意得：，解得：．答：49座的客车每辆每天的租金是800元，35座的客车每辆每天的租金是600元；（2）设租用m辆49座的客车，n辆35座的客车，根据题意得：49m+35n＝700，∴n＝20﹣m．又∵m，n均为自然数，∴或或，∴共有3种租车方案，方案1：租用20辆35座的客车，所需租金为600×20＝12000（元）；方案2：租用5辆49座的客车，13辆35座的客车，所需租金为800×5+600×13＝11800（元）；方案3：租用10辆49座的客车，6辆35座的客车，所需租金为800×10+600×6＝11600（元）．∵12000＞11800＞11600，∴租金最少的租车方案为：租用10辆49座的客车，6辆35座的客车．40．（2024•渠县校级模拟）某大型物流公司急需将170吨物资运送到甲、乙两地，现有A、B两种车型可供选择，每辆车的运载能力和运费表示如下：（假设每辆车均达到最大满载量）车型AB汽车运载量（吨/辆）58汽车运费（元/辆）600800（1）若要将全部物资用A、B两种车型来运送，运费恰好是18000元，问需A、B两种车型各几辆？（2）因特殊情况安排，部分司机参与其他活动，该物流公司经理调拨一种载重量为10吨的C种车型加入运送，恰好一次性全部运送完成，已知车辆总数为22辆（三种车辆都有），试通过计算判断有几种运送方案．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设需A车型x辆，B车型y辆，由题意得：，解得：，答：需甲车型10辆，需车型15辆；（2）设需A车型a辆，B车型b辆，则需C车型（22﹣a﹣b）辆，由题意得：5a+8b+10（22﹣a﹣b）＝170，整理得：a＝10﹣b，∵a、b均为正整数，且a+b＜22，∴或或，有3种运送方案：①A车型8辆，B车型5辆，C车型9辆；②A车型6辆，B车型10辆，C车型6辆；③A车型4辆，B车型15辆，C车型3辆．41．（2023秋•苍梧县期末）北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天载人飞船模型和3件B种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件A种航天载人飞船模