高二数学下学期期末押题试卷02（测试范围：新高考全部内容）解析版-备战高二期末化学

2023-2024学年高二数学下学期期末押题试卷02本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式考试时间：120分钟满分：150分测试范围：新高考全部内容一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，若，则实数的取值范围是A． B．， C． D．，【分析】由题知，再根据集合关系求解即可．【解答】解：因为，所以，因为，，则，所以实数的取值范围是，．故选：．【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．2．已知复数，则A． B．2 C． D．3【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，再利用复数模的公式，即可求解．【解答】解：，则．故选：．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．3．若点在角的终边上，则A． B． C．0 D．1【分析】由任意角的三角函数求出，，再由两角和的正弦公式代入即可得出答案．【解答】解：因为点在角的终边上，则，，所以．故选：．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4．在直三棱柱中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A． B． C． D．【分析】作出图形，找到球心，解三角形求出半径，再根据球的表面积公式，即可求解．【解答】解：如图，设上下底面中心分别为，，取的中点，连接，，则三棱柱外接球的半径，根据题意易知，，，三棱柱外接球的表面积为．故选：．【点评】本题考查正三棱柱的外接球问题，属基础题．5．设两个单位向量，的夹角为，若在上的投影向量为，则A． B． C． D．【分析】根据投影向量的定义可得，结合向量的数量积运算求解即可．【解答】解：在上的投影向量为，，，，．故选：．【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于基础题．6．推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是（参考数据：，，A．2033年 B．2034年 C．2035年 D．2036年【分析】设经过年之后，每年度平均每户收入增加元，且，解不等式可得答案．【解答】解：设经过年之后，每年度平均每户收入增加元，由题得，即，则，，又，则．所以所求年份大约是2035年．故选：．【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．已知，分别为双曲线的左，右焦点，直线过点，且与双曲线右支交于，两点，为坐标原点，△，△的内切圆的圆心分别为，，则△面积的取值范围是A． B． C． D．【分析】先根据切线长定理判定两个内切圆的横坐标值，再设△的内切圆半径为，根据图形性质计算得△面积的解析式，再利用函数单调性即可求得△面积的取值范围．【解答】解：设圆与，，分别切于点，，，由双曲线定义知，，，，，，，又，，即点为双曲线的右顶点，轴，的横坐标为，同理：横坐标也为，平分，平分，，设△、△的内切圆半径分别为，，轴，，，，设直线倾斜角为，又为双曲线右支上两点，又渐近线方程为，由题意得，，，即，又在单调递减，在单调递增，当时，，此时取得最小值，当时，，当时，，．故选：．【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．8．已知，为自然对数的底数，则下列不等式不成立的是A． B． C． D．【分析】采用逐一验证的方法，通过构造函数，，，，根据这些函数在上的单调性可得结果．【解答】解：因为，为自然对数的底数，对于，设，，则，在上单调递增，故（a）（b），即，故正确；对于，设，，则在上恒成立，故在上单调递减，故（a）（b），即，故，故正确；对于，设，，则，当时，，当，时，，故在上单调递减，在，上单调递增，故（a）与（b）得大小关系不确定，故错误；对于，设，，则，故函数在上单调递增，所以（a）（b），即，化为，即，即，故正确．故选：．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，依题意合理构造函数，并判断出所构造的函数的单调性是解决问题的关键，考查逻辑推理能力与数学运算能力，属于中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．下列说法错误的是A．事件的概率（A）必满足（A） B．事件的概率（A），则事件是必然事件 C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有患胃溃疡的病人服用此药，则估计此药有明显的疗效的可能性为 D．某奖券的中奖率为，则某人购买此券10张，一定有5张中奖【分析】根据概率的定义和性质逐个判断各个选项即可．【解答】解：对于，由概率的基本性质可知，（A），故错误；对于，事件的概率（A），则事件是随机事件，故错误；对于，由题意可知，估计此药有明显的疗效的可能性为，故正确；对于，某奖券的中奖率为，则某人购买此券10张，可能有5张中奖，故错误．故选：．【点评】本题主要考查了概率的定义和性质，属于基础题．10．圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球．如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为，则A．设内切球的半径为，外接球的半径为，则 B．设内切球的表面积，外接球的表面积为，则 C．设圆锥的体积为，内切球的体积为，则 D．设，是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得为等边三角形，设球心为（即为的重心），即可求出的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断、，由圆锥及球的体积公式判断，所对的圆心角为（在圆上），设的中点为，即可求出，不妨设为上的点，连接，过点作交于点，利用三角形相似求出，即可求出截面圆的半径，从而判断．【解答】解：作出圆锥的轴截面如下：因为圆锥的内切球和外接球的球心重合，所以为等边三角形，又，所以，设球心为（即为的重心），所以，，即内切球的半径为，外接球的半径为，所以，故正确；设内切球的表面积，外接球的表面积为，则，故错误；设圆锥的体积为，则，内切球的体积，则，所以，故正确；设、是圆锥底面圆上的两点，且，则所对的圆心角为（在圆上），设的中点为，则，不妨设为上的点，连接，则，过点作交于点，则，所以，即，解得，所以平面截内切球截面圆的半径，所以截面圆的面积为，故正确．故选：．【点评】本题考查圆锥的内切球与外接球问题，属中档题．11．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是A． B．1849既是三角形数，又是正方形数 C． D．，，总存在，，使得成立【分析】利用累加法分别求出，，进而分别利用裂项求和法、放缩法，逐个分析各个选项即可．【解答】解：三角形数构成数列，3，6，10，，易发现，，，，，累加得，，，显然满足上式，，正方形数构成数列，4，9，16，，易发现，，，，，累加得，，显然满足上式，，对于，，，故正确；对于，令，得，，，无正整数解，即1849不是三角形数，令，，即1849是正方形数，故错误；对于，，，故正确；对于，取，且，令，有，故，，总存在，，使得成立，故正确．故选：．【点评】本题主要考查了数列的应用，考查了归纳推理，考查了转化思想和运算求解能力，属于中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知甲组样本数据，2，，，如下表所示：233466若乙组样本数据，则乙组样本数据的平均数5，乙组样本数据的方差．【分析】根据题意，求出乙组数据，结合平均数和方差定义计算，即可得答案．【解答】解：根据题意，乙组样本数据如下表所示：133599则乙组样本数据的平均数，乙组样本数据的方差．故答案为：5；．【点评】本题考查样本数据平均数、方差的计算，注意平均数和方差的计算公式，属于基础题．13．从1，2，3，4，7，9六个数中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到17个不同的对数值．【分析】分所取得两个数中是否含有1分为两类，再利用排列的计算公式、对数的运算法则和性质即可得出．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①当取得两个数中有一个是1时，则1只能作真数，此时，或3或4或7或9．②所取的两个数不含有1时，即从2，3，4，7，9中任取两个，分别作为底数与真数可有个对数，其中，，，，综上可知：共可以得到个不同的对数值．故答案为：17．【点评】本题考查计数原理的应用，熟练掌握对数的运算法则和性质、排列的计算公式是解题的关键．14．已知抛物线与圆交于，两点，且，直线过的焦点，且与交于，两点，则的最小值为．【分析】由已知可求得抛物线方程，设直线，与抛物线联立方程组可求得，进而根据基本不等式求最小值即可．【解答】解：由抛物线与圆交于，两点，且，得到第一象限交点在抛物线上，所以，解得，所以，则，设直线，与联立得，设，，，，所以，，所以，由抛物线的定义，，所以，当且仅当，时等号成立．故答案为：．【点评】本题考查求抛物线的方程，考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数的最小正周期为，且图象关于直线对称．（1）求的解析式；（2）设函数，求的单调增区间．【分析】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的周期性及对称性即可得解；（2）先利用降幂公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：（1）已知，因为函数的最小正周期为，所以，故，又因图象关于直线对称，所以，，则，又，所以，所以；（2）由（1）得，令，得，所以函数的单调递增区间为．【点评】本题考查了三角函数的性质，重点考查了三角恒等变换，属中档题．16．华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”．据《资治通鉴》注释中说“从此道可至华容也”．通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走．不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口．2021年12月23日，在厦门莲坂外图书城四楼佳希魔方，厦门市新翔小学六年级学生胡宇帆现场挑战“最快时间解数字华容道”世界纪录，并以4.877秒打破了“最快时间解数字华容道”世界纪录，成为了该项目新的世界纪录保持者．（1）小明一周训练成绩如表所示，现用作为经验回归方程类型，求出该回归方程；第（天1234567用时（秒105844939352315（2）小明和小华比赛破解华容道，首局比赛小明获得胜利的概率是0.6，在后面的比赛中，若小明前一局胜利，则他赢下后一局的概率是0.7，若小明前一局失利，则他赢下后一局比赛的概率为0.5，比赛实行“五局三胜”，求小明最终赢下比赛的概率是多少．参考公式：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，参考数据：，【分析】（1）先求出，套公式求出和，得到回归方程；（2）记小明获胜时比赛的局数为，则的可能取值为3，4，5，分别求出其对应的概率，利用概率的加法公式即可求解．【解答】解：（1）由题意，根据表格中的数据，可得，可得，所以，因此关于的回归方程为：；（2）记小明获胜时比赛的局数为，则的可能取值为3，4，5，，，，．【点评】本题考查了线性回归方程的计算以及互斥事件的概率加法计算，属于中档题．17．如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且，．平面，且，．点，分别为线段，上的动点，满足．（1）证明：直线平面；（2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由．【分析】（1）法过点作的垂线，由题意可得平面，且平面，进而可证得平面平面，再证得线面的平行；法由题意建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，由向量的数量积为0，可得向量垂直，再证得线面的平行；（2）由空间向量求出直线与平面的法向量的夹角的余弦值，进而可得线面所成的角的正弦值，由题意可得的值．【解答】（1）证明：法过点作的垂线，交于点，则，连接，则，且由，所以，，又因为平面，平面，所以平面，且平面，又，所以平面平面，又因为，所以平面；法因为，，如图，以为原点，分别以，，方向为，，轴建立坐标系，由题意可得，0，，，1，，，1，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，取，解得，因为，，所以，，解得，0，，，，所以，且平面，所以平面；（2）设平面的法向量为，则由，即，令，解得，，，所以，，，所以，，设直线与平面所成的角为，则，，解得．【点评】本题考查线面平行的证法及空间向量的方法求线面所成角的正弦值，属于中档题．18．已知椭圆的上顶点为，直线与椭圆交于，两点，且直线与的斜率之积为，（1）求椭圆的方程；（2）若直线，直线与椭圆交于，两点，且直线与的斜率之和为1，求与之间距离的取值范围．【分析】（1）联立方程组，根据，利用韦达定理可求，从而得解；（2）设直线，，联立方程组，根据，利用韦达定理可得，由两平行直线间的距离公式，并利用导数求最值．【解答】解：（1）设，，，，由题意，可知，则椭圆，联立方程组，整理可得：，显然△，且，，因为，即，化简得，所以，解得，所以椭圆；（2）由直线，设直线，，设，，，，联立方程组，整理可得：，则△，可得，①且，，又因为，即，化简得，则，化简得，因为，所以，结合①可知，与之间距离，设，则，当时，，则当，，则单调递减，当，，则单调递增，所以，又，，所以，所以．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合应用，平行线间的距离公式的应用，用导函数的性质