导数的几何意义教案 人教课标版

《导数的几何意义》教案

教学过程设计意图

一、创设情境、导入新课

老师引导学生

.回顾旧知、引出研究的问题：回忆联系本节课的

前面我们初步了解了一些微积分背景知识，对有“微积分之父”旧知识，下面探究导

之称的牛顿和莱布尼慈，也相识了（幽默：同时知道当爹的不易），数的几何意义也是

依据导数概念的形

之后重点学习了函数在x=x。处的导数r（%）就是函数在该点处的

成，寻求解决问题的

瞬时变化率。那么：途径。

提问：（）求导数广（的）的步骤有哪几步？

生：总共分三步（拉音，模仿赵本山）：教师板书，便于

学生数形结合探究

第一步：求增量Ay导数的几何意义。

第二步：求平均变化率"=+；

AxAx

第三步：求瞬时变化率八押=如,/（*+弋一）•

（即&CT0,平均变化率算近于的破牢单鳌就是该点导数）

（）观察函数y=f（x）的图象，平均变化率

突破平均变化

率的几何意义，后面

在表示割线斜率时

能直接联系此知识。

同时引出本节课的

研究问题一一导数

几何意义是什么？

（复习引入用时约

分钟）

生：平均变化率表示的是割线的斜率.

师：这就是巴弊化率会）的几膝义，那么瞬时变化率

(lim竺)在图中又表示什么呢？今天我们就来探究导数的几何意

加TOAx

义。板书

二、引导探究、获得新知

.动画类比，得到切线的新定义

要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究以求导数的两

△xf0,割线的变化趋势，看下面的动画。

个步骤为依据，从平

♦多媒体显示【动画】：均变化率的几何意

义入手探索导数的

圆上点处的切线和割线，演示点从右边沿着圆逼近点，然后再

几何意义，抓住

从左边沿着圆逼近点，即At70,割线的变化趋势。

Ax一■()的联系，在

图形上从割线入手

来研究问题。

种内在联系呢？带着问题观察

生：先感知后发现，当8-0,随着点沿着圆逼近点，割线动画，借助熟悉的圆

中的某点处的割线

无限趋近于点处的切线。

和切线，学生更易感

♦把割线逼近切线的结论从圆推广到一般曲线，可得:知当&cf0,割线

多媒体显示【动画】：的变化趋势。

动态演示教材上点P(X0+AA-,/(X0+AX))沿着曲线/(X)趋近于

用逼近的方法体

点P(x0,f(x))时，割线的变化趋势图。

u会割线逼近切线，消

除学生对极限的神

师：类比【动画】，当点［,(/+Ax,，(％+—))沿着曲线/(幻趋秘感。

近于点P(4,.〃x。))时，即8->0,研究割线P2的变化趋势。

肯定学生的研

函数yMx)图依究结果，并引导学生

把这种由割线逼近

的方法得到切线推

广到一般曲线，并由

此得出割线的变化

趋势，为研究几何意

义做好铺垫。

两个动画，探索

一般曲线中的切线

学生观察【动画】，类比得出一般曲线的切线定义：定义，让不同程度的

学生都能借助直观

当点e,(Xo+Ax,f(Xo+A¥))沿着曲线/(%)逼近点P(x,f(x))

00的图象感知和发现，

得出：-0,害IJ

时，即Ar7(),割线尸以趋近于确定的位置，这个确定位置上的

线逼近该点处的切

直线称为点处的切线。线

突破研究的难点：Arf0，割线叱一点处的切线

(直观获得切线的

那么：割线的斜率->?与导数/(朝)又有何关系

定义，至此用时约分

呢？进行下面的探究活动。钟)

感知联系，运用

.数形结合，探究导数的几何意义数形结合的方法研

结合【动画】的变化过程，探究导数的几何意义。究数值表示。从直观

感知到数式研究相

【探究一】

对照，有利于大多数

.已知曲线上两点P(x(),/(入0)),乙(々+Ar,/(Xo+Ax)),求：学生主动建构知识，

进而得出导数的几

0结合两点坐标，割线「巴的斜率可表示为什么?何意义。

生：k=/(7>+-)-/(X。)

△x

()结合Ar-0,割线叱-*切线，则切线的斜率人可表

示为什么？

生：左=1汕〃％+­)一/5)

-Ar

.你能发现导数的几何意义吗？

生：函数/(X)在x=x。处的导数就是曲线在该点处的切线斜

要求学生善于

率3即：k=lim/(4+-/(X。)二,归纳和总结并深入

AA-OAr体会知识间的联系。

.在上面的研究过程中，某点处的割线斜率与切线斜率与某点

附近的平均变化率和瞬时变化率有何联系？

生：平均变化率f瞬时变化率

割线的斜率A"0-＞切线的斜率

三、探索小结、重点讲评

,获得导数的几何意义

借助实物投影

♦学生快速探究活动后，展示研究成果，教师重点讲评：仪，展示学习成果，

割线P《的斜率是k,="一+位)一"%),学生经历了完整的

(x0+Ax)-x0探究过程后，教师的

讲评就可以有针对

当点沿着曲线无限接近点时，火,,无限趋近于切线的斜率左,

2性和详略，学生也可

即心.2=/，(/)以结合自己探究的

但。\X体会更好地建构知

识。

切线的斜率上即为函数在X=X0处的导数。

导数的几何意义：

/,()=lim/(%+©—)=曲线祗=/处的切线的斜率々

突破导数的几何

师：由导数的几何意义，我们可以解决哪些问题？

意义这个学习重点。

生：已知某点处的导数或者切线的斜率可以求另外一个量。

\1.1

一

一

-1-----

W

TII111

初中平面几何中，圆的切线的

的定义：直线和圆有惟一公共点

通过将曲线一

时，叫做直线和圆相切。这时，

点处的局部“放大、

直线叫做圆的切线，惟一的公共

放大、再放大”的直

占叫做切占。

''圆是2种特殊的曲线。这种观方法，形象而逼真

地再现“以直代曲”

定义并不适用于一般曲线的切

思想。

线。例如上图中，直线虽然与曲

渗透用导数的

线有惟一的公共点，但我们不能几何意义研究函数

认为它与曲线相切；而另一条直的增减性

线虽然与曲线有不只一个公共

至此突破学习重

点，我们还是认为它是曲线的切

点和难点，用时约分

线。因此，以上圆的切线定义并

钟

不适用于一般的曲线。

通过逼近的方法，将割线趋于

确定位置的直线定义为切线（交

占可能不惟一）.话用干各种曲

.了解以直代曲思想

把点附近函数的图象放大，引导学生理解以直代曲思想是指

某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势基本一

致，故可由曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线。

汕幺%

师：在某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋

势有何关系？如果切线的斜率为正，则该点附近曲线的增减情况

怎样？

生：点附近，曲线和该点处的切线的增减变化情况一致。如果

切线的斜率为正，则该点附近曲线呈上升趋势。

见学案“学生活

四、知识应用、巩固理解动”

.导数几何意义的应用

例题：简单小题

例题：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数要求学生动脑

（审题），动手（囱切

〃⑺=—4.9〃+65+10的图象。

线），动口（讨论），

体会利用导数的几

何意义及运用导数

来研究函数在某点

附近的单调性，渗透

“数形结合”的思想

方法，运用以直代曲

的思想方法。

【探究二】

.用图形体现/⑴=一3.3,1（0.5）=1.6的几何意义。

问题由具体的导数

.导数值的正负，反应该点附近的曲线有何变化趋势？

入手，熟悉导数的几

.请描述、比较曲线〃⑺在r0,小G附近增（减）以及增（减）何意义，帮助学生感

知导数与函数单调

快慢的情况。在、口附近呢？性之间的联系。

分析：附近：m,增减：变化率，即研究函数在该点处的瞬问题引导学生感

时变化率，也就是导数。可借助切线的变化趋势得到导数的情况。知导数反映变化率

的本质。

生：作出曲线在这些点处的切线，在处切线平行于x轴，

问题运用导数的

即/仇）=0,说明在时刻附近变化率为，函数几乎没有增几何意义，借由切线

的变化趋势，得出切

线的斜率即该点处

减；在乙，弓作出切线，切线呈下降趋势，即〃'1）<0,h\t2）<0,

的导数的情况，进而

函数在点附近单调递减。曲线在附近比在乙附近下降得更判断函数的单调性。

区步S«*a>out®S«QIarunr，345，

快，则是因为问&）|<|〃'应）1。

小结：附近：解町，增减：变化率，即研究函数在该点处的瞬

时变化率，也就是导数。导数的正负即对应函数的增减。作出该

点处的切线，可由切线的升降趋势，得切线斜率的正负即导数的

正负，就可以判断函数的增减性，体会导数是研究函数增减、变

化快慢的有效工具。给出曲线上各

同时，结合以直代曲的思想，在某点附近的切线的变化情况与曲点的切线的变化图，

线的变化情况一样，也可以判断函数的增减性。都反应了导数是体会导数就是反映

研究函数增减、变化快慢的有效工具。函数变化率的，借助

曲线可以得出切线

例如图表示人体血管中的药物浓度（单位：mg1mL）斜率的情况即该点

处导数的情况。体会

随时间f（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计

导数在研究函数增

r=0.2,0.4,0.6,0.8（）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数减和变化快慢的应

用。

据用表格的形式列出。（精确到）

—

t

药物浓度

的

瞬时变化

率

（注记：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出

如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际

问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。