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文档简介
甘肃省庆阳六中新高考数学押题试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设复数满足为虚数单位),则()A. B. C. D.2.是定义在上的增函数,且满足:的导函数存在,且,则下列不等式成立的是()A. B.C. D.3.已知且,函数,若,则()A.2 B. C. D.4.已知,则()A. B. C. D.25.已知函数,关于x的方程f(x)=a存在四个不同实数根,则实数a的取值范围是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)6.如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试(满分100分)中得分情况的茎叶图,则下列说法错误的是()A.甲得分的平均数比乙大 B.甲得分的极差比乙大C.甲得分的方差比乙小 D.甲得分的中位数和乙相等7.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在(单位:元)的同学有34人,则的值为()A.100 B.1000 C.90 D.908.已知,,分别为内角,,的对边,,,的面积为,则()A. B.4 C.5 D.9.若为过椭圆中心的弦,为椭圆的焦点,则△面积的最大值为()A.20 B.30 C.50 D.6010.已知各项都为正的等差数列中,,若,,成等比数列,则()A. B. C. D.11.已知函数,若函数有三个零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.12.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线交椭圆于A,B两点,交y轴于点M,若、M是线段AB的三等分点,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若正实数x,y,满足x+2y=5,则x214.函数的值域为_________.15.已知在等差数列中,,,前n项和为,则________.16.已知多项式满足,则_________,__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销,定价为元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应,每天的销售数据按照,,,分组,得到如下频率分布直方图,以不同销量的频率估计概率.从试销售期间任选三天,求其中至少有一天的酸奶销量大于瓶的概率;试销结束后,这款酸奶正式上市,厂家只提供整箱批发:大箱每箱瓶,批发成本元;小箱每箱瓶,批发成本元.由于酸奶保质期短,当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考,决定每天仅批发一箱(计算时每个分组取中间值作为代表,比如销量为时看作销量为瓶).①设早餐店批发一大箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量,批发一小箱时,当天这款酸奶的利润为随机变量,求和的分布列和数学期望;②以利润作为决策依据,该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱?注:销售额=销量×定价;利润=销售额-批发成本.18.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF.(Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面BDEF;(Ⅱ)若二面角CBFD的大小为60°,求CF与平面ABCD所成角的正弦值.19.(12分)已知函数.(1)若,且,求证:;(2)若时,恒有,求的最大值.20.(12分)已知函数.(1)当时,试求曲线在点处的切线;(2)试讨论函数的单调区间.21.(12分)已知,函数的最小值为1.(1)证明:.(2)若恒成立,求实数的最大值.22.(10分)已知函数的定义域为.(1)求实数的取值范围;(2)设实数为的最小值,若实数,,满足,求的最小值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
易得,分子分母同乘以分母的共轭复数即可.【详解】由已知,,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.2、D【解析】
根据是定义在上的增函数及有意义可得,构建新函数,利用导数可得为上的增函数,从而可得正确的选项.【详解】因为是定义在上的增函数,故.又有意义,故,故,所以.令,则,故在上为增函数,所以即,整理得到.故选:D.【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用,一般地,数的大小比较,可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数,本题属于中档题.3、C【解析】
根据分段函数的解析式,知当时,且,由于,则,即可求出.【详解】由题意知:当时,且由于,则可知:,则,∴,则,则.即.故选:C.【点睛】本题考查分段函数的应用,由分段函数解析式求自变量.4、B【解析】
结合求得的值,由此化简所求表达式,求得表达式的值.【详解】由,以及,解得..故选:B【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值,考查二倍角公式,属于中档题.5、D【解析】
原问题转化为有四个不同的实根,换元处理令t,对g(t)进行零点个数讨论.【详解】由题意,a>2,令t,则f(x)=a⇔⇔⇔⇔.记g(t).当t<2时,g(t)=2ln(﹣t)(t)单调递减,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有两个不等于2的不等根.则⇔,记h(t)(t>2且t≠2),则h′(t).令φ(t),则φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,则h(t)在(2,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.由,可得,即a<2.∴实数a的取值范围是(2,2).故选:D.【点睛】此题考查方程的根与函数零点问题,关键在于等价转化,将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.6、B【解析】
由平均数、方差公式和极差、中位数概念,可得所求结论.【详解】对于甲,;对于乙,,故正确;甲的极差为,乙的极差为,故错误;对于甲,方差.5,对于乙,方差,故正确;甲得分的中位数为,乙得分的中位数为,故正确.故选:.【点睛】本题考查茎叶图的应用,考查平均数和方差等概念,培养计算能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.7、A【解析】
利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率,再结合支出在(单位:元)的同学有34人,即得解【详解】由题意,支出在(单位:元)的同学有34人由频率分布直方图可知,支出在的同学的频率为.故选:A【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.8、D【解析】
由正弦定理可知,从而可求出.通过可求出,结合余弦定理即可求出的值.【详解】解:,即,即.,则.,解得.,故选:D.【点睛】本题考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角形的面积公式,考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件,得到角的正弦值余弦值.9、D【解析】
先设A点的坐标为,根据对称性可得,在表示出面积,由图象遏制,当点A在椭圆的顶点时,此时面积最大,再结合椭圆的标准方程,即可求解.【详解】由题意,设A点的坐标为,根据对称性可得,则的面积为,当最大时,的面积最大,由图象可知,当点A在椭圆的上下顶点时,此时的面积最大,又由,可得椭圆的上下顶点坐标为,所以的面积的最大值为.故选:D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质,以及三角形面积公式的应用,着重考查了数形结合思想,以及化归与转化思想的应用.10、A【解析】试题分析:设公差为或(舍),故选A.考点:等差数列及其性质.11、B【解析】
根据所给函数解析式,画出函数图像.结合图像,分段讨论函数的零点情况:易知为的一个零点;对于当时,由代入解析式解方程可求得零点,结合即可求得的范围;对于当时,结合导函数,结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围.【详解】根据题意,画出函数图像如下图所示:函数的零点,即.由图像可知,,所以是的一个零点,当时,,若,则,即,所以,解得;当时,,则,且若在时有一个零点,则,综上可得,故选:B.【点睛】本题考查了函数图像的画法,函数零点定义及应用,根据零点个数求参数的取值范围,导数的几何意义应用,属于中档题.12、D【解析】
根据题意,求得的坐标,根据点在椭圆上,点的坐标满足椭圆方程,即可求得结果.【详解】由已知可知,点为中点,为中点,故可得,故可得;代入椭圆方程可得,解得,不妨取,故可得点的坐标为,则,易知点坐标,将点坐标代入椭圆方程得,所以离心率为,故选:D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解,难点在于根据题意求得点的坐标,属中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、8【解析】
分析:将题中的式子进行整理,将x+1当做一个整体,之后应用已知两个正数的整式形式和为定值,求分式形式和的最值的问题的求解方法,即可求得结果.详解:x2-3x+1+2点睛:该题属于应用基本不等式求最值的问题,解决该题的关键是需要对式子进行化简,转化,利用整体思维,最后注意此类问题的求解方法-------相乘,即可得结果.14、【解析】
利用换元法,得到,利用导数求得函数的单调性和最值,即可得到函数的值域,得到答案.【详解】由题意,可得,令,,即,则,当时,,当时,,即在为增函数,在为减函数,又,,,故函数的值域为:.【点睛】本题主要考查了三角函数的最值,以及利用导数研究函数的单调性与最值,其中解答中合理利用换元法得到函数,再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键,着重考查了推理与预算能力,属于基础题.15、39【解析】
设等差数列公差为d,首项为,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得即可.【详解】设等差数列公差为d,首项为,根据题意可得,解得,所以.故答案为:39【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n项和的公式,属于基础题.16、【解析】∵多项式满足∴令,得,则∴∴该多项式的一次项系数为∴∴∴令,得故答案为5,72三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、;①详见解析;②应该批发一大箱.【解析】
酸奶每天销量大于瓶的概率为,不大于瓶的概率为,设“试销售期间任选三天,其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件,则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.利用对立事件概率公式求解即可.①若早餐店批发一大箱,批发成本为元,依题意,销量有,,,四种情况,分别求出相应概率,列出分布列,求出的数学期望,若早餐店批发一小箱,批发成本为元,依题意,销量有,两种情况,分别求出相应概率,由此求出的分布列和数学期望;②根据①中的计算结果,,从而早餐应该批发一大箱.【详解】解:根据图中数据,酸奶每天销量大于瓶的概率为,不大于瓶的概率为.设“试销售期间任选三天,其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件,则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.所以.①若早餐店批发一大箱,批发成本为元,依题意,销量有,,,四种情况.当销量为瓶时,利润为元;当销量为瓶时,利润为元;当销量为瓶时,利润为元;当销量为瓶时,利润为元.随机变量的分布列为所以(元)若早餐店批发一小箱,批发成本为元,依题意,销量有,两种情况.当销量为瓶时,利润为元;当销量为瓶时,利润为元.随机变量的分布列为所以(元).②根据①中的计算结果,,所以早餐店应该批发一大箱.【点睛】本题考查概率,离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识,属于中档题.18、(1)见解析(2)【解析】分析:(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值;也可以应用常规法,作出线面角,放在三角形当中来求解.详解:(Ⅰ)在△ABD中,∠ABD=30°,由AO2=AB2+BD2-2AB·BDcos30°,解得BD=,所以AB2+BD2=AB2,根据勾股定理得∠ADB=90°∴AD⊥BD.又因为DE⊥平面ABCD,AD平面ABCD,∴AD⊥DE.又因为BDDE=D,所以AD⊥平面BDEF,又AD平面ABCD,∴平面ADE⊥平面BDEF,(Ⅱ)方法一:如图,由已知可得,,则,则三角形BCD为锐角为30°的等腰三角形.则.过点C做,交DB、AB于点G,H,则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG,则,DE⊥平面ABCD,则平面.过G做于点I,则BF平面,即角为二面角CBFD的平面角,则60°.则,,则.在直角梯形BDEF中,G为BD中点,,,,设,则,,则.,则,即CF与平面ABCD所成角的正弦值为.(Ⅱ)方法二:可知DA、DB、DE两两垂直,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设DE=h,则D(0,0,0),B(0,,0),C(-,-,h).,.设平面BCF的法向量为m=(x,y,z),则所以取x=,所以m=(,-1,-),取平面BDEF的法向量为n=(1,0,0),由,解得,则,又,则,设CF与平面ABCD所成角为,则sin=.故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为点睛:该题考查的是立体几何的有关问题,涉及到的知识点有面面垂直的判定,线面角的正弦值,在求解的过程中,需要把握面面垂直的判定定理的内容,要明白垂直关系直角的转化,在求线面角的有关量的时候,有两种方法,可以应用常规法,也可以应用向量法.19、(1)见解析;(2).【解析】
(1)利用导数分析函数的单调性,并设,则,,将不等式等价转化为证明,构造函数,利用导数分析函数在区间上的单调性,通过推导出来证得结论;(2)构造函数,对实数分、、,利用导数分析函数的单调性,求出函数的最小值,再通过构造新函数,利用导数求出函数的最大值,可得出的最大值.【详解】(1),,所以,函数单调递增,所以,当时,,此时,函数单调递减;当时,,此时,函数单调递增.要证,即证.不妨设,则,,下证,即证,构造函数,,所以,函数在区间上单调递增,,,即,即,,且函数在区间上单调递增,所以,即,故结论成立;(2)由恒成立,得恒成立,令,则.①当时,对任意的,,函数在上单调递增,当时,,不符合题意;②当时,;③当时,令,得,此时,函数单调递增;令,得,此时,函数单调递减...令,设,则.当时,,此时函数单调递增;当时,,此时函数单调递减.所以,函数在处取得最大值,即.因此,的最大值为.【点睛】本题考查利用导数证明不等式,同时也考查了利用导数求代数式的最值,构造新函数是解答的关键,考查推理能力,属于难题.20、(1);(2)见解析【解析】
(1)对函数进行求导,可以求出曲线在点处的切线,利用
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