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文档简介

上海杨浦高级中学高三第二次模拟考试新高考数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数,,其中是虚数单位,则的最大值为()A. B. C. D.2.已知集合,,,则()A. B. C. D.3.已知命题:是“直线和直线互相垂直”的充要条件;命题:对任意都有零点;则下列命题为真命题的是()A. B. C. D.4.记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间,设函数,则不等式的解集为()A.2阶区间 B.3阶区间 C.4阶区间 D.5阶区间5.已知,则“m⊥n”是“m⊥l”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知等差数列中,则()A.10 B.16 C.20 D.247.已知集合A={x|x<1},B={x|},则A. B.C. D.8.已知等差数列的公差不为零,且,,构成新的等差数列,为的前项和,若存在使得,则()A.10 B.11 C.12 D.139.已知集合A={x|y=lg(4﹣x2)},B={y|y=3x,x>0}时,A∩B=()A.{x|x>﹣2}B.{x|1<x<2}C.{x|1≤x≤2}D.∅10.设实数、满足约束条件,则的最小值为()A.2 B.24 C.16 D.1411.已知集合,,若,则()A. B. C. D.12.的展开式中的系数是()A.160 B.240 C.280 D.320二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积是______.14.若双曲线C:(,)的顶点到渐近线的距离为,则的最小值________.15.已知函数.若在区间上恒成立.则实数的取值范围是__________.16.在正方体中,已知点在直线上运动,则下列四个命题中:①三棱锥的体积不变;②;③当为中点时,二面角的余弦值为;④若正方体的棱长为2,则的最小值为;其中说法正确的是____________(写出所有说法正确的编号)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数.(1)若,求实数的取值范围;(2)证明:,恒成立.18.(12分)设数列是等差数列,其前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)证明:.19.(12分)若,且(1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并说明理由.20.(12分)如图,四棱锥中,底面是边长为的菱形,,点分别是的中点.(1)求证:平面;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.21.(12分)在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,是的中点.(1)证明:平面;(2)设是线段上的动点,当点到平面距离最大时,求三棱锥的体积.22.(10分)联合国粮农组织对某地区最近10年的粮食需求量部分统计数据如下表:年份20102012201420162018需求量(万吨)236246257276286(1)由所给数据可知,年需求量与年份之间具有线性相关关系,我们以“年份—2014”为横坐标,“需求量”为纵坐标,请完成如下数据处理表格:年份—20140需求量—2570(2)根据回归直线方程分析,2020年联合国粮农组织计划向该地区投放粮食300万吨,问是否能够满足该地区的粮食需求?参考公式:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由复数的几何意义可得表示复数,对应的两点间的距离,由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得,复数对应的点为,复数对应的点为,所以,其中,故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义,由复数的几何意义,将转化为两复数所对应点的距离求值即可,属于基础题型.2、D【解析】

根据集合的基本运算即可求解.【详解】解:,,,则故选:D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,属于基础题.3、A【解析】

先分别判断每一个命题的真假,再利用复合命题的真假判断确定答案即可.【详解】当时,直线和直线,即直线为和直线互相垂直,所以“”是直线和直线互相垂直“的充分条件,当直线和直线互相垂直时,,解得.所以“”是直线和直线互相垂直“的不必要条件.:“”是直线和直线互相垂直“的充分不必要条件,故是假命题.当时,没有零点,所以命题是假命题.所以是真命题,是假命题,是假命题,是假命题.故选:.【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系,考查二次函数的图象,考查学生对这些知识的理解掌握水平.4、D【解析】

可判断函数为奇函数,先讨论当且时的导数情况,再画出函数大致图形,将所求区间端点值分别看作对应常函数,再由图形确定具体自变量范围即可求解【详解】当且时,.令得.可得和的变化情况如下表:令,则原不等式变为,由图像知的解集为,再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成,所以解集为5阶区间.故选:D【点睛】本题考查由函数的奇偶性,单调性求解对应自变量范围,导数法研究函数增减性,数形结合思想,转化与化归思想,属于难题5、B【解析】

构造长方体ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α为面ADD1A1,底面ABCD为β,然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m,n即可进行判断.【详解】如图,取长方体ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α为面ADD1A1,底面ABCD为β,直线=直线。若令AD1=m,AB=n,则m⊥n,但m不垂直于若m⊥,由平面平面可知,直线m垂直于平面β,所以m垂直于平面β内的任意一条直线∴m⊥n是m⊥的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题考点有两个:①考查了充分必要条件的判断,在确定好大前提的条件下,从m⊥n⇒m⊥?和m⊥⇒m⊥n?两方面进行判断;②是空间的垂直关系,一般利用长方体为载体进行分析.6、C【解析】

根据等差数列性质得到,再计算得到答案.【详解】已知等差数列中,故答案选C【点睛】本题考查了等差数列的性质,是数列的常考题型.7、A【解析】∵集合∴∵集合∴,故选A8、D【解析】

利用等差数列的通项公式可得,再利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】由,,构成等差数列可得即又解得:又所以时,.故选:D【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式,需熟记公式,属于基础题.9、B【解析】试题分析:由集合A中的函数y=lg(4-x2),得到4-x2>0,解得:-2<x<2,∴集合A={x|-2<x<2},由集合B中的函数考点:交集及其运算.10、D【解析】

做出满足条件的可行域,根据图形即可求解.【详解】做出满足的可行域,如下图阴影部分,根据图象,当目标函数过点时,取得最小值,由,解得,即,所以的最小值为.故选:D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域,利用数形结合求线性目标函数的最值,属于基础题.11、A【解析】

由,得,代入集合B即可得.【详解】,,,即:,故选:A【点睛】本题考查了集合交集的含义,也考查了元素与集合的关系,属于基础题.12、C【解析】

首先把看作为一个整体,进而利用二项展开式求得的系数,再求的展开式中的系数,二者相乘即可求解.【详解】由二项展开式的通项公式可得的第项为,令,则,又的第为,令,则,所以的系数是.故选:C【点睛】本题考查二项展开式指定项的系数,掌握二项展开式的通项是解题的关键,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

先由三视图在长方体中将其还原成直观图,再利用球的直径是长方体体对角线即可解决.【详解】由三视图知该几何体是一个三棱锥,如图所示长方体对角线长为,所以三棱锥外接球半径为,故所求外接球的表面积.故答案为:.【点睛】本题考查几何体三视图以及几何体外接球的表面积,考查学生空间想象能力以及基本计算能力,是一道基础题.14、【解析】

根据双曲线的方程求出其中一条渐近线,顶点,再利用点到直线的距离公式可得,由,利用基本不等式即可求解.【详解】由双曲线C:(,,可得一条渐近线,一个顶点,所以,解得,则,当且仅当时,取等号,所以的最小值为.故答案为:【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值,注意验证等号成立的条件,属于基础题.15、【解析】

首先解不等式,再由在区间上恒成立,即得到不等组,解得即可.【详解】解:且,即解得,即因为在区间上恒成立,解得即故答案为:【点睛】本题考查一元二次不等式及函数的综合问题,属于基础题.16、①②④【解析】

①∵,∴平面

,得出上任意一点到平面的距离相等,所以判断命题①;②由已知得出点P在面上的射影在上,根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理,可判断命题②;③当为中点时,以点D为坐标原点,建立空间直角系,如下图所示,运用二面角的空间向量求解方法可求得二面角的余弦值,可判断命题③;④过作平面交于点,做点关于面对称的点,使得点在平面内,根据对称性和两点之间线段最短,可求得当点在点时,在一条直线上,取得最小值.可判断命题④.【详解】①∵,∴平面

,所以上任意一点到平面的距离相等,所以三棱锥的体积不变,所以①正确;

②在直线上运动时,点P在面上的射影在上,所以DP在面上的射影在上,又,所以,所以②正确;③当为中点时,以点D为坐标原点,建立空间直角系,如下图所示,设正方体的棱长为2.则:,,所以,设面的法向量为,则,即,令,则,设面的法向量为,,即,,由图示可知,二面角是锐二面角,所以二面角的余弦值为,所以③不正确;④过作平面交于点,做点关于面对称的点,使得点在平面内,则,所以,当点在点时,在一条直线上,取得最小值.因为正方体的棱长为2,所以设点的坐标为,,,所以,所以,又所以,所以,,,故④正确.

故答案为:①②④.【点睛】本题考查空间里的线线,线面,面面关系,几何体的体积,在求解空间里的两线段的和的最小值,仍可以运用对称的思想,两点之间线段最短进行求解,属于难度题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)证明见解析【解析】

(1)将不等式化为,利用零点分段法,求得不等式的解集.(2)将要证明的不等式转化为证,恒成立,由的最小值为,得到只要证,即证,利用绝对值不等式和基本不等式,证得上式成立.【详解】(1)∵,∴,即当时,不等式化为,∴当时,不等式化为,此时无解当时,不等式化为,∴综上,原不等式的解集为(2)要证,恒成立即证,恒成立∵的最小值为-2,∴只需证,即证又∴成立,∴原题得证【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法,基本不等式等知识;考查推理论证能力、运算求解能力;考查化归与转化,分类与整合思想.18、(1)(2)见解析【解析】

(1)设数列的公差为,由,得到,再结合题干所给数据得到公差,即可求得数列的通项公式;(2)由(1)可得,再利用放缩法证明不等式即可;【详解】解:(1)设数列的公差为,∵,∴,∴,∴.(2)∵,∴,∴.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的计算,放缩法证明数列不等式,属于中档题.19、(1);(2)不存在.【解析】

(1)由已知,利用基本不等式的和积转化可求,利用基本不等式可将转化为,由不等式的传递性,可求的最小值;(2)由基本不等式可求的最小值为,而,故不存在.【详解】(1)由,得,且当时取等号.故,且当时取等号.所以的最小值为;(2)由(1)知,.由于,从而不存在,使得成立.【考点定位】基本不等式.20、(1)见解析;(2).【解析】

(1)取的中点,连接,通过证明,即可证得;(2)建立空间直角坐标系,利用向量的坐标表示即可得解.【详解】(1)证明:取的中点,连接.是的中点,,又,四边形是平行四边形.,又平面平面,平面.(2),,同理可得:,又平面.连接,设,则,建立空间直角坐标系.设平面的法向量为,则,则,取.直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】此题考查证明线面平行,求线面角的大小,关键在于熟练掌握线面平行的证明方法,法向量法求线面角的基本方法,根据公式准确计算.21、(1)见解析(2)【解析】

(1)连接与交于,连接,证明即可得证线面平行;(2)首先证明平面(只要取中点,可证平面,从而得,同理得),因此点到直线的距离即为点到平面的距离,由平面几何知识易得最大值,然后可计算体积.【详解】(1)证明:连接与交于,连接,因为是菱形,所以为的中点,又因为为的中点,所以,因为平面平面,所以平面.(2)解:取中点,连接,因为四边形是菱形,,且,所以,又,所以平面,又平面,所以.同理可证:,又,所以平面,所以平面平面,又平面平面,所以点到直线的距离即为点到平面的距离,过作直线的垂线段,在所有垂线段中长度最大为,因为为的中点,故点到平面的最大距离为1,此时,为的中点,即,所以,所以.【点睛】本题考查证明线面平行,考查求棱锥的体积,掌握面面垂直与线面垂直的判定与性质是解题关键.22、(

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