人教A版高中数学第一册(必修1)课时作业5：4. 5 . 3 函数模型的应用

4.5.3函数模型的应用

基础达标

一、选择题

1.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.

加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）

2020年5月1日1235000

2020年5月15日4835600

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）

A.8升B.6升

C.4升D.105FI-

『解析』由表知：汽车行驶路程为35600—35000=600（千米），耗油量为48

升，.•.每100千米耗油量为8升.

『答案』A

2.某研究小组在一项实验中获得一组关于的数据，将其整理得到如图所示的

图形.下列函数中，最能近似刻画y与，之间关系的是（）

\.y=TB.>=2/2

C.y=13D.y=log2/

『解析』由题图知，该函数可能是y=log2r.故选D.

『答案』D

3.某杂志能以每本1.20元的价格销售12万本，假设定价每降低0.1元，销售量就

增加4万本，要使总销售收入不低于20万元，则杂志的价格最低为（）

A.0.5元B.0.8元

C.1元D.l.l元

『解析』设杂志的价格降低了x个0.1元，则此时价格为(1.20—xXO.l)元，卖

出(12+4%)万本，设总销售收入为y万元，则y=(1.20—0.1x)(12+4x)=—0.4/+

3.6x+14.4(x£N*),要使y»20,即f-9x+14W0,解得2WxW7,当尤=7时，

价格最低,为1.20-0.7=0.5(70).

『答案』A

4.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三

个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销

量y与投放市场的月数MlWxW4,xGN*)之间关系的是()

A.y=100A-B.y=50x2—50JC4-100

C.J=50X2XD.y=100'

『解析』将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数

据相对应.

『答案』C

5.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列

四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()

X1.992345.156.126

y1.5174.04187.51218.01

1,

A.y=2x—2BJ=2（X2—1）

C.y=log2XD.y=2x

『解析』由题中表格可知函数在(0,+8)上是增函数，且〉的变化随X的增

大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.

『答案』B

二'填空题

6.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间/(年)的函数关系如c

图所示，给出下列四种说法：①前三年中产量增长的速度越来(~~;

越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种卡一

产品停止生产；④第三年后产量保持不变.其中说法正确是(填序号).

『解析』由rwro,3』的图象，联想到羸函数〉=咫0”<1),反映了C随时

间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由re『3,8』的图象可知，总产量C没

有变化，即第三年后停止生产.

『答案』②③

7.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度。m/s和燃料质量Mkg、火箭(除

燃料外)质量mkg的关系是。=2000^1+^],则当燃料质量是火箭质量的

倍时，火箭的最大速度可达12km/s.

『解析』由题意2000111(1+==12000.

•.」n(l+^)=6,从而肛e6—1.

『答案』e6-l

8.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型，甲：y=

x2+l,乙：y=3x-l,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用

作为函数模型.

『解析』将x=3分别代入y=f+l及y=3x—1中，得y=3?+1=10,y=3X3

—1=8.由于10更接近10.2,所以选用甲模型.

『答案』甲

三、解答题

9.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是To,

经过一定时间，后的温度是T,则丁一九=(乃一兀)[0",其中兀表示环境温度，h

称为半衰期.现有一杯用88c热水冲的速溶咖啡，放在24c的房间中，如果咖啡

降温到40c需要20min,那么降温到35c时，需要多少时间？(参考数据：

Igl1^1.04,1g2^0.30)

20

解由题意知40—24=(88—244『'，

20

即1=(0"'解得力=10.

故T—24=(88—24＞为1°

当T=35时，代入上式，得

35-24=(88-24)-1

两边取对数，求得，心25.

因此，约需要25min,可降温到35℃.

10.某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%,设

每件纪念品的成本为a元.

（1）试求a的值；

（2）公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y（件）与每件销售价M元）满足

关系y=-10x+800.设每天销售利润为川（元），求每天销售利润W（元）与每件销售

价M元）之间的函数『解析』式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？

最大利润是多少？

解（1）'.•按30元销售，可获利50%,.•.a（l+50%）=30,解得a=20.

（2）...销售量y（件）与每件销售价x（元）满足关系y=-10x+800,则每天销售利润

W（元）与每件销售价M元）满足w=（-10x+800）（A：-20）=-10^+1000x-16000

=-10（X-50）2+9000,故当x=50时，W取最大值9000,

即每件销售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是9000元.

能力提升

11.某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、

汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%（即这辆车

每年减少它的价值的10%）,则大约使用年后，用在该车上的费用（含折

旧费）达到14.4万元.

『解析』设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，

依题意可得，14.4（1—O.iy+2.4x=14.4,

化简得x-6X09=0.

令人x）=x-6X09,易得/（X）为单调递增函数，

又43）=—1.374<0,7（4）=0.0634>0,

所以函数兀0在（3,4）上有一个零点.

故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元.

『答案』4

12.某地区为响应上级号召，在2015年初，新建了一批有200万平方米的廉价住

房，供困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况,

估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.

(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y="r)的表达式，并求此函

数的定义域.

(2)作出函数y=«r)的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能

达到300万平方米？

解(1)经过1年后，廉价住房面积为200+200X5%=200(1+5%)；经过2年后

为200(1+5%)2；

经过x年后，廉价住房面积为200(1+5%尸，

所以y=«r)=200(l+5%尸QGN*).

(2)作函数y=/U)=200(l+5%)x(x20,xGN*)的图象，如图所示.

作直线y=300,与函数y=200(l+5%》的图象交于A点，则A(M),300),A点的

横坐标xo的值就是函数值y=300时所经过的时间x的值.因为8<xo<9,则取xo=

9,即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米.

创新猜想

13.(多空题)里氏震级M的计算公式为：M=lgA-lgAo,其中A是测震仪记录的

地震曲线的最大振幅，4)是标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最

大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级；

9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.

『解析』M=lg1000-lg0.001=6,设9级地震的最大振幅和5级地震的最大

6

振幅分别为A9和4,则9=lgA9—IgO.OOl,.\A9=10,5=lgA5-lg0.001,：.A5

24

=10,-2=10.

,•A510

『答案』610000(或10，

14.(多空题)已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注

射了该药物2500mg,设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为ymg.