初中最值问题

初中最值问题汇总

（将军饮马，辅助圆，瓜豆原理，“胡不归”问题，阿氏圆问题，费马点）

最值系列之——将军饮马

一、什么是将军饮马？

【问题引入】

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顽《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出

一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】

如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最

短？

B军营

*

将军」

河

【问题简化】

如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？

【问题分析】

这个问题的难点在于%+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两

点之间，线段最短”、"点到直线的连线中，垂线段最短''等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段.

【问题解决】

作点A关于直线的对称点4,连接贝所以

B

A

当A，、P、3三点共线的时候，PA^PB=A^B,此时为最小值（两点之间线段最短）

A端点

—

/'0折点

Z

【思路概述】

作端点（点A或点B）关于折点（上图尸点）所在直线的对称，化折线段为直线段.

二、将军饮马模型系列

【一定两动之点点】

在0A、上分别取点M、N,使得△PMN周长最小.

此处M、N均为折点，分别作点P关于0A（折点例所在直线）、0B（折点N所在直线）的对称点，

化折线段PM+MN+NP为PM+MN+NP”，当产、M.N、P”共线时，周长最小.

【例题】如图，点P是NAOB内任意一点，NAOB=30。，0P=8,点M和点N分别是射线0A和射线

08上的动点，则APMN周长的最小值为___________.

【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于08、0A对称

点产、产'，忱PM+PN+MN为P'N+MN+P”M.

当尸、N、M、尸”共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P'P”长，连接。P'、0P”,可得△OPT5”

为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8.

【两定两动之点点】

在04、。8上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、。关于0A、。8对

称，化折线段PM+MN+NQ为PM+A/N+NQ，，当产、M、N、0共线时，四边形PMNQ的周长最小。

【一定两动之点线】

在。4、上分别取M、N使得PM+MN最小。

此处M点为折点，作点P关于0A对称的点尸，将折线段PM+MN转化为P，M+MN,即过点产作OB

垂线分别交0A、。8于点历、N,得PM+/WN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

三、几何图形中的将军饮马

【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】

1.正方形中的将军饮马

【关于对角线对称】

如图，正方形ABC。的边长是4,M在。C上，且0M=1,N是AC边上的一动点，则ADW/V周长的

最小值是.

【分析】考虑。M为定值，故求AOMN周长最小值即求ON+MN最小值.点N为折点，作点。关

于AC的对称点，即点8,连接BN交AC于点N,此时AOWN周长最小.

【假装不存在的正方形】

(2019•山东聊城)如图，在R/A48O中，ZOBA=90°,A(4,4),点C在边AB上，

且AC:CB=1:3,点。为。8的中点，点P为边0A上的动点，当点P在0A上移动时，使四边形PQBC

周长最小的点尸的坐标为()

A.(2,2)B.(|)|)C.(|,|)D.(3,3)

【分析】此处点P为折点，可以作点。关于折点P所在直线0K的对称：

y

A

C

也可以作点C的对称:

【隐身的正方形】

（2017•辽宁营口）如图，在ZkABC中，AC=BC,/4CB=90。，点。在BC上，BD=3,DC=\,点

P是A3上的动点，则PC+PO的最小值为（）

A.4B.5

【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C,当C、P、。共线时，PC+尸。最小，最小值为5,

故选B.

2.三角形中的将军饮马

【等边系列】

如图，在等边AABC中，AB=6,N为AB上一点且BN=2AMBC的高线AO交8c于点。，M是40

上的动点，连结BM,MN,则8M+MN的最小值是

【分析】M点为折点，作B点关于AQ的对称点，即C点，连接CN,即为所求的最小值.

过点C作AB垂线，利用勾股定理求得CN的长为2倍根号7.

【隐身的等边三角形】

如图，在RQABO中，AB=6,ZBAD=30°,ZD=90°,N为AB上一点、且BN=2AN,M是AO上的动

点，连结8M,MN,则BM+MN的最小值是.

【分析】对称点并不一定总是在已知图形上.

A

【角分线系列之点点】

（2018•山东潍坊）如图，在RSA8C中，ZACB=90°,AC=6.AB=\2,AO平分/C4B,点尸是AC

的中点，点E是A£＞上的动点，则CE+EF的最小值为（）

A.3B.4C.3GD.273

【分析】此处E点为折点,可作点C关于AD的对称,对称点C在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF

为C'E+EF,当C，E、产共线时得最小值，C'F为CB的一半，故选C.

【角分线系列之点线】

（2018•辽宁营口）如图，在锐角三角形A8C中，BC=4,ZABC=60°,8。平分NABC,交AC于点

D,M、N分别是8D,BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）

A.V3B.2C.2GD.4

【分析】此处“点为折点，作点N关于8。的对称点，恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN，

因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值，选C.

3.矩形、菱形中的将军饮马

【菱形高】

（2018广西贵港）如图，在菱形ABCD中，AC=6五,BD=6,E是8c的中点，尸、M分别是AC、

A8上的动点，连接PE、PM,则PE+PM的最小值是（）

4.6B.3GC.25/6D.4.5

【分析】此处尸为折点，作点M关于AC的对称点M，，恰好在AD上，化折线EP+PM为EP+PM,

当E、P、AT共线时，EP+PM最小，最小值即为菱形的高，可用面积法：ACBD/2=BCEM,

B

【折点在边上】

（2017山东前泽）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5）,。是的中点，E是。C上的

一点，当AADE的周长最小时，点E的坐标是（）

C.(0,2)D.(0,y)

【分析】点E为折点，E是y轴上一点，作点。关于y轴的对称点。'，连接AO,与y轴交点即为所

求E点.

【折点与面积】

（2019西藏）如图，在矩形ABC。中，A8=6,AD=3,动点P满足5如=gs矩畴8c°,则点P到A、B

两点距离之和PA+PB的最小值为（）

4.2>/13B.2屈C.3布D.屈

【分析】由=gs矩物咏D可作出P点轨迹为直线MN（AM=BN=2）,作点B关于MN的对称点",

化折线PA+PB为PA+PB'.

B'

当A、P、8,共线时，取到最小值，选A.

【全等与对称】

（2017江苏南通）如图，矩形ABCO中，AB=10,BC=5,点E、F、G、”分别在矩形4BCD各边

上，S.AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为（）

A.575B.10N/5C.10>/3D.15>/3

【分析】考虑到四边形EFGH是平行四边形，即求EH+EF最小值，此处E为折点，作F关于AB对

称点F'，则89=B尸=ZW=CM,...MF'=BC=5,M”=QC=10,，”尸'为5倍根号5,周长最小值为10倍根

号5,故选艮

四、特殊角的对称

【60。角的对称】

（2018滨州）如图，ZAOB=60°,点尸是/AOB内的定点且OP=有，若点M、N分别是射线。A、

08上异于点。的动点，则APMN周长的最小值是（）

A.炖B.更

C.6D.3

22

【分析】此处M、N均为折点，分别作点尸关于。&。4的对称点P，、P”,化NMN周长为PW+NM+MP”.

当产、N、M、P”共线时,得最小值，利用60。角翻倍得NP'OP”=120。,OP'=OP"=OP,可得最小值.

A

【30。角的对称】

(2017湖北随州)如图，NAOB的边。8与x轴正半轴重合，点尸是OA上的一动点，点N(3,0)

是08上的一定点，点M是ON的中点，ZAOB=30°,要使PM+PN最小，则点P的坐标为.

［分析］此处点P为折点，作点M关于OA的对称对称点“如图所示，连接PM',化PM+PN为PM'+PN.

当“、尸、N共线时，得最小值，又/ATON=60。且0N=20M,可得/OMW=90。，故P点坐标可求.

【20。角的对称】

如图，已知正比例函数产依（Q0）的图像与x轴相交所成的锐角为70。，定点A的坐标为（0,4）,

P为）'轴上的一个动点，M,N为函数产履（fc>0）的图像上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为

（分析】先考虑M为折点,作点P关于OM对称点P'，化AM+MP+PN为AM+M产+PW

此处产为折点，作点W关于OP'对称点N',化AM+MP'+P'N为AM+MP'+P'N'

当A、M、P、’V共线且AVJ.OV时，值最小.

最值系列之——将军饮马（二）

【将军过桥】

已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路

程最短？

考虑MN长度恒定，只要求4M+M?最小值即可.问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移,

使AM与N8连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时4点落在4位置.

问题化为求4N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置.

【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】

【将军过两个桥】

已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能

使路程最短？

考虑P。、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过

平移使其连接到一起.

AP平移至A'。，NB平移至MB，,化AP+0M+N8为/TQ+QM+MB，

【将军遛马】

如图，将军在4点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路

程最短？

【问题简化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？

河

【分析】考虑为定值，故只要AM+8N值最小即可.将AM平移使M、N重合，AM=4W,将AM+8N

转化为A'N+NB.

构造点4关于MN的对称点A“，连接A”B,可依次确定N、M位置，可得路线.

【例题】如图，在平面直角坐标系中，矩形A8CC的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点。的坐

标为（6,4）,E为CO的中点，点尸、。为BC边上两个动点，且PQ=2,要使四边形APQE的周长最小，

则点P的坐示应为.

【分析】考虑尸Q、AE为定值，故只要AP+QE最小即可，如图，将AP平移至4Q,考虑4'Q+QE

最小值.

V

(B)°

作点A，关于x轴的对称点A“，连接A”E,与x轴交点即为。点，左移2个单位即得P点.

【练习】如图，矩形ABCD中，AD=2,A8=4,AC为对角线，E、F分别为边A3、8上的动点，且

EF_LAC于点俯，连接AF、CE,求AF+CE的最小值.

【分析】此题难点在于要得到AF与CE之间的关系，方能将这两条线段联系到一起.过点E作

CD交CD于H点,由相似可得：FH=\.

BC

连接BH,则BH=CE

问题转化为B4+AF最小值.

参考将军遛马的作法，作出图形，WtBAF+BH=A'H+B,H=A,B,=5.

最值系列之辅助圆

最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值.在将军饮马问题中，折

点P就是那个必须存在的动点.并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的

对称即可.

当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助

圆.

在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给

的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题.

若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，4为圆外一点，

在圆上找一点尸使得必最小.

当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：

[2017四川德阳】

如图，已知圆C的半径为3,圆外一定点。满足OC=5,点尸为圆C上一动点，经过点。的直线/上

有两点4、B,JIOA=OB,ZAPB=90°,/不经过点C,则AB的最小值为.

【分析】连接。P,根据AAPB为直角三角形且。是斜边AB中点，可得。P是的一半，若AB最

小，则OP最小即可.

连接OC，与圆C交点即为所求点P,此时OP最小，AB也取到最小值.

一、从圆的定义构造圆

圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合.

构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧.

【2014成都中考】

如图，在边长为2的菱形ABC。中，NA=60。，M是4。边的中点，N是4B边上的一动点，将△AMN

沿所在直线翻折得到△A'MN,连接A，C,则A（长度的最小值是.

【分析】考虑AAMN沿MN所在直线翻折得到可得M4=MA=1,所以A'轨迹是以M点为圆

心，M4为半径的圆弧.

连接CM,与圆的交点即为所求的4"此时AC的值最小.

构造直角AMZ/C,勾股定理求CM,再减去4M即可.

【2016淮安中考】

如图，在RSABC中，NC=90。，AC=6,BC=8,点尸在边AC上，并且C尸=2,点E为边8c上的动

点，将ACEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是.

A

【分析】考虑到将AFCE沿EF翻折得到AFPE,可得P点轨迹是以尸点为圆心，FC为半径的圆弧.

过尸点作户HLAB,与圆的交点即为所求P点，此时点P到A8的距离最小.由相似先求尸”，再减

去FP,即可得到尸”.

【2019扬州中考】

如图，已知等边AABC的边长为8,点尸是A8边上的一个动点（与点A、8不重合）.直线/是经过

点P的一条直线，把AABC沿直线/折叠，点8的对应点是点当PB=6时,在直线I变化过程中,求AACB'

面积的最大值.

【分析】考虑/是经过点P的直线，且AABC沿直线/折叠，所以轨迹是以点P为圆心，PB为半径

的圆弧.

考虑AACB，面积最大，因为AC是定值，只需8,到AC距离最大即可.过户作作交AC于4

点，与圆的交点即为所求8'点，先求”B，，再求面积.

【2018相城区一模】

如图，矩形ABC。中，AB=4,BC=8,P、Q分别是直线8C、AB上的两个动点，AE=2,XAEQ沿EQ

翻折形成△FE。，连接尸人PD,则PF+P。的最小值是.

【分析】尸点轨迹是以E点为圆心，班为半径的圆，作点。关于BC对称点连接P。，PF+PD

化为PF+PD'.

连接E。，与圆的交点为所求产点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求E。,再减去EF即可.

'D'

二、定边对直角

知识回顾：直径所对的圆周角是直角.

构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

图形释义：

若AB是一条定线段，且NAP2=90。，则P点轨迹是以AB为直径的圆.

【例题】已知正方形A8C。边长为2,E、B分别是8C、CO上的动点，且满足BE=CF,连接4E、

BF,交点为尸点，则的最小值为.

【分析】由于E、尸是动点，故P点也是动点，因而存在P4最小值这样的问题，那P点轨迹如何确

定？

考虑BE=CF,易证AE_LBF,即在运动过程中，ZAPB=90°,故P点轨迹是以48为直径的圆.

连接0C,与圆的交点即为P点，再通过勾股定理即可求出PC长度.

思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆''（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无

定直线与定角.

【2013武汉中考】如图，E、尸是正方形48C。的边上的两个动点，满足凡连接CF交BO

于点G,连接BE交AG于点H,若正方形边长为2,则线段。“长度的最小值是.

【分析】根据条件可知：NDAG=NDCG=NABE,易证AG_L8E,即NA”B=90。,

所以，点轨迹是以AB为直径的圆弧

当。、H、。共线时，。，取到最小值，勾股定理可求.

【2016安徽中考】如图，RSABC中，AB1BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点，且满足

ZPAB=ZPBC,则线段CP长的最小值是.

A

【分析】VZPBC+ZPBA=90°,NPBC=/MB,

.*.ZMB+ZPBA=90°,

・・・ZAPB=90°,

・・・尸点轨迹是以AB为直径的圆弧.

当。、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求0C,再减去0P即可.

【寻找定边】如图，A8是半圆0的直径，点C在半圆0上，AB=5,AC=4.。是弧BC上的一个

动点，连接AO,过点C作CELAO于E,连接BE.在点。移动的过程中，BE的最小值为.

【分析】E是动点，E点由点C向AO作垂线得来，NAEC=90。，且AC是一条定线段，所以E点

轨迹是以AC为直径的圆弧.

当8、E、M共线时，BE取到最小值.连接BC,勾股定理求再减去即可.

【寻找定边与直角】如图，在R3ABC中，ZACB=90°,BC=4,AC=10,点。是AC上的一个动点,

以CD为直径作圆0,连接8。交圆0于点E,则AE的最小值为.

【分析】连接CE,由于CD为直径，故NCE£>=90°,考虑到C£>是动线段，故可以将此题看成定线

段CB对直角NCEB.

A

取CB中点M,所以E点轨迹是以M为圆心、C8为直径的圆弧.

连接AM,与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，AE=AM-EM=>J\02+22-2=2726-2.

（2019苏州园区一模）如图，正方形ABCQ的边长为4,动点E、F分别从点A、C同时出发，以相

同的速度分别沿48、CC向终点8、。移动，当点E到达点8时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG,

垂足为点G,连接AG,则AG长的最小值为

【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF,BG1EF,但N8GE所对的BE边是不确定的.

重点放在AE=CF,可得EF必过正方形中心。点，连接8D,与EF交点即为。点.

ZBGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以B0为直径的圆.

记8。中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用RSAOM勾股定理先求4例，再减

去GM即可.

【辅助圆+将军饮马】如图，正方形A8C4的边长是4,点E是4。边上一动点，连接BE,过点A作

AFVBE于点凡点尸是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为.

【分析】/AFB=90。且A3是定线段，故F点轨迹是以AB中点。为圆心、A8为直径的圆.

考虑PC+PF是折线段，作点C关于A。的对称点C，，｛-tPC+PFPC+PF,当C，、P、F、。共线

时，取到最小值.

【辅助圆+相切】如图，在RtAABC中，N4CB=90。，NB=30。，AB=4,。是BC上一动点，CE_LAO

于E,EFLAB交BC于点F,则CF的最大值是.

【分析】/AEC=90。且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧.

考虑EFLA8,且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值.

连接OF,易证△OCF0Z\OEF,ZCOF=30°,故CF可求.

三、定边对定角

在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角“，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周

角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相.定边必不可少，而直角则可一般为定角.例如，

AB为定值，NP为定角,则A点轨迹是一个圆.

当然，/P度数也是特殊角，比如30。、45。、60。、120。，下分别作对应的轨迹圆.

若NP=30。，以AB为边，同侧构造等边三角形A08,。即为圆心.

若/尸=45。，以48为斜边，同侧构造等腰直角三角形AO8,。叩为圆心.

若NP=60。，以AB为底，同侧构造顶角为120。的等腰三角形4。8,。即为圆心.

若/尸=120。，以AB为底，异侧为边构造顶角为120。的等腰三角形AOB,。即为圆心.

【例题】如图，等边△A8C边长为2,E、F分别是BC、CA上两个动点，KBE=CF,连接AE、BF,

交点为P点，则CP的最小值为.

【分析】由BE=CF可推得所以NAPF=60。，但乙4PE所对的边A尸是变化的.

所以考虑乙428=120。，其对边AB是定值.

所以如图所示，P点轨迹是以点。为圆心的圆弧.（构造OA=OB且/AO8=120。）

当0、P、C共线时，可得CP的最小值，利用RS0BC勾股定理求得0C,再减去0P即可.

【2017山东威海】如图，AABC为等边三角形，AB=2,若P为4ABC内一动点,且满足

则线段PB长度的最小值为.

【分析】由/以B=NACP,可得NAPC=120。，后同上例题.

【2019南京中考】在AABC中，AB=4,ZC=60°,ZA>ZB,则BC的长的取值范围是

【分析】先作图，如下

条件不多，但已经很明显，AB是定值，NC=60。，即定边对定角.故点C的轨迹是以点。为圆心的

圆弧.（作40=8。且乙4。8=120。）

题意要求即BOAC,故点C的轨迹如下图.

当BC为直径时，BC取到最大值，

考虑NA为AABC中最大角，故BC为最长边，BOAB=4.无最小值.

【2019武汉中考】如图，4B是圆。的直径，M、N是弧48（异于A、B）上两点，C是弧MN上一

动点，NACB的角平分线交圆。于点。，NBAC的平分线交CC于点E,当点C从点M运动到点N时，

则C、E两点的运动路径长的比是.

【分析】分别考虑C、E两点的轨迹，C点轨迹上是弧MCM其对应圆心角为NMOM半径为OM（或

ON）.

再考虑E点轨迹，考虑到CE、AE都是角平分线，所以连接BE,BE平分NA8C,可得：ZAEB=135°.

考虑到/4EB是定角，其对边AB是定线段，根据定边对定角，所以E点轨迹是个圆，考虑到/

ADB=90Q,所以。点即为圆心，D4为半径.

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E点轨迹所对的圆心角为是NMON的一半，所以C、E两点轨迹圆半径之比为1：根号2,

圆心角之比为2:1,所以弧长比值为根号2.

最值系列之瓜豆原理

在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点

的最值.

本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点尸，但最终问题

问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规

思路.

一、轨迹之圆篇

引例1：如图，P是圆。上一个动点，A为定点，连接AP,。为AP中点.

考虑：当点尸在圆。上运动时，。点轨迹是？

【分析】观察动图可知点。轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆0有什么关系？

考虑到。点始终为AP中点，连接40,取A。中点M,则M点即为。点轨迹圆圆心，半径是

0P一半，任意时刻，均有'△AMQSAAOP,QM:P0=AQ:AP^\:2.

【小结】确定。点轨迹圆即确定其圆心与半径，

由A、Q、尸始终共线可得：A、M、。三点共线,

由。为”中点可得：AM=1/2AO.

Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.

根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系;

根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.

引例2：如图，P是圆0上一个动点，4为定点，连接4P,作AQJL4P且Ag=A尸.

考虑：当点P在圆。上运动时，。点轨迹是？

【分析】。点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90。得A。，故。点轨迹与P点轨迹都是

圆.接下来确定圆心与半径.

考虑AP_LAQ,可得。点轨迹圆圆心M满足AM_LAO；

考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心"满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.

即可确定圆M位置，任意时刻均有AAP。畛△AQM.

引例3：如图，"P。是直角三角形，/刃。=90。且AP=2AQ,当P在圆。运动时，。点轨迹是？

【分析】考虑4PJ_A。，可得。点轨迹圆圆心M满足AM_LAO；

考虑AP:AQ=2:l,可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1.

即可确定圆例位置，任意时刻均有AAPOSAAQM,且相似比为2.

【模型总结】

为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点''，点。为“从动点

此类问题的必要条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（/以。是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）.

【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角:

ZPAQ=ZOAM：

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：

AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.

按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩.

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”.

【思考1］：如图，P是圆0上一个动点，4为定点，连接AP,以AP为一边作等边AAP。.

考虑：当点P在圆。上运动时，。点轨迹是？

【分析】

Q点满足（1）/B4Q=60。；（2）AP=AQ,故。点轨迹是个圆：

考虑NB4Q=60。，可得Q点轨迹圆圆心M满足NMAO=60。；

考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=40,且可得半径MQ=PO.

即可确定圆M位置，任意时刻均有AAP。丝△AQM.

【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆。旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP

与AQ的位置和数量关系.

【思考2】如图，P是圆0上一个动点，A为定点，连接AP,以AP为斜边作等腰直角AAP。.

考虑：当点P在圆。上运动时，如何作出Q点轨迹？

【分析】Q点满足（1）NB4Q=45。；（2）AP:AQ=&：1,故。点轨迹是个圆.

连接A。，构造N04W=45。且4。4用=收：1.M点即为。点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有AAOP

sXAMQ.即可确定点Q的轨迹圆.

【练习】如图，点P(3,4),圆尸半径为2,A(2.8,0),8(5.6,0),点M是圆尸上的动点，点C是

MB的中点，则AC的最小值是.

【分析】M点为主动点，C点为从动点，8点为定点.考虑C是中点，可知C点轨迹：取中

点O,以。为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹.

当A、C、。三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据8、P坐标求O,利用两点间距

离公式求得OA,再减去OC即可.

【2016武汉中考】如图，在等腰RSABC中，AC=BC=2^,点P在以斜边A8为直径的半圆上，M

为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为

【分析】考虑C、M、P共线及“是CP中点，可确定〃点轨迹：

取AB中点0,连接C0取C0中点£),以。为圆心，0M为半径作圆。分别交AC、BC于

E、F两点，则弧EF即为M点轨迹.

当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到加点的轨迹长为P点轨迹长一半，即可

解决问题.

【2018南通中考】如图，正方形A8CZ)中，AB=2旧,。是8c边的中点，点E是正方形

内一动点，0E=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90。得DF,连接AE,CF.求线段

OF长的最小值.

【分析】E是主动点，F是从动点，。是定点，E点满足E0=2,故E点轨迹是以。为圆心,

2为半径的圆.

考虑/且故作。M_LOO且。M=OO,尸点轨迹是以点M为圆心，2为半径

的圆.

直接连接0M，与圆M交点即为尸点，此时。尸最小.可构造三垂直全等求线段长，再利用

勾股定理求得0M,减去MF即可得到OF的最小值.

【练习】AABC中，AB=4,AC=2,以BC为边在"BC外作正方形BCCE,BD、CE交于点0,则线

段A0的最大值为.

【分析】考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB,将4c看成动线段,

由此引发正方形BCE。的变化，求得线段A。的最大值.

根据AC=2,可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆.

接下来题目求A。的最大值，所以确定。点轨迹即可，观察ABOC是等腰直角三角形，锐角

顶点C的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，所以。点轨迹也是圆，以AB为斜边构造等腰直

角三角形，直角顶点M即为点。轨迹圆圆心.

连接AM并延长与圆M交点即为所求的点。，此时A。最大，根据AB先求AM,再根据BC

与80的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到M0,相加即得A0.

A

此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、4'共线时，可得A0最大值.

或者直接利用托勒密定理可得最大值.

二、轨迹之线段篇

引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点尸在8c上运动时，Q

点轨迹是？

【分析】当P点轨迹是直线时，。点轨迹也是一条直线.

可以这样理解：分别过A、Q向8c作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为AP=2AQ,

所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线.

【引例】如图，AAP。是等腰直角三角形，/%。=90。且4P=A。，当点P在直线BC上运动

时，求。点轨迹？

【分析】当4P与4。夹角固定且为定值的话，/＞、。轨迹是同一种图形.

当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如。点的起始

位置和终点位置，连接即得。点轨迹线段.

【模型总结】

必要条件：

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（乙阴。是定值）;

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）.

结论：

P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于/用Q（当比90。时，NfiAQ等于MN与8c夹角）

P、。两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由可得AP:AQ=BC:MN）

【2017姑苏区二模】如图，在等边AABC中，A8=10,BD=4,BE=2,点尸从点E出发沿E4方向运

动，连结P。，以PD为边,在尸。的右侧按如图所示的方式作等边△CPF,当点P从点E运动到点A时,

点F运动的路径长是.

【分析】根据△/）2尸是等边三角形，所以可知尸点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点路径

长为8,故此题答案为8.

【2013湖州中考】如图，已知点A是第一象限内横坐标为2G的一个定点，ACLx轴于点M,

交直线产-x于点M若点尸是线段ON上的一个动点，ZAPB=30°,BA1PA,则点尸在线段ON

上运动时,A点不变,8点随之运动.求当点P从点。运动到点N时，点B运动的路径长是.

y

M

【分析】根据/物8=90。，乙4尸8=30。可得：AP-.AB=^-.\,故B点轨迹也是线段，且P点、

轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为73:1,P点轨迹长ON为2瓜,故8点轨迹长为2&.

【练习】如图，在平面直角坐标系中，A(-3,0),点B是y轴正半轴上一动点，点C、。在x

正半轴上，以A3为边在AB的下方作等边AABP,点B在)，轴上运动时，求OP的最小值.

【分析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据AABP是等边三角形且B点在直线上运动,

故可知尸点轨迹也是直线.

取两特殊时刻：(1)当点8与点。重合时，作出P点位置P1；(2)当点8在x轴上方且48

与x轴夹角为60。时，作出P点位置P2.连接P1P2,即为？点轨迹.

根据NABP=60。可知：《鸟与y轴夹角为60°,作OPJ,[6，所得OP长度即为最小值,

3

OP2=OA=3,所以。尸二工.

2

【2019宿迁中考】如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点、,且8E=1,尸为AB边上的一个

动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边AEFG,连接CG,则CG的最小值为.

【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将尸点看成

是由点8向点A运动，由此作出G点轨迹：

考虑到尸点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻

G点在G1位置，最终G点在G2位置（G2不一定在CD边），GG2即为G点运动轨迹.

CG最小值即当CGLGQ2的时候取到，作CHLGQz于点H,CH即为所求的最小值.

根据模型可知：GE?与夹角为60。，故

13

过点E作七尸，CH于点F,则〃下=G1E二1,CF=一CE=—,

22

所以CH=|,因此CG的最小值为|.

三、轨迹