人教A版高中数学第一册(必修1)课时作业5：4. 4 . 3 不同函数增长的差异

4.4.3不同函数增长的差异

基础达标

一'选择题

1.当X越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是()

A.y=5xB.y=log5%

Cj=x5D.y=5x

『解析』几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.

『答案』D

2.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为

()

X45678910

y15171921232527

A.一次函数模型B.二次函数模型

C.指数函数模型D.对数函数模型

『解析』随着自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的，故为线

性函数即一次函数模型.故选A.

『答案』A

3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍，需

经过y年，则函数y=/(x)的图象大致是()

『解析』设该林区的森林原有蓄积量为

由题意，ax=o(l+0.104)〉，故y=logLio4%(xNl),

•••y=Ax)的图象大致为D中图象.

『答案』D

4.当2<%<4时，2Lx2,log2X的大小关系是()

A.2x>x2>log2%B.x2>2JC>log2%

C.2*>log2X>fD.x2>log2X>2%

『解析』法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=log2X,y=f,y=

2"的图象(图略)，在区间(2,4)上从上往下依次是y=2x,y=log2X的图象，

所以X2>2%>log2X.

法二比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x=3,

经检验易知选B.

『答案』B

5.如图所示是某条公共汽车路线收支差额y与乘客量x的图象(收支差额=车票收

入一支出费用).由于目前本条路线在亏损，公司有关人员提出了两条建议：

建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用；建议(2)是不改变支出费用，提高车票

价格.图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态.下列说法中正确的是

)

y

1

1/

o

A

1

O

A

③④

A.①反映了建议(2),③反映了建议(1)

B.①反映了建议(1),③反映了建议(2)

C.②反映了建议(1),④反映了建议(2)

D.④反映了建议⑴,②反映了建议(2)

『解析』建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用，也就是增大y,车票价格

不变，即平行于原图象.故①反映了建议(1);建议(2)是不改变支出费用，提高车

票价格，即图形增大倾斜度，提高价格，故③反映了建议(2).故『答案』为B.

『答案』B

二、填空题

6.工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y=a-0.5x+b,现已知该

厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份生产

该产品的产量为万件.

1=0.5。+仇

『解析』由题意有<

」.5=0.25。+人,

a=-2,

解得［=2，N=-2X0.5X+2,

•••3月份产量为y=-2X0.53+2=1.75（万件）.

『答案』1.75

7.(多空题)三个变量"，"，”随变量x的变化情况如表:

X1.003.005.007.009.0011.00

yi5135625171536456655

529245218919685177149

5.006.106.616.957.207.40

其中关于x呈对数函数型变化的变量是,呈指数函数型变化的变量是

,呈募函数型变化的变量是.

『解析』根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，72随着X的增大而迅

速增加，呈指数函数型变化，V随着X的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数

型变化，力相对于>2的变化要慢一些，呈嘉函数型变化.

『答案』y3y2yl

8.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程力a)a=i,

2,3,4)关于时间x(xNO)的函数关系式分别为/1(%)=2'—1,^(x)=x*2,fi(x)=x,

力(x)=log2(x+1).有以下结论：

①当x>l时，甲走在最前面；

②当x>l时，乙走在最前面；

③当0<%<1时，丁走在最前面，当x>l时，丁走在最后面；

④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；

⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.

其中，正确结论的序号为.

『解析』四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确.

『答案』③④⑤

三'解答题

9.某公司对营销人员有如下规定：

①年销售额x（万元）在8万元以下，没有奖金；②年销售额H万元）在『8,64J内

时，奖金为y万元，且y=logax,『3,6j,a>0且aWl,且年销售额越大，

奖金越多；③年销售额式万元）超过64万元，按年销售额的10%发奖金.

（1）求y关于x的函数『解析』式；

（2）若某营销人员争取年奖金y©『4,10』（万元），求年销售额x所在的范围.

解（1）由题意知y=logd是增函数，

••1,

又当x©『8,64J,yG『3,6j,

log；8=3,

♦f••<7=2,

Jogfl64=6,

CO,0Wx<8,

.,.y=，log2X,8WxW64,

110%X,x>64.

[log2%^4,

（2）由题意得解得16WxW100,

年奖金ye『4,10』（万元）时，年销售额X的取值范围为『16,100』.

10.我国的烟花名目繁多，花色品种繁杂.其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,

制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，通过研究，发现该型烟花爆裂时距地

面的高度以单位：米）与时间/（单位：秒）存在函数关系，并得到相关数据如下表：

1

时间24

t2

高度九102517

(1)根据上表数据，从下列函数中，选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高

度力与时间/的变化关系;8=笈+0,”=。/+初+。,第=。少，确定此函数『解析』

式，并简单说明理由；

(2)利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求出此时烟花距地面的高度.

解(1)由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的

趋势，则在给定的三类函数中，只有券可能满足，故选取该函数.

「1,1,

10=jtz+2^+c,

设的尸疗+初+c,有<25=4a+26+c,今

J7=16a+40+c

a=-4,

6=20,

c=l.

h(t)=—4尸+20/+1(/20).

(2W)=-4?+20r+l

=-4(F-5/)+1=-41-J+26,

•••当烟花冲出后2.5s时是爆裂的最佳时刻，此时烟花距地面的高度为26米.

能力提升

11.四人赛跑，假设他们跑过的路程：力(x)(其中不{1,2,3,4})和时间x(x>l)的

函数关系分别是力(x)=f,fi(x)=4x,方(x)=logM,f^x)=T,如果他们一直跑下

去(不考虑其他因素)，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()

A./i(x)=^2B及(x)=4x

C指(X)=10g2XD力。)=》

『解析』显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具

有的函数关系是力(x)=2，，故选D.

『答案』D

12.已知函数y=/(x)是函数y=log2X的反函数.

⑴求尸治)的『解析』式；

(2)若xG(O,+8),试分别写出使不等式：

①logaxayx2；

②10g2X<x2<2x成立的自变量》的取值范围；

(3)求不等式10gaQ-3)>l0ga(5—X)的解集.

解(1)'.,函数y=«r)是函数y=log2X的反函数，

(2)作出函数y=2*,y=f,y=log2X在同一直角坐标系中的图象，可得：22=4,

24=42=16,下面借助图象解决问题.

25

勿

23

22

21

2()

19

18

17

16

15

14

13

1U2

1(9)

8

7

6

5

4

3

\2

①,.♦log2X<2x<x2,.\2<x<4,解集为(2,4)；

(!),.,Iog2x<x2<2%,.•.0<x<2或x>4,解集为(0,2)U(4,+«=).

(3)由10ga(X—3)>10g°(5—X)得,

fx-3>0,

当a>l时，，5—x>0,解得4<x<5,

lx—3>5—x,

fx-3>0,

当0<t?<l时，，5—x>0,

lx—3<5—x,

解得3<x<4,

所以，当