人教版小学六年级数学上册导学案：八数学广角-数与形

入教学广角——教与形

本单元教学大纲

母愁燮号楣

【教学目标】

1•能在观察活动中发现图形中隐含的规律，体会“图形与数”的关系。

2•能正确地观察和分析图形的变化规律，并能根据规律画出所缺的图形，感受数形结合

的思想。

【重点难点】

1•在生活中发现图形中隐含的规律，体会数形结合的思想。

2•学会分析数与形之间的变化规律.

【课时安排】本单元建议安排2课时

1•数与形

(1)..........................................................................................................................................1课时

2•数与形

(2)..........................................................................................................................................1课时

第1课时数与形(1)

【教学内容】

教材第107页例1»

【教学目标】

1•能在观察活动中发现方格阵中隐含的规律，体会“图形与数”的关系。

2•能正确地观察和分析图形的变化规律，并能根据规律画出所缺的图形，感受数形结合

的思想。

【教学重难点】

重点：在活动中发现方格阵中隐含的规律，体会数形结合的思想。

难点：学会分析数形之间的变化规律。

【教学准备】

多媒体课件

【激情导入】

同学们，你们见过阅兵式吗？(出示阅兵式录像)这些解放军战士的队伍排得多么整齐啊！

如果我们用一个小方格表示一个士兵，那么由战士组成的兵阵就变成了我们今天要学习的方

格阵.(板书课题：数与形(1))

【探求规律】

课件出示教材第107页例1的方格阵图。

I•一探

师：图中有几个方格阵？每个方格阵各有几个方格？有窍门吗？

这时学生可能会说：“我是用算式算出来的。”教师根据学生的回答，板书第一组算

式：

第1个1X1=1=12

第2个2X2=4=22

第3个3X3=9=32

第4个4X4=16=42

（一个“算”字，使学生的思维顺利地实现了由形到数的第一次转换。）

师：这种数法真是又快又方便！照这样下去，第5个方格阵有多少个方格呢？第6个呢？

第7个呢？第100个呢?……

师：好像很有规律哦？谁发现了？

（有了前面的铺垫，学生很容易总结出“第几个方格阵就用几乘几”。也有的学生可能会

说：“第几个方格阵就是几的平方。）

师：那第n个方格阵呢？

（通过画方格阵的过程，体现由数到形的转换，培养学生主动进行数形转换的意识。）

师：能不能换个角度观察？

2•二探

斜着看又可以得到什么样的算式呢？请同学们独立思考，写出算式，然后汇报。

教师板书：

第1个1=12

第2个1+2+1=4=22

第3个1+2+3+2+1=9=32

第4个1+2+3+4+3+2+1=16=42

师：谁发现了什么规律呢？（如“第2个方格阵就从1加到2再加回来，第3个方格阵就

从1加到3再加回来，第4个方格阵就是从1加到4再加回来”。“第几个方格阵就从1连

续加到几，再反过来加回到1”这个规律。）

3,三探

师：刚才同学们发现了方格阵中的两个规律，这些方格阵中还有其它的规律吗？还能换

个角度去思考吗？（课件演示）

小组讨论，列出算式，全班汇报。

第1个：1=F

第2个：1+3=4=22

第3个：1+3+5=9=32

第4个：1+3+5+7=16=42

第5个：1+3+5+7+9=25=52

有的学生可能会说：“这次都是奇数相加

师：从奇数几加起？加几个？是随意的几个奇数相加吗？（引导学生说出“第几个方格阵

就从1开始加几个连续奇数”）

4•小结:刚才我们从三个不同的角度观察同一组正方形方格阵得到了三条不同的规律，

也许

再换一个角度观察，还可以得到新的规律，课余大家可以自己去研究。

【课堂练习】

教材第108页“做一做”第1题。

【课后作业】

教材第109〜110页第1〜4题。

【板书设计】

数与形(1)

一探：

第1个1X1=1=12

第2个2X2=4=22

第3个3X3=9=32

第4个4X4=16=42二探：

第1个1=1

第2个1+2+1=4

第3个1+2+3+2+1=9

第4个1+2+3+4+3+2+1=16

三探：

第1个1=『

第2个1+3=4=22

第3个1+3+5=9=32

第4个1+3+5+7=16=42

第5个1+3+5+7+9=25=52

第2课时数与形(2)

敬藜斐品楣

【教学内容】

教材第107页例2。

【教学目标】

1•能在观察活动中发现算式中隐含的规律，体会“图形与数”的关系。

2•能正确地观察和分析图形的变化规律，感受数形结合的思想。

【教学重难点】

重点：在图形中发现算式中隐含的规律，体会数形结合的思想。

难点：学会分析算式或数字之间的规律。

【教学准备】

多媒体课件

蟾教学选整

【复习导入】

你能很快地算出下列算式的答案吗？

31

125X32X2524X(-+-)

(6.81-2.572)X(1-5.7:5.7)

9•5X8.8+0.02X95+9.5

202X99-198

通过这几组题的练习，你有什么体会？(我们在做四则混合运算题时，一定要全面审题，

时刻提高简算意识，根据题目中数字及符号的特点，灵活地进行计算。)

今天，我们就继续来学习数字中的规律。(板书课题：数与形(2))

【探求规律】

1•课件出示教材第107页例2：

计算：尹正+支+区+…

(1)仔细观察算式，你能发现算式中有什么规律吗？(从第二个数开始，每个数是前一个数

的5。)

(2)学生试做，你发现了什么？

2+4=44+8=8

7,11515,131

8十161616十3232

我们会发现最后的结果越来越接近于1。那么这题的结果等于1吗？

(3)为了帮助我们分析这题的结果，我们可以画图来帮助分析：

①先画一个圆来表示'T'。

通过上图我们可以发现，如果无限期的加下去，这道算式的结果就是一个圆，也就等于

②也可以用一条线段来表示“1”。

通过这个线段图我们也可以发现如果无限期的加下去这道算式的结果就是这条线段，

也是等于lo

(4)计算：1+i+|+16+32+W+-,=1

2•尝试练习。

教材第108页第2题。

(1)学生仔细读题，认真思考问题。

(2)对照图和数字，小组讨论，找出数字中的规律。

(3)组长汇报结果：第6个图形有6个红色小正方形，有18个蓝色小正方形。

规律：第n个图就有n个红色小正方形，蓝色正方形的个数=2n+6。

所以第10个图形有10个红色小正方形，有26个蓝色小正方形。

【课堂练习】

教材第111页第7题。

要求：学生独立思考，对照图形，找出规律。

【课堂作业】

教材第"0〜111页第5、6、8题。

【板书设计】

数与形（2）

111111

巢

例

、r---

2:248

1632+64

IiiIT

2~TO35-

I,I,I,I,I,I,,

/Z+W+元+交+百+…=1

一、教材说明和教学建议

（-）教学目标

1、使学生通过自主研究发现图形中隐藏着的书的规律，并会应用所发现的规俸。

2、使学生会利用图型来解决一些有关的问题。

3、使学生在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合'、归纳推理、极限等基

本的数学思想。

（二）内容安排及其特点

1、教学内容和作用。

数形结合是一种非常重要的数学思想，把数与行结合起来解决问题可使复杂的问题

变得更简单，使抽象的问题变得更直观。

数与形相结合的例子在小学教材中比比皆是。有的时候,是图形中隐含着数的规俸,

可利用数的规俸来解决图形的问题。有时候，是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学

原理与事实，让人一目了然。尤其是小学生思维的抽象程度还不够高.经常需要借助直观模型

来帮助理解。例如：利用长方形模型来教学乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除

法的算理，利用面积模型来解释两位乘两位数的算理、乘法分配律、完全平方公式等（如下

图）。

°51015202530354045505560氐曲织e

1小时丸了

□zm

还有时候，数与形密不可分，可用“数”来解决“形”的问题，也可以用“形”来解决“数”

的问题。例如：几何及微积分中曲线与方程、方程组及函数与图像互为工具互为解释，有机

融合。小学中的正比例关系和反比比例关系图象也很好的反映了这样的思想。

本单元中，教材以“1+3+5+7+........+(2n-l)=n2”“1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64

+……=1”为例，引导学生认识和利用数学与形的结合，可以解决一些有趣的数学问题。

具体编排结构如下：

,------等差数列1,3,5,…之和与正方形数的关系例1

数与形T

求等比数列1/2,1/4,1/8,…之和例2

从上表可M看出，本单元的教学内容分为两个层次。

一是使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点表示出数的规律。例如，例1中，

从图形的角度直观的理解“正方形数”和“平方数”的特点。

二、是借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。例如，例2中，解决1/2+

1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+……的求和问题,教材利用分数意义的直观模型，使学

生直观的理解“无限”的抽象概念；再如，练习二十二第6题，通过画示意图的方式可以比

较便捷的解决比较抽象的问题。2、教材编排特点。

本单元教材在编排上有下面几个特点。

(1)突出探索规律、应用规律的编排意图。不管是数还是形，都突出对其规律的探索。例如，

通过观察和计算1、1+3、1+3+5、1+3+5+7+…既能发现加数的规律(从1开始的连续奇数的

相加)，又能发现和的规律(都是连续的正方形数)；通过观察和计算1/2+1/4.1/2+1/4+1/8、

1/2+1/4+1/8+1/16,…同样，既能发现加数的规律，又能发现和的规律。在发现规律的基础

上，通过推理，再引导学生把规律应用于一般的情形，解决问题。

⑵在利用数形解决问题的过程中积累基本的活动经验，培养基本的数学思想。例如，在例

2中，让学生通过计算，发现和越来越趋向于1,感受什么叫“无限接近”。虽然无法一一穷

举所得的结果，但可以利用观察到的规律进行“无穷无尽的”类推。使学生在这一过程中体

会推理和极限的思想。

(三)教学建议

1、引导学生数形结合，相互印证。

形的问题中包含数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，教学时，要让学生通过解决问

题体会到数与形的这种完美结合。既可以从数的角度出发，让学生看看可以怎样用图形来表

示数的规律，也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。通过数与形的对应关系，互相印

证结果、感受数学的魅力。例如，在例1中可以先让学生计算1+3+5+…的得数，使学生发现

得到的和都是“平方数”，再通过图形的规律理解“平方数”和“正方形数”的含义。也就是

说，如果用1个小正方形、3个小正方形、5个小正方形……可以共同拼出一些大小不一的大

正方形图。也可以有规律的呈现由小正方形拼成的大小不一的大正方形图，让学生看看前后

两个大正方形图相差多少个小正方形，例如，边长是2的大正方形和边长是1大正方形，相

差的是3个小正方形;边长是3的大正方形和边长是2大正方形,相差的是5个小正方形……

相差的小正方形数正好是“71”形中的小正方形数。因此，每个大正方形图中都隐藏着一个

算式，即1+3+5+…+(2n—1)—n2()

2、使学生感受到用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。

图形的直观、形象的特点，决定了化数为形往往能够达到以简驭繁的目的。例如，例2中，

用举例的方法求出等比数列的有限和，都不能证明无限多项相加的结果为1。但是如果用圆

和线段的图形加以说明，学生则比较容易理解当一个数无限趋近于1时，其结果就是1.一个

极其抽象的极限问题，由于用图形来解决，就变得十分直观和便捷了。

3、引导学生从不同的角度探索数与形的通用模式。

小学阶段，虽然不要求写出一个数列的通式，但可以通过数形结合的方法，利用图形的规律，

从不同的角度，用自己的语言描述出数列的通用模式。例如，第109页第1题，根据例1的

结论，很容易得到第n个图形中最外围的小正方形数为：(2n+l)2-(2n-l)2,也可以从结

果看到第一个图最外圈有8个小正方形，第二个图最外圈有8X2个小正方形，第三个图最外

圈有8*3个小正方形……通过推理，可知第n个图最外圈就有8Xn个小正方形，每一次都是

在前一个图的基础上增加8个小正方形。还可以引导学生进一步思考：每次多的这8个小正

方形都是怎么来的？使学生观察到是由于每边增加2个小正方形所产生的。

课题：数与形

教学内容：教科书第107—108页例1,例2及相关内容.

主备人：时间：2014.9课型：新授

教学过程：

一、创设情景，导入新课

这节课我们要学习新内容。

二、探索交流，解决问题I―I—I

1、例1的教学~~

师(出示下图)：我们一起来看看这些图中图2和图3各有多少个像图1这样的小

正方形？

生：图二中有四个图一这样的小正方形图三中有9个这样的小正方形？

师：同学们动动脑尝试用算式表示出每个图中小正方形的个数？

生：图一：1X1=1：图二2X2=4：图三：3X3=9。

师：观察这几个图形与计算出的得数(1,4,9).你还有什么发现？

生：从图一开始小正方形的个数是在前一图基础上分别加3,加5.

根据学生的回答，把图中小正方形图上不同的颜色进行演示。

师：如果我们把刚才同学们表示图中小正方形个数而列出的不同算式综合起来，会是什么样

的呢？

生：1=1X

11=1的平

1+3=2X2=4教师板书归纳1+3=2的平方

1+3+5=3义3=91+3+5=3

的平方

师：在这里形能直观解释数的计算.同学们想一想，按照这样的规律图4会是什么样子？有几

个这样的小正方形？同桌两人合作，仿照黑板上的算式，一人说等号左边的部分怎么写，一

人说等号右边部分怎么写，有困难可以在草稿上画一画图.

学生合作交流，并利用规律完成例1下面题目

师：观察例1中的这些题目，你有什么发现？

生1：大正方形左下角的小正方形和其他正方形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行

或每列小正方形个数的平方。

生2：左边加法算式里的加数都是奇数。

生3：有几个数相加，和就是几的平方。

生4：第几个图形就有几个数相加，和就是几的平方。

师：根据这个同学的发现，想一想，第10个图中有多少个小正方形？第100个图中呢？

学生汇报

师：同学们非常善于观察和思考，学习中我们利用计算求出了图形中小正方形的个数，反过

来直观的图形也更好地帮助我们理解了计算中各数的含义。

2、例2的教学

师：（出示例2）：观察这个算式你能发现什么规律？

生1：从左往右看这些分数越来越小。

生2：这些分数的分子都是1,分母都是偶数。

生3：从第2个数开始，每个数是前一个数的。

师：算式右边省略号表示什么意思？你准备怎么计算这道题？

生：意思是按照这样的规律写下去，加数有无数个。我准备先求出前两个加数的和，再用和

去加第3个加数，得数再去与第四个加数相加，以此类推。

学生汇报进行计算

学生汇报：

1/2+1/4=3/4

3/4+"8=7/8

7/8+1/16=15/16

师：谁再来说说你加到了第几个加数，得数多少？

学生汇报，板书：32/32,63/64,127/128……

师：观察这些算式的得数，你有什么发现？

生1：得数的分子与分母相差L

生2：得数