人教版六年级数学下册第六单元第1课时数学思考

4.数学思考教学笔记

第1课时数学思考(1)

教学内容

教科书P100第1题及“做一做”，完成教科书P103“练习二十

二”中第1〜4题。

教学目标

1.用数形结合的方法，在动手操作的过程中寻求“平面点间线

段”的规律，掌握正确数线段的方法。

2.通过观察、分析、归纳等过程，进一步发展合情推理和解决

问题的能力。

3.体会数形结合、化归(化繁为简、化难为易)等数学思想，提高

探索数学的兴趣。

教学重点

规律的发现与提炼。

教学难点

理解化繁为简的数学思想。

教学准备

课件。

教学过程

一、出示问题，揭示课题

师：请你们在纸上任意点上8个点，并将它们每两点连成一条

线，再数一数，看看连成了多少条线段。

【学情预设】学生独立尝试连线，数线段，但都表示“太乱了，

数不清”。

师：同学们，8个点连出来的线段，数量多，很难数清楚。所

以，这样的问题，我们不应该直接用数的方法来解决，而是要研究

其中的规律，巧妙地解决。今天我们就来学习数学思考的内容。[板

书课题：数学思考(1)]

【设计意图】直接呈现“8个点可以连多少条线段”的问题，大

多数学生会遇到数不清、混乱的情况，由此“如何才能解决这教学笔记

个问题”的需求就产生了。

二、合作学习，寻求数线段中的规律【教学提示】

1.合作探究。师：刚才大家遇到了困难，认为点太多不好处理。此活动

大家想过没有，如果不是8个点，你能解决吗？也就是说如果点少教师不必细

一些，能解决吗？请大家以小组为单位，可以画一画，也可以列表,化引导，仅提

看能否发现其中的规律。示思维方向，

学生活动，教师巡视指导并收集信息。以此来隐性

【学情预设】学生活动时，可能想不到列表，或列表不完整，告诉学生，化

教师可以深入到组内适当引导。多为少、化繁

2.汇报展示。为简，将数学

师：哪一组向大家汇报下你们的想法？思想方法渗

【学情预设】学生可能出现下面情况。透其中。

预设1：无过程图，仅留最后连线图，但找到了前2~6个点的

规律。

前2~6个点连线的线段数分别是：1、3、6、10、15。

预设2：有过程，但表格不完整，如下表。

点数23456

总条数1361015

增加：2条3条4条5条

预设3：图形与表格比较完整，情况如下。

•・•-------1名

图形\/.....

\•//

¥WW

点数23456.....

增加条数—2345.....

总条数1361015.....

师：通过同学们的展示、交流，你有什么发现？

【学情预设】引导学生说出：在2个点的基础上，每增加一个教学笔记

点，这个点就可以和前面已有的每个点都连成一条线段，所以前面

有几个点，就会增加几条线段。【教学提示】

课件演示过程，小结：每次增加的线段条数比点数少1。交流过

师：用算式来表达规律，8个点能连几条线段？你有什么发现程中，注意引

呢？导学生抓住

【学情预设】学生会列出算式：1+2+3+4+5+6+7=28（条），引两个关键:一

导学生总结出：1+2+3+4+5+6+…+（点数-1）=总条数。是要想到每

板书：1+2+3+4+5+6+…+（点数-1）=总条数一个新增的

3.应用规律。点都要与之

师：现在你能用我们发现的规律直接算出12个点、20个点、前的点相连，

100个点能连多少条线段吗？从而得到新

学生独立完成后集体交流。增的线段数

【学情预设】预设1：12个点能连成66条线段，算式是的规律；二是

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66（条）。要指导学生

预设2：20个点能连成190条线段，算式是从表示线段

1+2+3+4+5+6+7+8+...+19=190（条）。总数的算式

预设3：100个点能连成4950条线段，算式是中发现规律，

1+2+3+4+5+6+7+...+98+99=4950（条）。实现归纳。

师：刚才我发现有的同学在计算时很快地求出了结果，谁来分

享一下？

【学情预设】学生会说出：点数x（点数-1）+2=总条数。

师:如果有n个点，每2个点连一条线段,能连多少条线段呢？

【学情预设】引导学生说出可以用l+2+3+4+5+6+...+（n-l）=总

条数,也有学生说用nx（n-l）:2来求，教师都要予以肯定。

板书：l+2+3+4+5+6+...+（n-l）=总条数

4.回顾反思。

师：请大家静静地回顾刚才解决问题的过程，你有什么想法?

【学情预设】学生可能会说遇到复杂的问题，可以用化繁为简教学笔记

的思想，从简单入手，寻找规律，再运用规律解决问题。根据学生

回答板书：化繁为简

【设计意图】课堂中给学生回顾与反思的时间，有机会交流在

解决问题的过程中的收获，使学生能更深层次理解数学思想在解决

问题中的作用。

三、及时巩固，深化思想

1.完成教科书P100“做一做”。

学生独立完成，并在组内交流。

【学情预设】学生不难发现棋子排列中的规律，得到每条边上

棋子数的平方就是棋子的总数。第〃幅图就有层个棋子。

2.完成教科书P103“练习二十二”第1~4题。

【学情预设】第1题：引导学生寻找数与项数之间、前后数之

间的关系来探索规律。第⑴题的规律是相邻两个数之间的差依次

加1,从第一个数开始“+8、+9、+10、+11、+12.......”；第(2)题的

规律是第1项、第3项、第5项、第7项数连续乘2,第2项、第

4项、第6项、第8项数连续加3。

第2题：让学生观察序号和形状之间的关系，观察小棒根数与

三角形个数之间的关系。从图②开始，平行四边形、梯形依次有规

律地出现；小棒的根数，则是每次增加2根。对于第(3)题，不严

格要求答案统一，学生可能发现的规律是3+25-1),也可以引导学

生统一化简为2n+lo

第3题：学生解决这个问题比较轻松，把“1面红旗、2面黄

旗、3面绿旗”看成一组，运用有余数的除法，即可推理得出第55

面和第100面彩旗的颜色。

第4题：引导学生回顾多边形内角和的求法，再让学生独立解

决问题。这道题不是新问题，根据边数与可划分的三角形个数，可

容易地推理得到n边形内角和为02)x180。。

【设计意图】这些练习需要有序思考，找到规律，然后应用规

律进行计算或符号化表达，帮助学生进一步发展观察、枚举、归纳教学笔记

能力，提升推理水平。

四'课堂小结

师：通过今天的学习，你们有哪些收获呢？

板书设计

数学思考(1)

1+2+3+4+5+6+…+(点数-1)=总条数

1+2+3+4+5+6+…+(〃/)=总条数

化繁为简

教学反思

本课教学中先让学生产生认知冲突，从而激发学生寻求解题策

略的欲望，继而引导学生“从最简单的情况入手”，边探索边寻求

答案，进而帮助学生理解化繁为简的数学思想。在教学活动中还要

注意两点：一是教科书中的策略是以增加的点为关键，从而引出线

段增加的条数，继而找出结果，策略是多样的，可以充分利用学生

的已有知识内容让学生独立思考，直接找出数的变化规律，即不要

过于限制学生的思维；二是在寻找规律时，也不必限制几个点，可

以边数线段边找规律，一旦发现规律就可以归纳出一般情况。

作业设计

对应课时作业。

不是数学书

可知，小刚

第2课时数学思考(2)拿的是音乐

书，则小丽

教学内容

拿的是数学

教科书P101第2题，完成教科书P103〜104"练习二十二”中第

书。

5~8题。

师：这

教学目标

些问题是我

1.初步掌握用列表、符号表达逻辑关系等直观手段解决一些简

们以前学过

单的逻辑推理问题。

的推理问

2.在逻辑推理的过程中，初步掌握表格推理的方法，学会有序、

题，在推理

全面地思考问题，不断积累数学活动经验。

时可以根据

3.通过逻辑推理的尝试与体验，提高学习数学的兴趣。

教学笔记

教学重点

用不同的符号正确表达逻辑关系。

教学难点

正确解读符号，有序描述逻辑关系。

教学准备

课件。

教学过程

一、复习旧知，揭示课题

课件出示习题。

课件出示

(1)小红和小明分别拿着语文书和数学书，小红说:“我拿的不是数学书。''那：

:么，他们两人究竟各拿什么书？

(2)小天、小丽、小刚分别拿着语文书、数学书、音乐书。小天说：“我拿的是：

:语文书。”小刚说:“我拿的不是数学书。”那么，小丽拿的什么书？

师：同学们还会解决这样的推理问题吗？请大家试一试，看能

用什么方法解答。

【学情预设】预设1：根据小红说的话可知她拿的是语文书，

小明拿的是数学书。

预设2：根据小天说的话可知他拿的是语文书，根据小刚拿的

各量之间的关系直接推理，也可以利用表格把各量之间的关系表示教学笔记

出来进行间接推理。

出示课件。

课件出示

小天小丽小刚

语文书VXX

数学书XVX

音乐书XXV

师：你能看懂这个表格吗？

【学情预设】引导学生明确7”表示拿的是这本书，“x”表示

拿的不是这本书。例如小天拿的是语文书，那么他就不可能拿数学

书和音乐书，小丽和小刚都不可能拿语文书……【教学提示】

师：同学们对简单的推理问题分析得有理有据，得出了正确的在解决

结论。这节课，我们来学习较复杂的推理问题。希望同学们积极开这个稍复杂

动脑筋，作出准确的推理判断。[板书课题：数学思考(2)]的逻辑推理

【设计意图】唤起学生的旧知，再引导学生把熟悉的内容进一问题时，教师

步的提升，向学生介绍列表法，将数学思想方法渗透其中，为后面要引导学生

的教学做好铺垫。借助表格逐

二'合作探索，学习逻辑推理步缩小范围，

1.阅读与理解。找到答案，体

课件出示会“排除法”

:腐件出示-........................I的应用。

2.六年级有三个班，每班有2个班长。开班长会时，每次每班只要一个班长参；

加。第一次到会的有A、B、C；第二次有B、D、E；第三次有A、E、F。请问：哪两；

:位班长是同班的？

师：默读题目，你能读懂吗？在小组内说一说你读懂了什么。

【学情预设】这道题初次接触，学生会觉得比较复杂，很难读

懂。教师可以让学生说说，第一次到会的有A、B、C,说明A不

可能与谁同班，引导学生理解同班的两个人不可能同一次到会，也

不可能都不到会。

2.分析与解答。

师：现在我们理解了题意，你能用列表的方法来进行分析吗?

试一试。（板书：列表法）教学笔记

学生独立思考，完成后在小组内交流后汇报。

【学情预设】预设1：我用“十表示到会。

ABCDEF

第一次VVV

第二次VVV

第三次VVV

预设2：我用表示到会，“X”表示没有到会。

ABCDEF

第一次VVVXXX

第二次XVXVVX

第三次VXXXVV

师：观察表格，从三次到会的情况来分析，你发现了什么？

【学情预设】引导学生说出从第一次到会的情况可以看出，A

只能和D、E、F同班；从第二次到会的情况可以看出，A只能和

D、E同班；从第三次到会的情况可以看出，A只能和D同班。

师：那么B和C分别与谁同班？

【学情预设】A和D同班，在剩下的B、C、E、F中，从第

一次到会的情况可以看出，B只能和E或F同班；从第二次到会的

情况可以确定，B只能和F同班。所以C只能与E同班。

师：你听懂了吗？和同桌一起说一说推理的过程吧！

同桌之间一起说推理过程。

师：解决问题的方法是多种多样的，还有其他的推理方法吗？

谁来跟大家分享一下你的想法？

【学情预设】学生可能会说，结合第一次和第三次的到会情况,

可以推理出A不能与B、C、E、F同班，所以A只能与D同班；

再结合第一次和第二次的到会情况，可以推理出B不能与C、E

同班，就只能与F同班，最后推理出C与E同班。

师：这种推理方法也很棒！充分利用排除法进行直接推理，得教学笔记

到的结论都是相同的。

（板书：排除法）

师：在上面的展示中大家都用y”表示到会，还可以用别的符号

表示吗？

【学情预设】学生可能用各种不同的符号，如“到”和“缺”“i”

和“0”“▲”和“△”等。【教学提示】

师：我们还可以这样来表示题意（课件出示表格），再来推理练习过

一次吧！程中，学生可

;卷,件出示.....................-.........,能会讲到正

用数字“1”表示到会,用数字“0”表示没到会。确的理由，但

ABCDEF

第一次111000在表达上会

第二次010110

出现逻辑性

第三次100011

不强、严谨性

学生跟着课件的演示说推理的过程。

不够等问题。

【设计意图】应用列表的方法可以直观、清晰地呈现抽象的已

教师应发挥

知信息，有利于学生整体把握信息之间的联系，推理得出结论。放

引领作用，帮

手让学生列表分析，经历推理的过程,每种方法都让学生充分表达，

助学生梳理

在交流中体会逻辑推理。

过程：推理的

三'综合练习

步骤是怎样

.完成教科书“做一做”。

1P101的？每一步

学生独立完成后汇报交流。

的依据是什

【学情预设】直接推理：丁叔叔不是工人，假设他是教师，就

么？表述的

和“只有刘阿姨和李叔叔职业相同”产生矛盾，因此，丁叔叔是军人。

方式怎样才

王阿姨刘阿姨丁叔叔李叔叔规范？

工人VXV

教师VX

军人V

2.完成教科书P104“练习二十二”第7、8题。

学生小组内合作完成并交流，集体汇报。教学笔记

【学情预设】第7题：学生可能会主动调用前面所学的列表分

析的经验，自己设想表格的列法、信息的表示，自主推理。也有学

生不列表，根据信息用排除法直接判断名次，如“2号不是第4名”,

只可能是第2名或第3名，但号码与名次不同，因此只能是第3

名。

第8题：学生在尝试的过程中可能会遇到困难，引导学生通过

找出题中互相矛盾的条件关系（如甲说自己不是主谋，丙也说自己

不是主谋），从而推知其中两人的话必有真假。假设甲说的是真话，

则说明丙是主谋。再结合题中另两个人说的假话，分析发现所推得

的信息都相符，就可推出丙说的是假话，他就是主谋。

3.完成教科书P103“练习二十二”第5题。

先让学生理解题意，再引导学生按序列表枚举，最后独立完成

并全班汇报，教师提醒“按序列举，不重不漏”。

【学情预设】学生对有多少种面值的理解会出现困难，指导学

生有序思考。

枚举法：不同邮资的组合，可以按取1枚、2枚、3枚、4枚

的顺序枚举，分别为50分、80分、100分、130分、160分、180

分、210分、260分,共8种。

这道题也可以用列表法来分析：

无效邮资1邮资2邮资3邮资4邮资5邮资6邮资7邮资8

50分000111222

80分012012012

4.完成教科书P103“练习二十二”第6题。

先让学生理解间隔排列的意思。学生理解题意后，可让学生自

己分析，用各种个性化的方法将思考过程展现出来。教学笔记

【学情预设】这道题思考方法很多，依然要有序思考。

描述法：例如假设左起第1位固定一个小朋友，有2种排法,

一共有4种这样的情况，得2x4=8（种）。

也可用符号来枚举表示：（。•表示2个男生，△▲表示2个女

生）教学笔记

<0△・▲Ao△<▲o

•AoA•AOAAOAE▲•△（?

学生汇报后，教师板书。（板书：有序思考）

【设计意图】练习中先让学生理解题意，再引导其“按序”列表,

解决问题。在交流汇报时，适时点拨。

四、课堂小结

师：今天我们又比较深入地认识了“逻辑推理”。在推理前，要

先充分理解题意，再利用比较直观的手段进行分析,在进行推理时，

尤其要依照“非此即彼”这一矛盾现象，推出所需结论。通过本节课

的学习，你们有哪些收获呢？

板书设计

数学思考（2）

列表法

排除法

有序思考

教学反思

本节课所渗透的数学思想方法有很多，如推理的思路——直接

推理与间接推理；推理的具体方法——描述与列表；推理的常用策

略——枚举与筛选。教学中要关注学生的难点，例如学生不会推理,

教师可以在引入列表法后，先示范填上第一次的情况（符号也可用

y”和“X”），并作简要分析，后续的填写可让学生自己进行。在学

生填写完后，教师应指导学生从不同的角度推理。

作业设计

四、学校为艺术节选送节目，要从4个舞蹈节目中选出2个,

从3个合唱节目中选出1个。一共有多少种选送方案?

五、路路、菲菲、才才三位同学都喜欢球类运动。他们分别喜

欢踢足球、打篮球和打乒乓球。教学笔记

已知：

①没有两个人喜欢同一种球类运动。

②路路不喜欢踢足球。

③喜欢打篮球的同学比才才小。

④路路比喜欢打乒乓球的同学大一岁。

你知道这三位同学分别喜欢哪项球类运动吗？

参考答案

四、18种

五、路路喜欢打篮球，菲菲喜欢打乒乓球，才才喜欢踢足球。

师：你

能解决这个

第3课时数学思考(3)问题吗？请

在作业本上

教学内容

试一试。

教科书P101-102第3、4题，完成教科书P104“练习二十二”

中第9、10题。

教学笔记

教学目标

1.初步掌握等量代换、几何证明的基本方法和步骤。

2.在解决问题的过程中，经历等量代换和几何证明过程，进一

步提升逻辑推理的能力，体会逻辑思维是数学的一种重要思考方

式。

3.在教学活动中，学会用数学思想方法解决问题，有条理地表

达自己思考的过程，培养合作意识。

教学重点

等量代换、几何证明的基本方法。

教学难点

用语言、符号或文字描述代换和证明的过程。

教学准备

课件。

教学过程

一'谈话导入，揭示课题

师：前面我们已经学习了数学思考的第1、2题，感受到数学

思想和方法可以帮助我们有条理地思考，简捷地解决问题。今天这

节课，我们一起来学习第3、4题，继续享受由数学思考带来的“思

维盛宴”。［板书课题：数学思考(3)］

二、自主探索，经历演绎推理的过程

1.课件出示教科书P101第3题⑴。

件出示

3.△口、0或、◎各代表一个数。

(1)已知△+口=24,4=匚|+匚|+匚］。求△和□的值。

学生独立完成后，汇报交流。

【学情预设】预设1：用文字描述。教学笔记

因为1个△等于3个口，可以把第一个算式中的△换成3个口。

这样，第一个算式就转化成了4个口相加等于24,口就等于6,故【教学提示】

△=6x3=18。学生有

预设2：根据解方程的经验，用等式表达。能力独立解

把第一个算式中的△换成3个口，得到口+口+口+口=24,决这一问题,

□=24+4=6,△=6x3=18。主要是让学

师：大家听懂这种方法了吗？在解决问题的过程中，最重要的生把代换的

是哪一步?过程(思路)

【学情预设】把第一个算式中的△换成3个口。讲清楚，通过

师：这样的方法就叫做等量代换。同桌之间互相说一说。教师的提问

该怎样用数学的方法表示这一过程呢？我们一起来看。(课件理解关键步

出示)骤是该环节

器件出示的教学重点。

/

△+-

。在解题过程

等量代换

□+口++=

7

□=的表述上，充

;=□+□□-

一分发挥教师

2.课件出示教科书P102第3题(2)o的引领作用,

;卷件出示.......................................通过多媒体

3.(2)已知O+^=160,◎+☆=160。O是否等于©?课件逐步呈

师：想一想，你的结论是什么？用什么方法证明你的结论呢？现过程，使学

【学情预设】两个等式中都有，只要从160里面把☆分别减去生体会数学

就可以知道。和◎是相等的。证明的方法,

师：把☆分别减去的依据是什么？感受数学语

【学情预设】等式的性质：在等式的左右两边同时减去同一个言的严谨性。

数，等式仍然成立。

师：你能直接用数学证明的方法表示吗？

学生写证明过程，教师强调每一步都要写清楚依据。

交流汇报，逐步引导得出：教学笔记

O+☆=160◎+☆=160

00

O=160-☆◎=160-☆

O=◎

师小结：在解决第⑴题的过程中，我们用到了什么数学思想？

(板书：等量代换)第(2)题则是根据什么？(板书：等式的性质)将解

题过程用这样的形式表示出来，采用的是数学证明的方法。

【设计意图】表述的逻辑性和严谨性是该环节的教学重点。在

学生已经得出结论的基础上，逐步引导他们用规范的数学语言加以

表述，充分体会数学证明的方法和逻辑推理的思想。

3.师：什么是平角？平角与直线有什么区别？谁来说一说？

【学情预设】预设1：平角是个角，而直线是条线。

预设2：平角可度量，1平角=180。；直线不可度量。

预设3：平角有一个顶点和两条边，而直线没有。

(1)课件出示教科书P102第4题(Do

牖件出示..................-..........................

4.如图，两条直线相交于点0。

i(1)每相邻两个角可以组成一个平角，一共能组成几个平角？

师：从题中你能得到什么信息？说说你的发现。

【学情预设】预设1：每相邻两个角可以组成一个平角，在图

中有四组角是相邻的，所以有4个平角。

预设2：平角的两边在一条直线上，在同一条直线的两旁可以

找到两个以。为顶点的平角。

师：那么，我们可以找到几个平角呢？它们分别是由哪两个相

邻的角组成的？

【学情预设】指导学生说出能找到4个平角，分别是N1和N

2,N2和N3,N3和N4,N4和/1。

⑵课件出示教科书P102第4题(2)o教学笔记

:哪件出示一

4.(2)你能推出乙1=乙3吗？

学生独立思考，互相交流后汇报思路。

【学情预设】预设1：N1和N2可以组成平角，N2和N3可

以组成平角，在两个平角中同时减去N2,就可以得出N1=N3。

预设2：还可以这样想，N1和N4可以组成平角，N3和/4

可以组成平角，在两个平角中同时减去N4,可以得出N1=N3。

师：这两种方法中都用到了同时减去同一个角，依据是什么？

(学生回答：等式的性质)你能用数学证明的方法表示这个过程吗？

学生练习，教师巡回指导。

展示作业，逐步归纳得出:

41+42=180°42+43=180°

0◊

乙1=180°-乙243=180°-42

41=43

师：你能用同样的方法推出N2=N4吗？

学生练习，反馈讲评，得出:

Z2+A3=180°乙3+24=180°

00

乙2=180°-43乙4=180°-43

乙2=乙4

【设计意图】题目中平角的概念和平角与直线的区别这两个问

题是新知的生长点，教师在实际教学中应使学生理解到位。第⑴题

既可以由题意“每相邻两个角可以组成一个平角”出发，也可以从平角

的特征考虑加以解决。解决第⑵题需要根据第⑴题的结论，同时第3

题中的第⑵题也为本题的推理提供了知识基础。这个教学环节以学

生自主探索为主，引导学生充分经历并理解推理的过程。

三、综合练习，提高能力

1.完成教科书P104“练习二十二”第9题。

师：引导学生关注算式的特点，教给学生运用等式的性质处理

算式的办法。教学笔记