2023-2024学年山东省泰安市泰山实验中学中考数学一模试题

2023-2024学年山东省泰安市泰山实验中学中考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．的倒数是（）A．3 B． C． D．2．下列计算正确的是（）A． B． C． D．3．如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的俯视图是（）A． B． C． D．4．如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是（）A． B． C． D．5．在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：册数01234人数41216171关于这组数据，下列说法正确的是（）A．中位数是2 B．众数是17 C．平均数是2 D．方差是26．《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（）A． B． C． D．7．如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A． B． C． D．8．关于x的方程的解为非正数，且关于x的不等式组无解，那么满足条件的所有整数a的和是（）A． B． C． D．9．如图，MN是的直径，，，B点是弧AN的中点，P是直径MN上的动点，则的最小值为（）A． B． C．1 D．210．三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程的解，则这个三角形周长为（）A．8 B．8和10 C．10 D．8或1011．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转，点B的对应点的坐标是．（）A． B． C． D．12．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．8二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．13．桂林是世界著名的风景旅游城市和历史文化名城，地处南岭山系西南部，广西东北部，行政区域总面积27809平方公里．将27809用科学记数法表示应为________．14．如图，在扇形AOB中，，点C为OA的中点，交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点若，则阴影部分的面积为________．15．如图，在矩形ABCD中，，，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则的值为________．16．如图，数轴上点A表示的数为a，化简________．17．如图，在中，，，BC边上的中线，则的面积是________．18．已知有理数，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……依此类推，那么的值是________．三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（本小题8分）先化简代数式，并从，0，1，3中选取一个合适的代入求值．20．（本小题10分）中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富．某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为________度，并将条形统计图补充完整；此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．21．本小题10分如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求双曲线的函数关系式；（2）直接写出当时，不等式的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把的面积分成两部分，求此时点P的坐标．22．（本小题10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本每天的销售量）23．（本小题12分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若，，求BE的长．24．（本小题14分）如图，抛物线经过，，三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．25．（本小题14分）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，，垂足为点E，，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为________：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转角（），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点若，，则________．

答案和解析1．【答案】C【解析】解：，的倒数是故选：C．根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）解决此题．本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的定义是解决本题的关键．2．【答案】D【解析】解：A、，错误；B、，错误；C、，错误；D、，正确；故选：D．根据合并同类项法则，单项式的乘法运算法则，单项式的除法运算法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了整式的除法，单项式的乘法，合并同类项法则，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．3．【答案】B【解析】解：从上面可看到从上往下2行小正方形的个数为：2，1，并且下面一行的正方形靠左，故选：B．找到从上面看所得到的图形即可．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．【答案】B【解析】【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等推出，根据，推出，进而可得出答案．【解答】解：如图，根据题意可知，两直线平行，内错角相等，所以，因为，所以，因为，所以故选B．5．【答案】A【解析】解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为：．这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，这组数据的众数是3．将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，这组数据的中位数为2．故选：A．先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2，根据方差公式即可得出答案．本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数、方差以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念及公式．6．【答案】B【解析】解：设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，依题意，得：．故选：B．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，由“每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．7．【答案】B【解析】解：A、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向下，故该选项错误；B、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线，故该选项正确；C、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线，故该选项错误；D、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，故该选项错误．故选B．本题考查二次函数以及一次函数的图象．可先根据一次函数的图象判断a的正负，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．8．【答案】C【解析】【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非正数求出a的范围，再根据不等式组无解求出a的范围，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．【解答】解：分式方程去分母得：，整理得：，由分式方程的解为非正数，得到，且，解得：且，不等式组整理得：，由不等式组无解，得到，解得：，满足题意a的范围为，且，即整数a的值为，，，，0，则满足条件的所有整数a的和是，故选C．9．【答案】B【解析】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．此时最小，且等于AC的长．连接OA，OC，根据题意得弧AN的度数是，则弧BN的度数是，根据垂径定理得弧CN的度数是，则，又，则．故选：B．首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．此题主要考查了轴对称最短路径问题，找到A的对称点，确定点P的位置，利用垂径定理是关键步骤．10．【答案】C【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．先求出方程的解，得出三角形的三边长，看看是否能组成三角形，最后求出即可．【解答】解：，解得：或2，①三角形的三边为2、2、4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；②三角形的三边为2、4、4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，组成的三角形周长为，故选C．11．【答案】B【解析】【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，作轴于H．由含角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，进而得出OH即可得出答案．【解答】解：如图，作轴于H．由题意得：，，，，，，，，，故选B．12．【答案】C【解析】【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．由中知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交于点，当点P位于位置时，OP取得最小值，据此求解可得．【解答】解：，，，，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交于点，当点P位于位置时，OP取得最小值，过点M作轴于点Q，则、，，又，，，故选C．13．【答案】．【解析】解：故答案为：．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法-表示较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．【答案】．【解析】【分析】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：．连接OE、AE，根据点C为OA的中点，，可得为等边三角形，则，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去即可求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OE、AE，点C为OA的中点，，，且在扇形AOB中，，，为等边三角形，，，，，，，，．故答案为：．15．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段AE是解本题的关键．先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理建立方程求出AE，即可求出BE，最后用三角函数即可得出结论．【解答】解：由折叠知，，，，，在中，，设，则，，，在中，根据勾股定理得，，，，在中，根据勾股定理得，，，故答案为．16．【答案】2【解析】【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握根据进行二次根式化简，再去绝对值合并同类项即可．【解答】解：原式，故答案为：2．17．【答案】15．【解析】解：延长AD到点E，使，连接CE，是BC边上的中线，，在和中，，，，，，，，，，，即为直角三角形，的面积，故答案为：15．延长AD到点E，使，连接CE，可证明，所以，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即：为直角三角形，进而可求出的面积．本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，题目的设计很新颖，是一道不错的中考题．18．【答案】【解析】解：，，，，这个数列以，，，依次循环，且，，，故答案为．求出数列的前4个数，从而得出这个数列以，，，依次循环，且，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．19．【答案】解：原式，由题意得，，0，1，当时，原式．【解析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．20．【答案】解：（1）72；将条形统计图补充完整，如图所示：画树状图，如图所示：共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个，（选中的两名同学恰好是甲、丁）．【解析】【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握．由周角乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心角度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可；画出树状图，由概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）；故答案为72；全年级总人数为（人），“良好”的人数为（人），将条形统计图补充完整，如图所示：（2）见答案．21．【答案】解：（1）直线，都与双曲线交于点把代入，可得，点坐标为，再把代入双曲线中，可得，双曲线的函数关系式为；（2）点坐标为，当时，由图象得不等式的解集为；（3）将，代入，则，点B的坐标为，把代入，可得，，，将，代入，则，即C点坐标为，，把的面积分成两部分，，或，，或，点坐标为或．【解析】本题主要考查反比例函数与一次函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，以及三角形的面积．（1）求得，把代入双曲线，可得双曲线的函数关系式；（2）依据，可得当时，不等式的解集为；（3）分两种情况进行讨论，AP把的面积分成两部分，则，或，即可得到，或，进而得出点P的坐标．22．【答案】解：（1）；（2），抛物线开口向下．，对称轴是直线，当时，；（3）当时，，解得，当时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得，解得，销售单价应该控制在82元至90元之间．【解析】（1）根据“利润（售价成本）销售量”列出方程；（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；（3）把代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式，通过解不等式来求x的取值范围．本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．23．【答案】证明：，．由翻折的性质可知：，，，．．．四边形EFDG为菱形．（2）解：．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．四边形EFDG为菱形，，，，，即，，．（3）解：如图2所示：过点G作，垂足为H，则，，，，，整理得：．解得：，（舍去）．，，．，，．．，即．．．【解析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明，从而得到，接下来依据翻折的性质可证明，即可得证；（2）连接DE，交AF于点由菱形的性质可知，，接下来，证明，由相似三角形的性质可证明，于是可得到EG、GF、AF的数量关系；（3）过点G作，垂足为H．利用（2）的结论可求得，然后在中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据求解即可．本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到是解答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．24．【答案】解：（1）由题意，得，解得，抛物线的函数表达式为；（2）设直线BC的解析是为，，解得，设，，过点D作轴交BC于M点，如图1，，，，，，，，，，，当时，DE取最大值，最大值