2025年中考数学专题12 脚拉脚专题（解析版）

模型介绍模型介绍成立条件：等腰三角形顶角互补模块一：认识“脚拉脚”模型1、等腰直角三角形的逆序脚拉脚基本图ABCABCEDABCEDF已知：△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，点F为CE的中点。结论：BF=DF，BF⊥DF.法1：倍长中线+手拉手延长DF至点G，使得FG=FD，易证△DEF≌△GCF（SAS）；所以CG=ED=AD，∠2=∠7；又∠1+∠2+∠3=360°，∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和），∠4=∠6=90°；所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，所以∠1=∠5；则△BCG≌△BAD（SAS），所以∠DBG=90°，BG=BD；所以BF=DG=DF，BF⊥DF。 由△BCF≌△GEF（SAS），得BC∥GH， 由△DEF≌△GCF（SAS），得GH∥DE，所以∠2=∠6=90°，则∠2=∠1，所以∠H+∠ADE=180°，即∠H=∠ADE=90°，在四边形ADEH中，∠1+∠2=180°， 所以∠H=∠ABC=90°，则∠3+∠4=180°，又∠4+∠5=180°，所以∠1=∠2（8型转角），所以∠3=∠5 所以∠3=∠4注意：选择“四边形对角互补”还是“8型转角”证明角相等取决原有等腰直角三角形底边与公共顶点的夹角（夹角小于45°：选择“四边形对角互补”;夹角大于45°：选择“8型转角”）法2：斜边中线+中位线取AC中点G，AE中点H，连接BG，FG，FH，DH。由中位线定理可知：FG=AE=DH，FH=AC=BG，∠1=∠3=∠2，所以∠1+∠5=∠2+∠4，所以∠BGF=∠FHD；则△BGF≌△FHD（SAS），所以BF=DF，∠FBG=∠DFH，∠BFG=∠FDH；所以∠BFG+∠GFH+∠DFH=∠BFG+∠3+∠FBG=∠BFG+∠1+∠FBG，又∠BFG+∠1+∠FBG+∠5=180°（三角形内角和），所以∠BFG+∠1+∠FBG=90°，所以BF⊥DF。2、等腰三角形的顺序脚拉脚模型ABCABCDEABCDEF已知：△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，结论：CE=BD，∠BFC=45°.法一：相似△ABD∽△ACE（SAS）∠4=∠1∠2=∠3=45°（8字型转角）法二：手拉手+平行四边形将线段BD逆时针旋转90°得到线段BG，连接DG、CG。易证：△BAD≌△BCG（SAS），∠1=∠4+∠5，又∠3+∠5+∠6=∠7=90°，所以∠1+∠2+∠3+∠6=∠2+∠4+∠3+∠5+∠6=90°+90°=180°所以CG平行且等于DE，所以四边形DECG为平行四边形，所以CE=DG=BD，∠BFC=∠BDG=45°3、顶角互补型脚拉脚已知：△ABC、△DCE为等腰三角形，=180°，AB=AC，DC=DE，点F为BE的中点.结论：①AF⊥DF；②.法1：倍长中线+手拉手法2：中位线+相似 延长DF至点G，使得FG=FD，连接AD， 取BC中点M，EC中点N，连接AM，FM，AG，BG，延长BG与CD相交于点H。 DN，FN。易证：△BFG≌△EFD（SAS）由中位线定理得：FN=MC，MF=CN，∠4=∠5；得：BG∥DE，BG=DE=DC， 所以，同理；∠EDH=∠GHD=，所以∠CHB=又∠AMF+∠CMF=∠FND+∠CNF；所以∠ABG=∠ACD（8字型转角） 所以∠AMF=∠FND，得∠AMF∽∠FND ；所以△ABG≌△ACD（SAS），得证。 所以∠3=∠7，；∠1+∠2+∠3+∠4+∠6=∠5+∠6+∠7+∠AFD；所以∠1+∠2=∠AFD=90°例题精讲例题精讲【例1】.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AC上一点，连接BD．以BD直角边作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，连接AE，点F为AE中点，若AB＝4，BF＝1，则AD的长为．解：连接CE，延长AB、CE交于T，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∵AB＝BC，DB＝EB，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAD＝45°，∠ADB＝∠BEC，∴BC＝BT＝AB，∵点F是AE的中点，∴BT是△AET的中位线，∴TE＝2BF＝2，∵∠ADB＝∠BEC，∴∠BDC＝∠BET，∵∠T＝∠BCD，BT＝BC，∴△BDC≌△BET（AAS），∴CD＝ET＝2，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2，故答案为：4﹣2．变式训练【变式1-1】．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：ME＝CF．证明：如图，延长FE到D，使DE＝EF，连接AD、BD，∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴∠BFE＝45°，BE⊥DF，∴BE垂直平分DF，∴∠BDE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BD＝BF，∠DBF＝90°，∵∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝90°，∠ABD+∠ABF＝∠DBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABD，在△ABD和△CBF中，，∴△ABD≌△CBF（SAS），∴AD＝CF，∵M为AF的中点，DE＝EF，∴ME是△ADF的中位线，∴ME＝AD，∴ME＝CF．【变式1-2】．已知正方形ABCD，将线段BA绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段BE，连接EA，EC．（1）在图中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；（2）作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA于点F，连接CF，用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．解：（1）图形如图1中所示：∵将线段BA绕点B旋转α（0°＜α＜90°），得到线段BE，∴AB＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∠BEC＝∠BCE，∴∠AEC＝∠AEB+∠CEB＝（360°﹣90°）＝135°；（2）如图2中，结论：FB＝2FC+AE．理由：过点B作BH∥EC交FC的延长线于点H，如图3，∵BE＝BC，BF平分∠EBC，∴BF垂直平分EC，∴FE＝FC，∠FGC＝90°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴∠GFC＝45°，∵BH∥EC，∵∠FBH＝∠FGC＝90°，∠H＝∠FCG＝45°，∴BF＝BH•tan45°＝BH，FH＝＝FB，∵∠ABF＝90°﹣∠FBC，∠CBH＝90°﹣∠FBC，∴∠ABF＝∠CBH，∵AB＝CB，∴△ABF≌△CBH（SAS），∴AF＝CH，∵FH＝FC+CH＝FC+AF＝FC+FE+AE＝2CF+AE，∴FB＝2FC+AE．【变式1-3】．（1）如图1，AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC，求证：BE＝CD．（2）如图2，△ACE是等边三角形，P为三角形外一点，∠APC＝120°，求证：PA+PC＝PE．（3）如图3，若∠ACE＝∠AEC＝∠ADC＝45°，∠ACD﹣∠AED＝60°，DC＝3，求DE长．证明：（1）∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAE＝∠DAC，又∵AB＝AD，AE＝AC，∴△ADC≌△ABE（SAS）∴BE＝CD；（2）如图2，延长CP至G，使PG＝PA，连接AG，∵∠APC＝120°，∴∠APG＝60°，且AP＝GP，∴△AGP是等边三角形，∴AP＝AG＝GP，∠PAG＝∠AGP＝60°，∵△ACE是等边三角形，∴AE＝AC＝CE，∠CAE＝60°，∴∠CAE＝∠PAG，∴∠GAC＝∠PAE，且AG＝AP，AC＝AE，∴△AGC≌△APE（SAS）∴PE＝GC，∴PE＝GC＝GP+PC＝AP+PC；（3）∵∠ACE＝∠AEC＝45°，∴AC＝AE，∠CAE＝90°，如图3，将△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ACH，连接DH，CH，∴△AED≌△ACH，∴AD＝AH，∠DAH＝90°，CH＝DE，∠AED＝∠ACH，∴∠ADH＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠HDC＝90°，∵∠ACD﹣∠AED＝60°，∴∠ACD﹣∠ACH＝60°＝∠DCH，∴∠DHC＝30°，且∠CDH＝90°，∴HC＝2CD＝6，∴DE＝CH＝6．实战演练实战演练1．如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作两个等边三角形△ABD，△ACE．连接BE、CD交点F，连接AF．（1）求证：△ACD≌△AEB；（2）求证：AF+BF+CF＝CD．证明：（1）∵△ABD和△ACE为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAB＝60°，∴∠DAC＝∠BAE＝60°+∠BAC，∴在△ACD和△AEB中∴△ACD≌△AEB（SAS）；（2）由（1）知∠CDA＝∠EBA，如图∠1＝∠2，∴180°﹣∠CDA﹣∠1＝180°﹣∠EBA﹣∠2，∴∠DAB＝∠DFB＝60°，如图，延长FB至K，使FK＝DF，连DK，∴△DFK为等边三角形，∴DK＝DF，∴△DBK≌△DAF（SAS），∴BK＝AF，∴DF＝DK，FK＝BK+BF，∴DF＝AF+BF，又∵CD＝DF+CF，∴CD＝AF+BF+CF．2.如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，DE⊥BD，点D在AB边上，连接EC，取EC中点F，求证：（1）AF＝DF；（2）AF⊥DF．证明：（1）连接BF，延长DF交AC于点G，∵∠EBD＝∠ABC＝45°，∴∠EBC＝90°，在RT△EBC中，F为斜边中点，∴BF＝EF，∴∠FBC＝∠FCB，∴∠DFE＝∠DFB，∵∠EFB＝∠FBC+∠FCB，∴∠DFE+∠DFB＝∠FBC+∠FCB，∴2∠DFB＝2∠FBC，则∠DFB＝∠FBC，∴DG∥BC，∵△BAC为等腰直角三角形，且DG∥BC，AB＝AC，∴AD＝AG，BD＝CG，∵BD＝DE，∴DE＝CG，∵∠BDE＝∠CAB＝90°，∴DE∥AC，∴∠DEF＝∠GCF，在△DEF和△GCF中，∴△DEF≌△GCF（SAS），∴DF＝FG，∵△DAG为等腰直角三角形，∴AF⊥DG；（2）∵F为DG中点，∴在RT△DAG中，AF＝DF．3.已知：如图，AB＝AC，DC＝DE，且∠BAC＝∠CDE＝90°，连接BE，F为BE的中点．求证：（1）∠ACD＝∠ABE+∠BED；（2）FA＝FD，FA⊥FD．证明：（1）在四边形ABED中，∠ABE+∠BED+∠EDA+∠DAB＝360°，∵∠BAC＝∠CDE＝90°，∴∠ABE+∠BED+∠CAD+∠CDA＝180°，∵∠ACD+∠CAD+∠CDA＝180°，∴∠ACD＝∠ABE+∠BED，（2）如图，延长AF至点G，使得FG＝AF，连接GE、GD，在△ABF和△GEF中，，∴△ABF≌△GEF（SAS），∴AC＝AB＝GE，∠ABF＝∠GEF，∴∠ACD＝∠ABE+∠BED＝∠GEF+∠BED＝∠GED，在△ACD和△GED中，，∴△ACD≌△GED（SAS），∴AD＝GD，∠CDA＝∠EDG．∴∠ADG＝∠CDA+∠CDG＝∠EDG+∠CDG＝∠CDE＝90°，∴△ADG是等腰直角三角形，又∵AF＝GF，∴∠FAD＝∠FDA＝45°，∴FA＝FD，FA⊥FD．4.已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论．解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．理由：如图1中，延长EM交AD于H．∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME（AAS），∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME；（2）如图2中，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM．理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME．5．如图，等边△ABC外有一点D，连接DA，DB，DC．（1）如图1，若∠DAB+∠DCB＝180°，求证：BD平分∠ADC；（2）如图2，若∠BDC＝60°，求证：BD﹣CD＝AD；（3）如图3，延长AD交BC的延长线于点F，以BF为边向下作等边△BEF，若点D，C，E在同一直线上，且∠ABD＝α，直接写出∠CEF的度数为60°﹣α（结果用含α的式子表示）．（1）证明：过点B作BM⊥CD于点M，BN⊥AD于点N，∴∠ANB＝∠CMB＝90°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∵∠DAB+∠DCB＝180°，∠DCB+∠BCM＝180°，∴∠OAB＝∠BCM，∴△ABN≌△CBM（AAS），∴BM＝BN，∴BD平分∠ADC；（2）证明：在BD上取点E，使DE＝CD，∵∠BDC＝60°∴△CDE为等边三角形，∴∠DCE＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD＝BE，∴BD﹣CD＝AD；（3）解：∵△ABC，△BEF为等边三角形，∴AB＝CB，BF＝BE，∠ABF＝∠CBE∴△ABF≌CBE（SAS），∴∠DFB＝∠CEB，∵∠CEB+∠CEF＝60°，∠EFB＝60°∴∠FDE＝180°﹣∠DFB﹣∠EFB﹣∠CEF＝60°∴∠ADC＝120°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，由（1）得BD平分∠ADC∴∠BDE＝60°，∴∠FDB＝120°，∴∠FDB+∠FEB＝180°，∴F，E，B，D四点共圆，∴∠CEF＝∠DBF∵∠DBF＝60°﹣α．∴∠CEF＝60°﹣α．故答案为：60°﹣α．6．在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．（1）如图1当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想．解：（1）连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q，∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，∴FA＝FQ，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴FQ＝CF，∵∠BAC+∠DAE＝180°，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，由旋转知，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝90°，∴∠CBF+∠BEC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF+∠BEC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠AFB＝∠BEC，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠BEC＝∠CFE，∴CF＝CE＝2，∴AF＝FQ＝CF＝；（2）AG＝CD，理由：如图2，延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM，∵G是BE的中点，∴AG＝ME，∵∠BAC+∠DAE＝∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠DAE＝∠CAM，∴∠DAC＝∠EAM，∵AB＝AM，AB＝AC，∴AC＝AM，∵AD＝AE，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴CD＝EM，∴AG＝CD．7．如图1，点A在x轴上，点D在y轴上，以OA、AD为边分别作等边△OAC和等边△ADE，若D（0，4），A（2，0）．（1）若∠DAC＝10°，求CE的长和∠AEC的度数．（2）如图2，若点P为x轴正半轴上一动点，点P在点A的右边，连PC，以PC为边在第一象限作等边△PCM，延长MA交y轴于N，当点P运动时，①∠ANO的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由．②AM﹣AP的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由．（1）解：∵△AOC和△DAE是等边三角形，∴AC＝AO，AE＝AD，∠OAC＝∠EAD＝60°，∴∠CAE＝∠DAO＝60°+∠CAD＝70°，在△CAE和△OAD中∴△CAE≌△OAD（SAS），∴CE＝OD＝4，∠ACE＝∠AOD＝90°，∵∠DAC＝10°，∠DAE＝60°，∵∠CAE＝70°，∴∠AEC＝180°﹣90°﹣70°＝20°．（2）解：①∠ANO的值不变化，其度数为30°，理由是：∵△AOC和△CPM是等边三角形，∴OA＝AC，CP＝CM，∠OCA＝∠MCP＝60°，∴∠OCP＝∠ACM，在△OCP和△ACM中∴△OCP≌△ACM（SAS），∴∠COA＝∠CAM＝60°，∴∠MAP＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠OAN＝∠MAP＝60°，∵∠AON＝90°，∴∠ANO＝90°﹣60°＝30°．②不变，理由是：∵△OCP≌△ACM，∴AM＝OP，∴AM﹣OP＝OP﹣AP＝OA，∵A（2，0），∴OA＝2，即AM﹣AP＝2，∴AM﹣AP的值不发生变化，永远是2．8．已知点A在x轴正半轴上，以OA为边作等边△OAB，A（x，0），其中x是方程的解．（1）点A的坐标为（3，0）；（2）如图1，点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边△ACD，连DB并延长交y轴于点E，求∠BEO的度数；（3）如图2，点F为x轴正半轴上一动点，点F在点A的右边，连接FB，以FB为边在第一象限内作等边△FBG，连GA并延长交y轴于点H，当点F运动时，GH﹣AF的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．解：（1）∵，∴3（3x﹣1）﹣2＝22，解得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的解，∴A（3，0），故答案为：（3，0）；（2）如图1，∵△ACD，△ABO是等边三角形，∴AO＝AB，AD＝AC，∠BAO＝∠CAD＝60°，∴∠CAO＝∠BAD，在△CAO和△DAB中，，∴△CAO≌△DAB（SAS），∴∠COA＝∠DBA＝90°，∴∠ABE＝90°，∵∠AOE+∠ABE+∠OAB+∠BEO＝360°，∴∠BEO＝120°；（3）GH﹣AF的值是定值，理由如下：∵△ABC，△BFG是等边三角形，∴BO＝AB＝AO＝3，FB＝BG，∠BOA＝∠ABO＝∠FBG＝60°，∴∠OBF＝∠ABG，在△ABG和△OBF中，，∴△ABG≌△OBF（SAS），∴AG＝OF，∠BAG＝∠BOF＝60°，∴AG＝OF＝OA+AF＝3+AF，∵∠OAH＝180°﹣∠OAB﹣∠BAG，∴∠OAH＝60°，∵∠AOH＝90°，OA＝3，∴AH＝6，∴GH﹣AF＝AH+AG﹣AF＝6+3+AF﹣AF＝9，∴GH﹣AF的值是定值．9．在平面直角坐标系中，B点在x轴上，且PA⊥PB，点A（0，a）、P（m，m），若a、m满足a2+m2﹣4a﹣8m+20＝0（1）如图1，求a、m的值；（2）如图2，若A点运动到y轴的负半轴上，求OB﹣OA的值；（3）如图3，若Q是线段AB上一动点，C为AQ中点，PR⊥PQ且PR＝PQ，连BR，请同学们判断线段BR与PC之间的关系，并加以证明．解：（1）a2+m2﹣4a﹣8m+20＝0，（a﹣2）2+（m﹣4）2＝0，∵（a﹣2）2≥0，（m﹣4）2≥0，∴（a﹣2）2＝0，（m﹣4）2＝0，∴a＝2，m＝4；（2）过点P分别作PE⊥x作于E，PF⊥y轴于F，∵P（4，4），∴PE＝PF，又∠APB＝∠EPF＝90°，∴∠EPB＝∠FPA，在△PEB和△PFA中，，∴△PEB≌△PFA（ASA），∴BE＝AF，∴OB﹣OA＝EB+OE﹣（AF﹣OF）＝2OE＝8；（3）BR＝2PC，BR⊥PC，理由如下：过点P分别作PG⊥x轴于G，PH⊥y轴于H，延长PC到S，使CS＝PC，连接AS，∵P（4，4），∴PG＝PH＝4，∵∠APB＝∠HPG＝90°，∴∠HPA＝∠GPB，在△PHA和△PGB中，，∴△PHA≌△PGB（ASA），∴PA＝PB，在△ACS和△QCP中，，∴△ACS≌△QCP（SAS），∴AS＝PQ＝PR，∠S＝∠QPC，∴AS∥PQ，∠SAP+∠APQ＝180°，∵∠RPB+∠APQ＝∠APB+∠APR+∠APQ＝180°，∴∠SAP＝∠RPB，在△ASP和△PRB中，，∴△ASP≌△PRB（SAS），∴BR＝PS＝2PC，∠APS＝∠PBR，∵∠APS+∠BPS＝90°，∴∠PBR+∠BPC＝90°，∴BR⊥PC，10．如图1，在平面直角坐标系中，A（0，4），C（﹣2，﹣2），且∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）求点B的坐标；（2）如图2，若BC交y轴于点M，AB交x轴与点N，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F，请探究线段MN，ME，NF的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若在点B处有一个等腰Rt△BDG，且BD＝DG，∠BDG＝90°，连接AG，点H为AG的中点，试猜想线段DH与线段CH的数量关系与位置关系，并证明你的结论．解：（1）如图1中，过点C作CT⊥y轴于点T，过点B作BH⊥CT交CT的延长线于点H．∵A（0，4），C（﹣2，﹣2），∴OA＝4，OT＝CT＝2，∴AT＝4+2＝6，∵∠ACB＝∠ATC＝∠H＝90°，∴∠CAT+∠ACT＝90°，∠BCH+∠CBH＝90°，∴∠CAT＝∠BCH，∵CA＝CB，∴△ATC≌△CHB（AAS），∴AT＝CH＝6，CT＝BH＝2，∴TH＝CH﹣CT＝4，∴B（4，﹣4）；（2）结论：MN＝ME+NF．理由：在射线OE上截取EK＝FN，连接BK．∵B（4，﹣4），BE⊥y轴，BF⊥x轴，∴BE＝BF＝4，∠BEO＝∠BFO＝∠EOF＝90°，∴四边形BEOF是矩形，∴∠EBF＝90°，∵EK＝FN，∠BFN＝∠BEK＝90°，∴△BFN≌△BEK（SAS），∴BN＝BK，∠FBN＝∠EBK，∴∠NBK＝∠FBE＝90°，∵∠MBN＝45°，∴∠MBN＝∠BMK＝45°，∵BM＝BM，∴△BMN≌△BMK（SAS），∴MN＝MK，∵MK＝ME+EK，∴MN＝EM+FN；（3）结论：DH＝CH，DH⊥CH．理由：如图3中，延长DH到J，使得HJ＝DH，连接AJ，CJ，延长DG交AC于点M．∵AH＝HG，∠AHJ＝∠GHD，HJ＝HD，∴△AHJ≌△GHD（SAS），∴AJ＝DG，∠AJH＝∠DGH，∴AJ∥DM，∴∠JAC＝∠AMD，∵DG＝BD，∴AJ＝BD，∵∠MCB＝∠BDM＝90°，∴∠CBD+∠CMD＝180°，∵∠AMD+∠CMD＝180°，∴∠AMD＝∠CBD，∴∠CAJ＝∠CBD，∵CA＝CB，∴△CAJ≌△CBD（SAS），∴CJ＝CD，∠ACJ＝∠BCD，∴∠JCD＝∠ACB＝90°，∵JH＝HD，∴CH⊥DJ，CH＝JH＝HD，即CH＝DH，CH⊥DH．11．已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．（1）如图①，连接BG、CF，求的值；（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．解：（1）如图①，连接AF，AC，∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴AC＝AB，AF＝AG，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠CAF＝∠BAG，，∴△CAF∽△BAG，∴＝；（2）BE＝2MN，MN⊥BE，理由如下：如图②，连接ME，过点C作CH∥EF，交直线ME于H，连接BH，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，∵CH∥EF，∴∠FCH＝∠CFE，∵点M是CF的中点，∴CM＝MF，又∵∠CMH＝∠FME，∴△CMH≌△FME（ASA），∴CH＝EF，ME＝HM，∴AE＝CH，∵CH∥EF，AG∥EF，∴CH∥AG，∴∠HCF＝∠CRA，∵AD∥BC，∴∠BCF＝∠APR，∴∠BCH＝∠BCF+∠HCF＝∠APR+∠ARC，∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，∴∠BAE＝∠BCH，又∵BC＝AB，CH＝AE，∴△BCH≌△BAE（SAS），∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，∴∠HBE＝∠CBA＝90°，∵MH＝ME，点N是BE中点，∴BH＝2MN，MN∥BH，∴BE＝2MN，MN⊥BE；（3）如图③，取AB中点O，连接ON，OQ，AF，∵AE＝6，∴AF＝6，∵点N是BE的中点，点Q是BF的中点，点O是AB的中点，∴OQ＝AF＝3，ON＝AE＝3，∴点Q在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，∴线段QN扫过的面积＝π×（3）2﹣π×32＝9π．12．已知：在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（﹣2，3）．（1）在图①中的y轴上求作点P，使得PA+PB的值最小；（2）若△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，请直接写出点C的坐标；（3）如图②，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D（不与点A重合）是x轴上一个动点，点E是AD中点，连接BE，把BE绕着点E顺时针旋转90°得到FE（即∠BEF＝90°，BE＝FE），连接BF、CF、CD，试猜想∠FCD的度数，并给出证明．解：（1）如图①﹣1中，点P即为所求．（2）如图①﹣2中，满足条件的点C1（1，2），C2（0，﹣1），C3（﹣5，4），C4（﹣6，1）．（3）猜想∠FCD＝45°①当点D运动到点A右侧时，如图②中，延长FE至G，使EG＝EF，连接AG，BG，DF．在△FED和△GEA中∵EF＝EG，∠FED＝∠GEA，ED＝EA∴△FED≌△GEA（SAS）∴FD＝AG，∠EFD＝∠EGA∵∠BEF＝90°∴BE⊥EF∵BE＝FE，FE＝EG∴△GBF是等腰直角三角形，∴∠BGF＝∠BFG＝45°，∠GBF＝90°，BG＝BF∵∠ABC＝90°∴∠ABC＝∠GBF，即∠ABG+∠GBC＝∠CBF+GBC∴∠ABG＝∠CBF在△ABC和△CBF中∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBF，BG＝BF∴△ABG≌△CBF（SAS）∴AG＝CF，∠AGB＝∠CFB，∵FD＝AG，∴CF＝FD，∴∠CFD＝∠CFE+∠EFD＝∠GFB﹣∠BFC+∠AGE＝45°﹣∠BFC+∠AGB+∠BGE＝45°+45°＝90°，∵CF＝FD∴△CFD是等腰直角三角形，∠FCD＝45°②当点D运动到点A左侧时，同理可证，∠FCD＝45°综上所述，∠FCD＝45°13．如图，平面直角坐标系中．A点在y轴上，B（b，0），C（c，0）在x轴上，∠BAC＝60°，且b、c满足等式b2+2bc+c2＝0．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如图1，F为AB延长线上一点，连FC，G为y轴上一点，若∠GFC+∠ACG＝60°．求证：FG平分∠AFC；（3）如图2，△BDE中，DB＝DE，∠BDE＝120°，M为AE中点，试确定DM与CM的位置关系，并说明理由．解：（1）△ABC是等边三角形，理由如下：∵b2+2bc+c2＝0∴b+c＝0，∴B与C关于y轴对称，∴AO是BC的中垂线，∴AB＝AC，又∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．（2）连接BG，由（1）知△AGB≌△AGC．∴GB＝GC．在FC的延长线上取点P，使GP＝GF．设∠GFC＝α，∠ACG＝β，则α+β＝60°，∠ABG＝∠ACG＝β，∴∠BGC＝60°+2β＝180°﹣2α，∵GF＝GP，∴∠GFC＝∠P＝α，∴∠FGP＝180°﹣2α，∴∠BGC＝∠FGP，∴△GBF≌△GCP（SAS），∴∠BFG＝∠P，∴∠AFG＝∠GFC，即FG平分∠AFC．（3）延长DM至F，使DM＝MF，连AF交BD于G，连接CD，CF．∴AF＝DE＝BD，AF∥DE，∴∠AGB＝∠ACB＝60°，∴∠FAC＝∠DBC，∴△DBC≌△FAC（SAS），∴CD＝CF，∴DM⊥CM．14．如图所示，△ABC，△ADE为等腰三角形，∠ACB＝∠AED＝90°．（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，F为线段BD的中点，则线段EF与FC的数量关系是EF＝FC；∠EFD的度数为90°．（2）如图2，在图1的基础上，将△ADE绕A点顺时针旋转到如图2的位置，其中D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点，则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论．（3）若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图3的位置，F为线段BD的中点，连接EF、FC，请你完成图3，请猜想线段EF与FC的关系，并验证你的猜想．解：（1）∵△ABC、△AED为等腰直角三角形，∴∠B＝45°，∠ECA＝90°，∴∠ECB＝45°，∴BE＝EC，∵F为BD中点，∴EF⊥BC，∴EF＝FC，∠EFD＝90°，故答案为：EF＝FC；90°（2）如图2，延长CF到M，使CF＝FM，连接DM、ME、EC，∵F为BD中点，∴DF＝FB，在△BCF和△DFM中∴△BFC≌△DFM（SAS），∴DM＝BC，∠MDB＝∠FBC，∴MD＝AC，MD∥BC，∴∠MDC＝∠BCA＝90°∴∠MDE＝∠EAC＝135°，在△MDE和△CAE中∴△MDE≌△CAE（SAS），∴ME＝EC，∠MED＝∠CEA，∴∠MED+∠FEA＝∠FEA+∠CEA＝90°，∴∠MEC＝90°，又F为CM的中点，∴EF＝FC，EF⊥FC；（3）图形如图3，结论：EF＝FC，EF⊥FC．证明如下：如图4，延长CF到M，使CF＝FM，连接ME、EC，连接DM交延长交AE于G，交AC于H，∵F为BD中点，∴DF＝FB，在△BCF和△DFM中∴△BFC≌△DFM（SAS），∴DM＝BC，∠MDB＝∠FBC，∴MD＝AC，HD∥BC，∴∠AHG＝∠BCA＝90°，且∠AGH＝∠DGE，∴∠MDE＝∠EAC，在△MDE和△CAE中∴△MDE≌△CAE（SAS），∴ME＝EC，∠MED＝∠CEA，∴∠MED+∠FEA＝∠FEA+∠CEA＝90°，∴∠MEC＝90°，又F为CM的中点，∴EF＝FC，EF⊥FC．15．已知等边△ABC和等腰△CDE，CD＝DE，∠CDE＝120°．（1）如图1，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD，PD，则线段AD与PD之间的数量关系为AD＝2PD；（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，P是BE的中点，连接AD，PD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点D在△ABC内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且PB+PC为定值，当PD最大时，∠BPC的度数为60°．解：（1）结论：AD＝2PD．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠EDC＝120°，∴∠EDB＝180°﹣120°＝60°，∴∠B＝∠EDB＝∠BED＝60°，∴△BDE是等边三角形，∵BP＝PE，∴DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∵DE＝DC，DE＝DB，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠PAD＝∠BAC＝30°，∴AD＝2PD．（2）结论成立．理由：延长DP到N，使得PN＝PD，连接BN，EN，延长ED到M，使得DM＝DE，连接BD，BM，CM．∵DE＝DC＝DM，∠MDC＝180°﹣∠EDC＝60°，∴△DCM是等边三角形，∵CA＝CB，CM＝CD，∠DCM＝∠ACB＝60°，∴∠BCM＝∠ACD，∴△BCM≌△ACD（SAS），∴AD＝BM，∵PB＝PE，PD＝PN，∴四边形BNED是平行四边形，∴BN∥DE，BN＝DE，∵DE＝DM，∴BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BNDM是平行四边形，∴BM＝DN＝2PD，∴AD＝2PD．（3）如图3中，作∠PDK＝∠BDC＝120°，且PD＝DK，连接PK，CK．∵DB＝DC，DP＝DK，∠BDC＝∠PDK，∴∠BDP＝∠CDK，∴△PDB≌△KDC（SAS），∴PB＝CK，∵PB+PC＝PC+CK＝定值，∴P，C，K共线时，PK定值最大，此时PD的值最大，此时，∠DPB＝∠DKP＝∠DPK＝30°，∠BPC＝∠DPB+∠DPK＝60°．故答案为60°．

16．CD是△ABC的高（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AE交CD于点F，交BC于点E，求证：CE＝CF；（2）如图2，若∠A＝2∠B，∠ACB的平分线CG交AB于点G，求的值；（3）如图3，若△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，再以AD为斜边作等腰Rt△AMD，Q是DB的中点，连接CQ、MQ，试判断线段CQ与MQ的关系，并给出证明．（1）证明：∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠ACB＝90°，∠CDB＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵∠CFE＝∠CAE+∠ACD，∠CEF＝∠BAE+∠B，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF；（2）解：在AD上取点H，使DH＝DG，连接CH，∵CD⊥AB，∴CH＝CG，∴∠CHD＝∠CGD，∠DCH＝∠DCG，由三角形内角和定理得，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∵∠A＝2∠B，∴∠C＝180°﹣3∠B，∵CG是∠ACB的平分线，∴∠BCG＝∠C＝90°﹣∠B，∠CGD＝∠BCG+∠B＝90°﹣∠B，在Rt△CDG中，∠CGD＝90°﹣∠DCG，∴∠DCG＝∠B，∴∠HCG＝∠B，∠CGD＝∠BCG+∠B，∠BCH＝∠BCG+∠HCG，∴∠CGD＝∠BCH，∵∠CHD＝∠CGD，∴∠CHD＝∠BCH，∴BC＝BH，∴BC﹣BG＝BH﹣BG＝GH＝2DG，即＝2；（3）解：CQ＝MQ，CQ⊥MQ，理由如下：作MN⊥AB于N，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，CD⊥AB，∴CD＝AB＝AD＝BD，∵∠AMD＝90°，MA＝MD，MN⊥AD，∴MN＝AD＝AN＝ND，∵Q是DB的中点，∴DQ＝BD＝AD＝DN＝MN，∴NQ＝CD，在△CDQ和△QNM中，，∴△CDQ≌△QNM（SAS）∴CQ＝MQ，∠MQN＝∠QCD，∵∠QCD+∠CQD＝90°，∴∠MQN+∠CQD＝90°，即CQ⊥MQ．17．（1）探究：如图1，在△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上．①求∠DCE的度数；②直接写出线段CD，CE，AC之间的数量关系；（2）应用：如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，P是四边形ABCD内一点，且∠APC＝120°，求证：PA+PC+PD≥BD；（3）拓展；如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B是y轴上一个动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABC，求OC的最小值．解：（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝120°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为：AC＝CD+CE；理由是：由①得：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∵AC＝BC＝BD+CD，∴AC＝CD+CE；（2）如图2，把线段AP绕点A逆时针旋转60度，到AQ．连接AC、PQ，∴AP＝AQ，△APQ为正三角形，∴∠QAP＝60°，QP＝AP，又∵∠APC＝120°，∴∠APC+∠APQ＝180°，则C，P，Q在同一条直线上．∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°，A