2024年人教版九年级数学中考训练：锐角三角函数(含解析)

2024年人教版九年级数学中考专题训练：锐角三角函数

1.如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A测得大树

顶端B的仰角为45°,乙同学从A点出发沿斜坡走6G米到达斜坡上点D,在此处测得树顶端点B的仰

角为26.7。，且斜坡AF的坡度为1：2.

(1)求乙同学从点A到点D的过程中上升的高度；

(2)依据他们测量的数据求出大树BC的高度.(参考数据：sin26.7%0.45,cos26.7°~0.89,

tan26.7°~0.50)

2.如图，在AABC中，D是上一点，BD=AD,以4D为直径的。。经过点C,交48于点E,过

点E作。。的切线交AD于点F.

(1)求证：EF-LBC.

2

(2)若CD=5,tan5=_,求的长.

3.如图1,在AABC中，ADLBC于点D,正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P,N分别在AB,

AC±,BC=a,AD=h.

(1)求正方形PQMN的边长(用a和h的代数式表示);

(2)如图2,在AABC中，在AB上任取一点P,画正方形PQ'MN,使Q\M，在BC边上，N在

△ABC内，连接BN并延长交AC于点N,画NMDBC于点M,画NP1NM交AB于点P,再画PQ1BC

于点Q,得到四边形PQMN,证明四边形PQMN是正方形；

(3)在(2)中的线段BN该线上截取NE=NM连接EQ,EM(如图3),当NQEM=90。时，求线段

BN的长(用a,h表示)

4.如图，在直角坐标系中有Rt-O5,0为坐标原点，A(0,3),5(-1,0),将此三角形绕原点O顺时

针旋转90°,得到RtA。。。，二次函数歹="2+bx+c的图象刚好经过A,B,C三点.

(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

(2)过定点Q的直线/：了=区—左+3与二次函数图象相交于M,N两点.

①若S=2,求k的值；

&PMN

②证明：无论k为何值，AQAW恒为直角三角形.

5.如图，四边形ABCD内接于。。，O。的半径为4,ZADC=90°,AB=BC,对角线AC、BD相交

于点P.过点P分别作PE14。于点E,PF_LCD于点F.

(1)求证：四边形。£尸尸为正方形；

(2)若AD=2CD,求正方形DEFF的边长；

(3)设PC的长为x,图中阴影部分的面积为y,求y与x之间的函数关系式，并写出y的最大值.

6.如图，已知一次函数y=区+机的图象经过Z(—1,—5),8(0,—4)两点，且与x轴交于点C,二次函

1

数y="2+队+4的图象经过点幺，c,连接。1.

2

(1)求一次函数和二次函数的解析式.

(2)求NQ45的正弦值.

(3)在点C右侧的x轴上是否存在一点使得△BCD与AOAB相似？若存在，求出点。的坐标;

若不存在，请说明理由.

7.如图1,在四边形ABCD中，AC交BD于点E,AADE为等边三角形.

图1图2

(1)若点E为BD的中点，AD=4,CD=5,求ABCE的面积；

(2)如图2,若BC=CD,点F为CD的中点，求证：AB=2AF；

(3)如图3,若ABIICD,ZBAD=9O。，点P为四边形ABCD内一点，且zAPD=90。，连接BP,取

BP的中点Q,连接CQ.当AB=6jJ,AD=4jJ,tan/ABC=2时，求CQ+W£BQ的最小值.

8.如图1,在矩形4BCD中，48=4,ZACB=3Q°.P,Q分别是NC,CD上的动点，且满足

=E是射线上一点，AP=EP,设==

(1)求y关于x的函数表达式.

(2)当△尸。E中有一条边与NC垂直时，求。。的长.

(3)如图2,当点Q运动到点C时，点P运动到点F.连结尸0,以FQ,PQ为迈作口PQFG.

①当GF所在直线经过点D时，求口尸27G的面积;

②当点G在A4BC的内部(不含边界)时，直接写出x的取值范围.

9.等边中，CD是中线，一个以点D为顶点的30。角绕点D旋转，使角的两边分别与ZC,BC

的延长线相交于点E,F.。/交/C于点M,QE交3c于点N.

(1)如图①，若CE=CF,求证：DE=DF

(2)如图②，在9绕点D旋转的过程中:

①探究三条线段CD,CE,CE之间的数量关系，并说明理由;

②若CE=6,CF=2,求。河的长.

10.在平面直角坐标系X0中，对于ACMB和点P(不与点。重合)给出如下定义：若边。4,C归上分

别存在点〃，点N,使得点。与点尸关于直线"N对称，则称点尸为AOAB的“翻折点”.

⑴已知幺(3,0),5C,3V3).

①若点河与点幺重合，点N与点8重合，直接写出△046的“翻折点”的坐标;

②尸是线段4s上一动点，当尸是ACMB的“翻折点”时，求4P长的取值范围;

3

(2)直线y=—4》+63〉0)与X轴，y轴分别交于Z,B两点、,若存在以直线48为对称轴，且斜

边长为2的等腰直角三角形，使得该三角形边上任意一点都为AONB的“翻折点。直接写出b的取值范

围.

11.如图，在A4BC中，边45绕点8顺时针旋转鼠0。<(1<180。)得到线段8D,边ZC绕点C逆时针

旋转180。-。得到线段CE,连接。E,点尸是的中点.

(1)以点尸为对称中心，作点。关于点尸的对称点G,连接5G,DG.

①依题意补全图形，并证明ZC=£>G；

②求证：ZDGB=ZACB；

(2)若a=60。，且FH上BC于H,直接写出用等式表示的W与的数量关系.

12.如图1,菱形ABCD的边长为12cm,NB=60°,M,N分别在边AB,CD.±,AM=3cm,

DN=4cm,点P从点M出发，沿折线MB—BC以Icm/s的速度向点C匀速运动(不与点C重合)；

△APC的外接圆O。与CD相交于点E,连接PE交AC于点F.设点P的运动时间为ts.

图I图2图3符用图

(1)NAPE=°；

(2)若OO与AD相切，

①判断。0与CD的位置关系；

②求APC的长；

(3)如图3,当点P在BC上运动时，求CF的最大值，并判断此时PE与AC的位置关系;

(4)若点N在O。的内部，直接写出t的取值范围.

13.如图，已知菱形ABCD,E为对角线AC上一点.

(1)［建立模型］

如图1,连结BE,DE.求证：ZEBC=ZEDC.

(2)［模型应用］

如图2,F是DE延长线上一点，ZEBF=L\BC,EF交AB于点G.

①判断AFBG的形状，并说明理由.

②若G为AB的中点，且AB=4,ZABC=60°,求AF的长.

(3)［模型迁移］

4AB

F是DE延长线上一点，ZEBF=ZABC,EF交射线AB于点G,且sinZBAC=-,BF〃AC.求茜的值.

14.小明家住在某小区一楼，购房时开发商赠送了一个露天活动场所，现小明在活动场所正对的墙上安

装了一个遮阳棚5C,经测量，安装遮阳棚的那面墙48高3m,安装的遮阳棚展开后可以使正午时刻房

前能有2m宽的阴影处(40)以供纳凉.已知正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4。，安装好的遮阳

篷5C与水平面的夹角为10。，如下右图为侧面示意图.

(参考数据：sinlO°®0.17,co510°«0.98,tanl0°»0.18,sin63A°®0.89,cos63A°®0.45,

tan63A°®2.00)

(1)据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端(即图中点C)到地面的距离小于2.3m

时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断此遮

阳棚是否使得人进出时具有安全感？

(2)请计算此遮阳棚延展后的长度(即3c的长度).(结果精确到0」m)

15.数学兴趣小组在探究圆中图形的性质时，用到了半径是6的若干圆形纸片.

p

图1图2图3

(1)如图1,一张圆形纸片，圆心为0,圆上有一点A,折叠圆形纸片使得A点落在圆心0上，折

痕交O。于B、C两点，求/A4c的度数.

(2)把一张圆形纸片对折再对折后得到如图扇形，点M是弧尸。上一动点.

①如图2,当点M是弧尸。中点时，在线段00、。。上各找一点E、F,使得是等边三角形.

试用尺规作出AEFM,不证明，但简要说明作法，保留作图痕迹.

②在①的条件下，取的内心N,则0N=

③如图3,当M在弧尸。上三等分点S、T之间(包括S、T两点)运动时，经过兴趣小组探究都可

以作出一个△£白〃是等边三角形，取AEE攸的内心N,请问0N的长度是否变化.如变化，请说明理

由；如不变，请求出ON的长度.

16.已知二次函数yn#Cu+bx+c)的图像与了轴交于点Z,且经过点5(4,/)和点C(—1,J2).

(1)请直接写出b,。的值；

(2)直线BC交了轴于点。，点E是二次函数了=乎12+云+1图像上位于直线4B下方的动

点，过点E作直线48的垂线，垂足为P.

①求ER的最大值；

②若A4EF中有一个内角是N4BC的两倍，求点£的横坐标.

17.如图1,在平面直角坐标系中，RtAOAB的直角边0A在y轴的正半轴上，且0A=6,斜边OB

10,点P为线段AB上一动点.

(1)请直接写出点B的坐标；

(2)若动点P满足ZPOB=45。，求此时点P的坐标；

(3)如图2,若点E为线段0B的中点，连接PE,以PE为折痕，在平面内将AAPE折叠，点A的对

应点为N,当PA'IOB时，求此时点P的坐标；

18.如图，在菱形48CD中，对角线ZC,AD相交于点O,^5=10cm,BD=44cm.动点P从点

A出发，沿45方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，动点Q从点A出发，沿4D方向匀速运动，速度

为2cm/s.以NP,幺。为邻边的平行四边形4PM。的边PW与NC交于点E.设运动时间为

(2)连接设△尸£5的面积为S&m24求S与t的函数关系式和S的最大值；

(3)是否存在某一时刻t,使点B在/PEC的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理

由.

19.在矩形48CD中，点E为射线5c上一动点，连接4E.

(1)当点E在BC边上时，将AABE沿翻折，使点B恰好落在对角线AD上点F处，AE交BD

于点G.

①如图1,若BC=#AB,求NZED的度数；

②如图2,当48=4,且EF=EC时，求5c的长.

(2)在②所得矩形4BCD中，将矩形4BC。沿ZE进行翻折，点C的对应点为。，当点E,D三

点共线时，求BE的长.

20.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点E在直线AB上，连结DE,过点A作AFLDE交直线

BC于点F,以AE、AF为邻边作平行四边形AEGF.直线DG交直线AB于点H.

(2)当AE=2时，求EH的长.

(3)在点E的运动过程中，是否存在某一位置，使得AEGH为等腰三角形.若存在，求AE的长.

21.如图1,等边三角形纸片48c中，48=12,点D在边5c上(不与点B、C重合)，CD=4,点

E在边/C上，将ACDE沿。£折叠得到△©£>£(其中点。是点C的对应点).

AAA

图3

(1)当点C，落在NC上时，依题意补全图2,并指出OD与48的位置关系；

(2)如图3,当点。落到NNC5的平分线上时，判断四边形CDOE的形状并说明理由；

(3)当点C，到48的距离最小时，求CE的长；

(4)当A,C',D三点共线时，直接写出乙4EO的余弦值.

22.如图，四边形48CD是菱形，其中N4BC=60。，点E在对角线ZC上，点F在射线C5上运动,

连接瓦"作/FEG=60。，交直线QC于点G

(1)在线段8。上取一点T,使CE=CT,

①求证：AFET=ZGEC；

②求证：FT=CG；

(2)图中AB=7,AE=1.

①点F在线段3c上，求&EFG周长的最大值和最小值；

②记点F关于直线48的轴对称点为点N.若点N落在NEDC的内部(不含边界)，求CR的取值范

围.

答案解析部分

1.【答案】(1)解：作DH1AE于H,如图所示:

：.AH=2DH,

：AH2+DH2=AD2,

(2DH)2+DH2=(6&)2,

；.DH=6(米).

答：乙同学从点A到点D的过程中，他上升的高度为6米;

(2)解：如图所示：过点D作DG1BC于点G,

设BC=x米，

在RtAABC中，ZBAC=45。，

；.AC=BC=x,

由（1）得AH=2DH=12,

在矩形DGCH中，DH=CG=6,DG=CH=AH+AC=x+12,

在RtABDG中，BG=BC-CG=BC-DH=x-6,

BG

*.*tanzBDG=-^7,

----=山〃26.7°x0.5,

x+12

解得：x-24,

答：大树的高度约为24米.

【解析】【分析】(1)作DH1AE于H,利用勾股定理可得AH2+DH2=AD2,再结合AH=2DH,可得

(2DH)2+DH2=(675)2,最后求出DH=6即可;

(2)过点D作DGLBC于点G,设BC=x米，则DH=CG=6,DG=CH==AH+AC=x+12,BG=BC-

B^_%6

CG=BC-DH=x-6,再结合tanzBDGU1^,可得=S“26.7°a0.5,最后求出x的值即可。

DGx+12

2.【答案】(1)证明：如图，连接OE,

•.•EF是。。切线,

OELEF,

•：0E=0A,

；.ZOEA=ZOAE,

•/BD=AD,

：.ZB=ZOAE,

ZB=ZOEA,

：.OE\\BC,

：.EFIBC.

(2)解：如图，连接。E,

■：OE\\BC,

AEAO,

；.——=——=1,即/E=8£,

BEDO

■：Z。是。。直径，

：.AC-LBC,

•/EFIBC,

：.EF\\AC,

AE_CF

即BF=CF,

~BE^~BF

：.AC=2EF（三角形的中位线定理）,

2

•；CD=5,tanB=----

BF3

*'•设EF—2x,则CF=BF=3x,AC=4x,

/.AD=BD=BF+CF—CD=6x—5,

在RtAZC。中，AC2+CD2=AD2,即(4x1+52=(6x—51,

解得x=3或x=0（不符合题意，舍去），

贝0=C尸_CD=3x_5=3x3-5=4.

【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得0E1EF,由等腰三角形的性质可得NOEA=NOAE,

ZB=ZOAE,则ZB=ZOEA,推出OE||BC,据此证明；

（2）连接0E,根据平行线分线段成比例的性质可得AE=BE,由圆周角定理可得ZACB=9O。，贝U

EFHAC,由平行线分线段成比例的性质可得BF=CF,贝|AC=2EF,根据三角函数的概念可设EF=2x,则

CF=BF=3x,AC=4x,AD=BD=6x-5,接下来在RtAACD中，由勾股定理可求出x的值，然后根据

DF=CF-CD进行计算.

3.【答案】（1）解：如图1,

图1

7在正方形PQMN中,

PN=PQ=DE

PN//BC,

:.AAPN〜&ABC,AE=AD-DE=AD-PN,

PN_AE

"QM~^4D,

PNh-PN

——=—；—,

an

:.PN=上；

a+h

(2)证明：如图2,

图2

•/PQ±BC,NMLBC,NPLMN

ZPQM=ZQMN=ZPNM=90。，

..•四边形PQMN是矩形，

PN//PN,MN//MN,

:.ABP'N'〜ABPNABM'N'〜ABMN,

PN，BN，N'M'BN，

P'N'N'M'

•••PN=NM,

：.PN=N'M',

...矩形PQMN是正方形;

(3)解：如图3

图3

作NR1EM于R,作ET，5c于T,

.,.ZQEM=ZNRM=9O°,

/.ZEQM+ZTME=90o,

VZNMT=9O°,

ZTME+ZRMN=9O°,

/.ZEQM=ZNMR,

・.・MN=MQ,

/.AQEM=AMRN(AAS),

・・.EQ=RM,

・.・EN=NM,

・・.EM=2RM,

/.EM=2EQ,

/.tanZEQM=2,

sinzEQM=2f,sin/EMQ=2^,

2/5

JEM=QM♦sinZEQM=；QM,

ET=EMsinZEMQ=QM£=；QM=INM,

5

•/ET//NM,

.".ABET~ABNM,

ET_BE

"NM^BN'

2BN-EN

=----------,

5BN

55ah5ah

:.BN=-EN=-

33a+h3a+3/z

PNAE

【解析】【分析】(1)利用正方形的性质判定△/孙〜△45C,再通过相似三角形的性质证得二

\J1VL712-7

ah

进而得到尸N二

a+h

(2)由垂直的定义判定四边形PQMN是矩形，再利用平行线的性质判定ABPR〜ABPN,

P'N'__BN'N'M'__BN'PNN'M'

△BMN〜&BMN,进而得到故----二---又--PN=NM即可证得

PN_诉，NM一石『PNNM

P'N=N'M'判定矩形PQMN是正方形.

(3)作作ETL8C,利用余角的性质证得ZEQM=ZNMR,再通过AAS判定

△QEM=AMRN,得到EQ=RM,由等腰三角形的性质可得EM=2RM=2EQ,进而求得tanZEQM=2,然后

利用锐角三角函数值求得EM、ET的值，入ET//NM可得ABET〜ABNM,再利用相似三角形的性质

求得BN的长度.

4.【答案】（1）解：・・・。5=1,

tanZABO=3,

/.OA-OB-tanAABO-3,

AO,3）,

根据旋转的性质可得：。。=。4=3,

.\C（3,0）,

把N（0,3）、C（3,0）分别代入解析，得

c=3

[-9+3b+c=0'

b=2

解得：\公，

c=3

二次函数的解析式为y=—x2+2x+3,

VJ=-X2+2x+3=-（x-l）2+4,

二顶点坐标为尸（1，4）；

（2）解：①设Ma]y）,Na2,匕），

...直线1：>=日—左+3过定点。（1，3）,抛物线的顶点坐标为尸（1,4）,

•PQ=l

.•.S=：P0（x-x）=2,

△PMN221

X-X=4,

21

联立y——x2+2x+3与JV=—左+3

可得％2+（k—2）x—k=09

/.x+x=2-k,xx=-k,

1212

/.（x-x1=（x+x]-4xx=左2+4=16,

211212

k=±2W；

②证明：过点P作尸轴，垂足为G,分别过点M,N作尸G的垂线，垂足分别为E、F,

y

设/⑴乙)，N(1?

VM,N在二次函数》=-x2+2x+3图象上,

/.y=-x2+2x+3,

iii

y=-x2+2x+3.

222

・.・尸(1,4),

/.PE=4-y=4+x2-2x-3=(x-l)2,

iiii

ME=l-x

i'

PF=4-y=4+x2-2x-3=(x-l)2,

2222

NF=x-1

2，

PE(x-l)2

tanAPME=一==.—..1.—.X,

PF1-x1

i

FNx-11

tanZFPN=一=一—寸=

PFU-1>X—1'

22

由①可知x+x=2-k,xx=-k

;.x+x=2+xx

1212

：.(i-x)G-i)=i,

12

/.tanAPME=tanAFPN,

ZPME=ZFPN,

・：/PME+/MPE=9。。,

:./FPN+/MPE=90。，

即ZMPN=90°,

,无论k为何值，ARMN恒为直角三角形；

OA

【解析】【分析】（1）在直角三角形ABO中，用锐角三角函数tanzABO=痂■求得OA的值，于是可得点

A的坐标；由旋转的性质得OC=OA,于是可得点C的坐标；用待定系数法可求得二次函数的解析式；

配成顶点式可得二次函数的顶点P的坐标；

（2）①由题意先将直线1用含k的代数式表示解析式，再将抛物线的解析式和直线1的解析式联立解

方程组可求得k的值；

②过点P作尸轴，垂足为G,分别过点M,N作PG的垂线，垂足分别为E、F,设M（x『yj

N（X2,y2）,根据M、N都在抛物线上可将PE用含XJ的代数式表示出来，则ME、PF、NF也可将PE用

含七的代数式表示出来，tanZPME=——,tan/FPN=方方都可用含毛的代数式表示出来，由①可

1PFPF1

知xjx2=2-k,整理可得tanzPME=tanzFPN,即zPME=/FPN,结合直角三角形两锐角互余可得

ZMPN=9O°,于是结论"无论k为何值，△上恒为直角三角形"成立.

5.【答案】（1）证明：•?PEA-AD,PF1DC,

；.ZPED=ZPFD=90°,

ZADC=ZPED=ZPFD=90°,

.♦.四边形。EPE是矩形，

•；ZADC=90°,

NC是圆O的直径，

ZABC=90°,

AB=BC,

:.NACB=NBCA=45。,AB=BC,

；.NADB=ZCDB=45°,

ZDPE=ZADB=45°,

PE=DE.

四边形CEPE是正方形；

（2）M：'：AD=2CD,ZC是圆。的直径，

；.4D的度数为120。,40的度数为60。,

：.ZDAC=30°,ZDCA=60°,

PE1ppFT

：.sinZDAC==sinZDCA=sin60°=一=J,

AP2PC2

：.AP=2PE,PC=bHpF,

3

VAC=AP+PC=2r=4x2=8,正方形DE。尸中，PE=PF,

：.yipF+2PF=8,

3

:.PF=2p-2.

（3）解：在上取点G,使EG=CF,连接尸G,

由（1）得：PE=PF,ZGEP=ZPFC=90°,

:.AGPEWCPF,

：.PG=PC=x,/GPE=/FPC，S=S,

△CEP”FC

••・阴影部分的面积等于s+s,

AAPG^ABC

・.・/EPF=90°,

:./APE+/CPF=9。°,

：./GPE+/APE=90。,gpZAPG=90°,

VAC=8,

AP=8—x,

,\5=J_Z尸-PG=1x（8—x）

△APG22'

・・・△/5C是等腰直角三角形，AC=8,

：.AB=BC=4>/2,

,\5=1^52=1X4J2X4J2=16

-ABC22

即阴影部分的面积y=gx（8_x）+16=_gG_41+24,

.•.当x=4时，y有最大值，最大值为24.

【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得ZPED=NPFD=90。，又ZADC=9O。，根据有三个角是直角的四边形

是矩形得四边形DEPF是矩形，易得4B=BC,由等弧所对的圆周角相等得2DPE=NADB,进而根据

等腰三角形性质得PE=DE,然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得出矩形DEPF是正方形；

(2)根据圆心角、弧、弦的关系得乙DAC=30。，ZDCA=6O°,根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数

值得AP=2PE,PC=^LLPF,进而结合AP+PC=AC建立方程，求解可得PF的长;

3

(3)在ED上取点G,使EG=CF,连接PG,利用SAS判断出AGPE三ACPF,根据全等三角形的性

质得PG=PC=x,ZGPE=ZFPC,S=S,所以阴影部分的面积等于SAPR+SAR「，易得NAPG=90。，

△AAPG△AAABRCrAAPG△AABC

进而根据三角形面积计算公式分别表示出SAP「与再求和可得y关于X的函数解析式，进而根据

△AAPGAABC,'

函数性质可得答案.

6.【答案】(1)解：将Z(—1,-5),8(0,-4)代入y=kx+m,

-k+m=—5

m=—4

k=l

解得

m=-4

-.y=x-4,

令y=o,则x=4,

.-.C（4,0）,

将/（—I,—5）,C（—4,0）代入y=ax2++4,

’2'

16。+46+4=0

Q-b+4=-5'

a=-2

解得入r，

b=7

y=-2x2+7x+4；

(2)解：过点。作。交于〃,

（0,-4）,C（4,0）,

ZOCB=45°,

•••OC=4,

OH=CH=25/2,

---AC=5y/2,

AH=3^/2,

:.AO=426,

os必吁步=包

72613

(3)解：存在点。，使得ABCD与ACMB相似，理由如下:

•.■。点在。点右侧，

ZBCD=135°,

•/ZA5O=135°,

ZCBD=NOAB或ZCDB=ZOAB,

当ZOAB=ZCBD时，AOAB~ADBC,

OB_AB

"'CD~^C，

•••08=4,BC=43,AB=&,

CD=16,

.-.£＞（20,0）；

当ZOAB=ZBCD时，AOAB-ABDC,

OB_AB

"~BC~'CD'

CD=2,

.-.£＞（6,0）；

综上所述：。点坐标为（20,0）或（6,0）.

【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；

（2）过点。作OH1AC交于H,分别求出OH=CH的长度，AO的长度，即可求sin/AOB的值；

（3）分两种情况讨论：当NOAB=NCBD时，AOAB-ADBC,可求D的坐标；当/OAB=ZBCD时,

△OAB-ABDC,可求D的坐标.

7.【答案】（1）解：作DF1AC

•.•点E是BD的中点

.\BE=DE

故S=S

△BCE&CDE

,/AD=4,AADE是等边三角形，DF1AE

；.AF=EF=2,ZADF=3O°

.\DF=273

•.•在RtADEC中，CD=5,DF=2jJ,根据勾股定理得:

FC=7l3

.,.CE=CF-EF=713-2

SJcExDF；(8-2)x2道=./，39-2J3

44CDE22

(2)证明：延长AF使AF=FG如下图

「△AED是等边三角形

/.ZAED=ZADE=60°,AE=AD=ED

•；AF=FG,点F是CD的中点

.\CF=FD又ZAFD=NCFG

AAFD^AGFC

；.CG=AD,ZFCG=ZADF

；.CG=AE

又,；ZCEB=ZECD+ZEDC=6O°,

ZACG=ZFCG+ZACD=ZADF+ZACD=120°

又NAEB=120°

.\ZAEB=ZACG,ZCAG=ZABD

又CG=AE

AABE=AAGC

；.AB=AG

故AB=2AF

QGJTO

(3)解：如下图，过点Q作QG1BG,使NNBE=NGBQ,在RtABQG中，sinzBQG=则

BQ10

GQ=2L_BQ,故CQ+%_BQ=CQ+QG,由ZAPD=9O。，可知点P的运动轨迹为AD为直径的圆，

ON.点G为以BE的中点为圆心的圆，点G的运动轨迹为圆.当点C、Q、G在同一条直线上时，CQ+QG

的长度最小.

VABHCD,NAPD=90。

二四边形ADCK为正方形，有AD=4J5AB=6j)

.\CK=AD=472又tanZABC=2

.,.BC=27T0

,/AN=3V2,GN=V2

/.CL=CD-DL=72

ZBGN=zGCL

.\RtABGN=RtAGCL

/.BG=CG

在RtABGC中，BC=2g

：.CG=2p

即CQ+零BQ的最小值=2J5

【解析】【分析】(1)作DF1AC,根据中点的概念可得BE=DE,则S”『S「心，有等边三角形的性质可

△DCE.△CDfc,

得AF=EF=2,ZADF=30°,DF=2jJ,根据勾股定理可得FC,有CE=CF-EF求出CE,然后根据三角形

的面积公式进行计算；

(2)延长AF使AF=FG,由等边三角形的性质可得zAED=zADE=60。，AE=AD=ED,证明

△AFD^AGFC,得至I」CG=AD,ZFCG=ZADF,贝！］CG=AE,进而证明AABE三AAGC,得至I|AB=AG,据

此证明;

(3)过点Q作QGLBG,使ZNBE2GBQ,根据三角函数的概念可得GQ=Y!?BQ,则CQ+迎

BQ=CQ+QG,由NAPD=90。可知点P的运动轨迹为AD为直径的圆，当点C、Q、G在同一条直线上时，

CQ+QG的长度最小，然后求出AD、BC、CL的值，证明RtABGNmRtAGCL,得到BG=CG,据此求解.

8.【答案】(1)解：在矩形Z5CD中，CD=AB=4.

AP=y,

:.CP=8-y,

..DQ=3

,CP51

x3

A8^7=5-

5。

y=一丁+8.

(2)解：(i)当尸。时,

DQ=x,4P=y,

：.CQ=4-x,CP=8-y.

pc1

••cos/-ACD==_

,CQ2'

,8-y=1

12c八12

解得x=直，即。。=直.

(ii)当。时，

延长EQ交zc于点H.

VADWBC,

：.ACAD=ZACB=30°,ZACD=60°.

•；AP=PE,

；.ZEPA=2ZEAC=60°,

.•.△KPC是等边三角形.

/.KC=CP=8—y=-X

3

：.DK=4-^x,

在RMD£K中，DE=y/3DK,

在RSOE。中，DE=^-DQ,

3

:.#DK=*DQ,即—=解得x=2,即00=2.

(iii)

­.•ZAEP=ZCAD=30°,

ZAPE=120°,

c八12

综上，°。的值为三或2；

••.尸£不可能垂直于/C.

(3)解:

5544

当x=4时,y———x+8———x4+8——即&F=q,

333

：.CF=8-AF=^.,

①在口尸QEG中，DG\\PQ,

20

FCDC-y_4

：-CP=CQ'即LE?

n—X

3

解得x=2,

CQ=4-2=2,PF=FC—CP亭.

过点Q作。〃，oC,观\QH=§QC=3

：.S=2S=PFxQH='M

口PQFG^FQP3

②—I

115

44

【解析】【解答］解：（3）②行＜》（歹

提示：当点G落在边上时,

'：FG\\QP,

：.NGFP=ZQPF,

ZAFG=NQPC.

•：AB\\CD,

：.ABAC=ZDCA.

•：FG=PQ,

AAFG知CQP.

54

/.AF=CP,即_x=_,

33

4

解得X=q.

当点G落在BC边上时,

作。N||交/C于点N,作于点M,

则MN=DQ=x,

4

AN=2x,NF=——2x

3

易证Wf&GCP,

454

NF=CP,即9―2x=^x,解得x=五，

44

——<x<—

115-

【分析】(1)根据矩形的性质可得CD=AB=4,由含30。角的直角三角形的性质可得AC=2AB=8,贝”

DQ3

CP=8-y,然后由讳=5就可得到y与x的关系式；

(2)当PQ1AC时，CQ=4-x,CP=8-y,根据三角函数的概念可得x；当QE1AC时，延长EQ交AC于

点H,根据平行线的性质可得NCAD=NACB=30。，贝吐ACD=60。，推出AKPC为等边三角形，得到

55

KC=CP=8-y=-x,则DK=4-^x,接下来在RtADEK、RtADEQ中，根据勾股定理可得DE,据此可得x

的值；当NAEP=ZCAD=3O。，ZAPE=12O°,PE不可能垂直于AC,据此解答；

4420

(3)①当x=4时，y=-,即AF=w，CF=8-AF=—,根据平行线分线段成比例的性质可得x的值，

然后求出CQ、PF,过Q作QHLPC,求出QH的值，然后根据三角形的面积公式进行计算；

②当点G落在AB边上时，根据平行线的性质可得NGFPJQPF,NBAC=NDCA,利用AAS证明

△AFG=ACQP,得至|JAF=CP,代入求解可得x的值；当点G落在BC边上时，作QNIIAD交AC于点

4

N,作NM1AD于点M,贝IMN=DQ=x,AN=2x,NF=y-2x,同理证明AQNFmAGCP,得到NF=CP,代

入求出x的值，据此可得x的范围.

9.【答案】(1)证明：：等边△“BC中，CD是中线，

ZACD=ZBCD=30°,

ZFCD=ZECD=150°,

：在ACDE和ACDF中，

(CE=CF

Z1FCD=乙ECD

CD=CD'

:ACDEWCDF,

DE=DF-

（2）解：①CD2=CECF,理由如下:

•/ZBCD=ZF+ZFDC=30°,

:NFDC+NCDE=30。,

NF=NCDE,

由（1）知，ZFCD=ZECD=150°,

:.ACDFSACED,

CD_CF

"CE~CD，

CD2=CECF；

②由①知，CD2=CECF,

CZ）2=6x2=12,

:.CD=20（负值舍去），

.,CD

•：sinA=----,

AC

:.AC=4,

过点D作。G||C/交ZC于G点,

则ANGD为等边三角形，

DG=AD=2=AG,

寿■小DGM和△77CA/中，

EFMC=乙DMG

=4MDG

CF=DG'

：.ADGMAFCM,

:.CM=LCG=1,

2

过M点作于H点,

E

图②

/T1_

CH=CMcos3Q0=2L,,MH=CMsin30°=_,CD=ACcos3Q°=2^/3,

:.DH=CD-CH=b!L

2

在Rt八DHM中，

DMi=DH2+MHI=+［以：7,

:.DM=甲（负值舍去）.

【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得NACD=NBCD=30。，贝I"FCD=NECD=150。，由已知条件

可知CE=CF,利用SAS证明ACDE三ACDF,据此可得结论；

（2）①由角的和差关系可得NF=4CDE,由（1）可知ZFCD=NECD=150。，根据两角对应相等的两个三

角形相似可得ACDFsACED,然后根据相似三角形的性质进行解答；

②由①知CD2=CE-CF,据此可求出CD的值，根据三角函数的概念可得AC,过点D作DGIICF交AC

1

于G点，则AAGE为等边三角形，得到DG=AD=2=AG,利用AAS证明ADGM三AFCM,得到CM=-

CG=1,过M点作MH1CD于H点，根据三角函数的概念可得CH、MH、CD,由DH=CD-CH求出

DH,接下来利用勾股定理进行计算.

10.【答案】（1）解：①：幺白,。），8（0,3、/5）,

：.OA=3,05=30,则幺5=6,

.,tanZOBA=^=2-=^

ZOBA=30°,则/氏4。=60。，

••,点M与点N重合，点N与点8重合,

0A=PA=3,ZOAP=120°,

过点尸作尸。x轴于点。，

依题意CM_L48,则尸2=。4=3,ZPOA=30°,

9

:.OD=OA+AD=-,

2

・△OAB的“翻折点”的坐标为

②点。与点尸关于的对称,

••・"乂为线段。尸的垂直平分线，

当点N运动到点5时，NO=NP=3j3,

AP=6-3^/3,

当点M运动到点/时，AP=OA=3,

:.6-3^/3<PA<3.

⑵，驾

3

【解析】【解答］解：（2）直线y=—4%+63〉0）与X轴，V轴分别交于4,5两点,

4

令x=0,则V=令y=0,解得％=可6,

,B(0,b\

对于火〃。45中，先固定N点，当拉运动时始终由NO=NP,

・••在"运动时，尸点到轨迹为以N为圆心，NO为半径的一段圆弧上，临界点分母是拉与点。与点/

重

合时，

当点N运动时，这段圆弧也随之运动，形成封闭的图形，如图所示，

4

该图形为：以/为圆心，为半径的O幺与以8为圆心，b为半国的08的两圆的公共部分，

当以直线48为对称轴时，斜边为2的等腰直角三角形边上任第一点都是AOAB的“翻折点”，即该等腰

直角三角形在上述封闭图形内.

ON的半径大于08的半径，

•・•当等腰直角三角形的料边刚好在。幺上（即为OZ的弦）时，可得b的最大值，

解得：5=1+0,

2

b>—―.

2

【分析】（1）①根据点的坐标求出。4=3,0B=35再利用锐角三角函数求出ZOBA=30°,

最后计算求解即可；

②根据题意先求出MN为线段。尸的垂直平分线，再分类讨论计算求解即可；

（2）根据题意先求出点A和点B的坐标，再结合图形，利用勾股定理等计算求解即可。

1L【答案】（1）解：①证明：如图所示：

边4°绕点°逆时针旋转180°-a得到线段CE,

AC=CE,

点尸是的中点，

DF=EF,

点0与点G关于点/对称，

.CF=GF,

ZDFG=ZEFC,

.•.△DFG/EFCGAS),

DG=CE,

:.AC=DG.

②证明：•••边48绕点3顺时针旋转a(0°<a<l80。)得到线段AD,

BD=BA,

设N4CB=x,/ABC=y,

则NB/C=180。-(x+y),

・•・在四边形中，

ZBDE+ZCED=360°-ZDBC-ZBCE=180。-(x+y),

•:ADFG/EFC,

NGDF=ZCEF,

NBDG=ZBDE+ZGDF=18CP-(x+y),

ZBDG=ABAC,

.­.ABDG^^BAC(SAS\

ZDGB=ZACB；

(2)解：FH=^BC.

4

理由如下：

如图，连接5/，

由(D②知：&BDG三ABAC,

:.BG=BC,/DBG=NBAC