不定积分的计算

关于不定积分的计算问题？解决方法利用复合函数求导的逆运算，设置中间变量.过程令说明结果正确一、第一换元积分法第2页,共47页，2024年2月25日，星期天对于形如的积分，设如果连续，且则该积分法可由下面的逆运算证明这种积分方法也叫做“凑微分法”。第3页,共47页，2024年2月25日，星期天定理1可导,则有换元公式设f(u)具有原函数F(u),u=

(x)连续如何应用上述公式来求不定积分?

则使用此公式的关键在于将化为的形式，假设要求所以，第一类换元积分法也称为凑微分法.第4页,共47页，2024年2月25日，星期天例1求解u=2x+1,du=d(2x+1)

=2dx,则想到公式注意换回原变量第5页,共47页，2024年2月25日，星期天例2求解：则想到公式第6页,共47页，2024年2月25日，星期天

这种换元法又称为凑微分法或配元法,即引进一个新变量以代替原来的变量,对于变量代换熟练以后,可以不写出中间变量u.例1求解法二：第7页,共47页，2024年2月25日，星期天例3求一般地,有第8页,共47页，2024年2月25日，星期天例4求类似第9页,共47页，2024年2月25日，星期天例5求一般地,有第10页,共47页，2024年2月25日，星期天例6

求解说明:当被积函数是三角函数(如正弦函数和余弦函数)相乘时，拆开奇次项去凑微分.第11页,共47页，2024年2月25日，星期天例7求第12页,共47页，2024年2月25日，星期天例8求一般地,有第13页,共47页，2024年2月25日，星期天例9求一般地,有第14页,共47页，2024年2月25日，星期天第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可循．这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，例如,等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中拼凑出合适的微分因子．第15页,共47页，2024年2月25日，星期天例10求第16页,共47页，2024年2月25日，星期天例11求第17页,共47页，2024年2月25日，星期天例12求第18页,共47页，2024年2月25日，星期天例13求第19页,共47页，2024年2月25日，星期天例14求第20页,共47页，2024年2月25日，星期天例15求第21页,共47页，2024年2月25日，星期天解类似可得例16.

求第22页,共47页，2024年2月25日，星期天小结积分常用技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;凑微分法（陪元方法）(4)巧妙换元或配元。利用积化和差;分式分项等;利用倍角公式,如第23页,共47页，2024年2月25日，星期天作业P1551(1)--(18)第24页,共47页，2024年2月25日，星期天二、第二换元积分法设将积分化为若则若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。第25页,共47页，2024年2月25日，星期天例1

求解令则于是第26页,共47页，2024年2月25日，星期天例2

求解令第27页,共47页，2024年2月25日，星期天说明当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例3

求解令第28页,共47页，2024年2月25日，星期天三、分部积分法由导数公式积分得:分部积分公式或

分部积分法一般用于是解决两种不同类型函数乘积的不定积分问题的.第29页,共47页，2024年2月25日，星期天例1.

求解:令则原式=

分析：被积函数xlnx是幂函数与对数函数的乘积,采用分部积分.第30页,共47页，2024年2月25日，星期天例2

求积分解（一）令显然，

选择不当，积分更难进行.解（二）令

分析：被积函数xcosx是幂函数与三角函数的乘积,采用分部积分.第31页,共47页，2024年2月25日，星期天(1)v要容易求出;

容易积出.

分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择一般来说，选取的原则是：第32页,共47页，2024年2月25日，星期天

解题技巧：

分部积分法求不定积分的关键是要确定u，由计算的经验，可以得出以下顺序：“反（反三角函数）、对（对数函数）、幂（幂函数）、指（指数函数）、三（三角函数）”，当两种不同类型函数相乘求积分时，按以上顺序，排序在前的函数作为u.即把被积函数视为两个函数之积,按

“

反对幂指三”的顺序,前者为后者为第33页,共47页，2024年2月25日，星期天例3.

求解:

令,则原式=第34页,共47页，2024年2月25日，星期天例4求解设u=arctanx,v′=x,则“

反对幂指三”前者为后者为第35页,共47页，2024年2月25日，星期天例5求解设u=lnx,dv=dx,则“

反对幂指三”前者为后者为第36页,共47页，2024年2月25日，星期天例6求设u=x2,,

则du=2xdx,v=-cosx,于是解：第37页,共47页，2024年2月25日，星期天例7求

上式最后一项正好是所求积分,移到等式左边然后除以2,可知exsinx的一个原函数为第38页,共47页，2024年2月25日，星期天说明:分部积分题目的主要类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数类型要一致,

解出积分后加C)第39页,共47页，2024年2月25日，星期天不定积分计算练习题第40页,共47页，2024年2月25日，星期天第41页,共47页，2024年2月25日，星期天例1

求解:

令则故原式注意换回原变量想到公式第42页,共47页，2024年2月25日，星期天例2求解u=2x+1,du=2dx,则想到公式第43页,共47页，2024年2月25日，星期天