茂名市重点中学2024届数学高二年级上册期末考试试题含解析

茂名市重点中学2024届数学高二上期末考试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列命题错误的是（）

I1c

A3x>0,InxH----<2

Inx

B.命题u3xe(0,+oo),lnx=x-lw的否定是aVxe(0,+oo),lnx^x-lw

C.设则“xN2且＞22”是+的必要不充分条件

D.设。力eR,贝！）“aw0”是“abw0”的必要不充分条件

EGI

2.在三棱锥S—ABC中，点E,b分别是SA,BC的中点，点G在棱所上,且满足——=—，若SA=a,SB=b,SC=c，

EF3

则AG=（）

1-11一21-1

A.一a——br+—cB.——a+—b+—c

326366

1-11.1.11_

C.—a—b7H—cD.——a——rb+—c

632362

1nx

3.已知函数〃x）=——，贝！I（）

A.函数/（%）的极大值为L无极小值B.函数”光）的极小值为L无极大值

ee

C.函数的极大值为0,无极小值D.函数八％）的极小值为0,无极大值

4.已知直线%+砂-2=0与圆/+/=］相切，则a的值是（）

A」B.±1

C.V3D.±73

5.在正方体ABCD—AgG。中，PQ与直线4。和AC都垂直，则直线PQ与8。的关系是（）

A.异面B.平行

C.垂直不相交D.垂直且相交

6.下列说法中正确的是（）

A.命题“若X=y,贝!）sinX=siny”的否命题是真命题；

B.若Pvq为真命题，则。人4为真命题；

C.“x=1”是一3%+2=0”的充分条件；

D.若命题P：“BxeR,%2+x+l<On>则-1P："VxeH,X2+X+1>OM

7.已知直线A：ax+2y=0与直线自2x+（2a+2）y+l=0垂直，则实数a的值为（）

2

A.-2B.----

3

C.lD.l或-2

8.双曲线的离心率为G，焦点到渐近线的距离为2攻，则双曲线的焦距等于

A.2B.2V2

C.4D.4V3

9.2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（如图1）.其中“100”

的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（如

图2）.已知R=3r,则由其中一个圆心向另一个小圆引的切线长与两大圆的公共弦长之比为（）

图1图2

A.73B.3

Zn2出

lx・----------

23

10.若点A,3在抛物线y2=2px（p>0）上，。是坐标原点，若等边三角形Q钻的面积为4若，则该抛物线的方

程是（）

A.y2=^~XB.寸=

D.y2=鸟

C./=2mx

-3

11.将点河的极坐标10,1化成直角坐标是()

A.(5,56)B.(573,5)

C.(5,5)D.(—5,—5)

12.设a,b,c非零实数，且则()

11

A.a+Z?>0B.—<—

ab

C.a-b>QD.ac>be

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设〃x)=sin2x-q-，尤eR,若将函数y=/(x)的图像向左平移0个单位能使其图像与原图像重合，则正

实数。的最小值为.

14.已知曲线C："储+〃y2=],

①若加>〃>o,则。是椭圆，其焦点在y轴上;

②若机=〃>0,则c是圆，其半径为6；

③若7加2<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±

④若m=0,n>0,则C是两条直线.

以上四个命题，其中正确的序号为.

15.tan75—tan15—A/3tan75tan15=

16.如图，已知48,CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB,CD,若该圆柱的底面圆直径是其母线长的2倍,

则异面直线AC与BD所成角的余弦值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),

[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图

(1)求直方图中的值；

(2)求月平均用电量的众数和中位数；

(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取

户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？

18.(12分)如图1所示，在四边形4BCD中，AD//BC,ADVBD,AD=BD=2,将沿5。折起，使

得直线45与平面5。所成的角为45。，连接AC,得到如图2所示的三棱锥A-BCD

(1)证明：平面A8£)J_平面3cD；

(2)若三棱锥A—BCD中，二面角。-AC-5的大小为60。，求三棱锥A—5CD的体积

19.(12分)已知椭圆。：「+卓=1(。〉6〉0)的右焦点为尸。,0),且经过点。(、历,日

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C的左顶点为P,过点口的直线/(与x轴不重合)交椭圆于A3两点，直线E4交直线:x=2a于点”,

若直线/'上存在另一点N,使网0.网=0.求证：P，氏N三点共线.

X2v21

20.(12分)已知椭圆C：—+2=1(。〉6〉0)的一个顶点为A(2,0),离心率为直线y=Ax与椭圆。交于

不同的两点M,N

(1)求椭圆C的标准方程；

3

(2)当4W的面积为一时，求人的值

2

21.(12分)已知关于x的不等式V—3公+2<0的解集为人={]|141〈耳.

(1)求。，♦的值;

9

(2)若XEA,^f(x)=(3a-b)x--一丁的最小值，并求此时工的值.

{a-b)x

22.(10分)已知尸={%仅2—8x—20W0},非空集合S={x|l一机3烂1+m}.若是的必要条件，求机的取值

范围

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解题分析】根据题意，对四个选项一一进行分析，举出例子当x=L〉O时，lnx<0,即可判断A选项；根据特称

2

命题的否定为全称命题，可判断B选项；根据充分条件和必要条件的定义，即可判断CD选项.

【题目详解】解：对于A,当％=!〉0时，lnx<0,lnx+—<0,故A正确；

2Inx

对于B,根据特称命题的否定为全称命题，

得"Hxe(O,十》),lnx=x-l"的否定是"Vxe(0,+oo),lnxwx-l",故B正确；

对于C,当2且>22时，/+J/»4成立；

当好+/»4时，却不一定有2且y22,如x=5,y=O,

因此“％之2且>22”是“必+/24”的充分不必要条件，故C错误；

对于D,因为当awO时，ab有可能等于0,当ab/O时，必有awO,

所以"awO”是的必要不充分条件，故D正确.

故选：C.

2、B

【解题分析】利用空间向量的加、减运算即可求解.

E

B

由题意可得AG=AE+EG=AE+LM=AE+，(SF—SE)

33、)

41411/\

=——SE+-SF=——SE+--(SB+SC)

33332、'

=---SA+-(SB+SC\=--a+-b+-c

326、'366

故选：B.

3、A

【解题分析】利用导数来求得了(%)的极值.

【题目详解】/(%)的定义域为(。,+8),

£、1—lnx

八司=［「，

“X)在(0,e)J(x)>0"(%)递增；在(e,)J(x)<0"(x)递减，

所以/(%)的极大值为/'(e)=L没有极小值.

e

故选：A

4、D

【解题分析】直线与圆相切，直接通过2=/求解即可.

2

【题目详解】因为直线x+ay—2=0与圆V+y2=i相切，所以圆心到直线的距离d=7^=1,所以储=3,

a—±\/3・

故选：D

5、B

【解题分析】以。为坐标原点，口4,。。,。〃所在直线分别为》轴，》轴，z轴建立空间直角坐标系，根据向量垂直

的坐标表示求出产。=(1,1,-1),再利用向量的坐标运算可得8。=-PQ,根据共线定理即可判断.

【题目详解】设正方体的棱长为1.

以。为坐标原点，所在直线

分别为了轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则函=(1,0,1),"=(-1,1,0).

a+c=0

设PQ=(a,0,c),则八八，取PQ=(1,1,—1).

-a+b=0

B0=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)=-PQ，

:.PQ/IBDV:.PQI/BDX.

故选:B

【题目点拨】本题考查了空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标表示、空间向量共线定理，属于基础题.

6、C

【解题分析】A.写出原命题的否命题，即可判断其正误；

B.根据为真命题可知的p,〃真假情况，由此判断“人4的真假；

C.看命题“x=1”能否推出“炉_3%+2=0”，即可判断；

D.根据含有一个量词的命题的否定的要求，即可判断该命题的正误.

【题目详解】A.命题“若x=y,则sinx=siny"，其否命题为若“x/y,则sinx/siny”为假命题，因此A不正确;

B.命题“Pvq，，为真命题，则p,g中至少有一个为真命题，当二者为一真一假时，0人4为假命题，故B不正确

C.命题“若x=l,则3x+2=0”为真命题，故C正确;

D.命题0：x2+x+l<On，为特称命题，其命题的否定："X/xeH,x2+x+l>0"，故D错误,

故选：C

7、B

【解题分析】由题意，利用两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0,计算求得。的值

【题目详解】•••直线小ax+2y=0与直线，2：2x+(2a+2)y+l=0垂直，

,,2

/.ax2+2x(2a+2)=0,求得a=-----,

3

故选：B

8、D

【解题分析】不妨设双曲线方程为$V,,c〃八，

靛一中=1(a>0,b>0)

则e=£=若，即c=ga,设焦点为(c,0),渐近线方程为y=

aa

\bc\beI~

贝!亍-=一=b=2y/2,Xb~=c2-a2=8,

yJa-+b2c

解得a=2,c=2百.则焦距为4G.选：D

9、C

【解题分析】作出图形，进而根据勾股定理并结合圆与圆的位置关系即可求得答案.

【题目详解】如示意图，

由题意，iaai=R+r=4r,则|0幽|=#0.FT02MF=岳r，

又|0。|=2^=2r，|OjE|=3r,所以|所|=2』。也『—|00『=,

后"。阳|V15r6

\EF\2舟2

故选：C.

10、A

【解题分析】根据等边三角形的面积求得边长，根据角度求得A点的坐标，代入抛物线方程求得。的值.

【题目详解】设等边三角形Q旬的边长为。，

贝！］走〃=46，解得〃二4

4

TT

根据抛物线的对称性可知NAOx=—,且。4=a=4,

6

设点A在x轴上方，则点A的坐标为］。^cos^Qsinf,即（26,2）,

将（2班,2）代入抛物线方程得22=2。•26，

解得°=走，故抛物线方程为丫2=2.3.x=2叵%

333

故选：A

11、A

【解题分析】本题考查极坐标与直角坐标互化

由点M的极坐标知夕=10,8=工

I3J3

X-pCOS0（I7171r-

极坐标与直角坐标的关系为｛.C，所以HI.的直角坐标为x=10cos—=5,y=10sin—=56

y=psm0I3J33

即（5,5@

故正确答案为A

12、C

【解题分析】对于A、B、D：取特殊值否定结论；

对于C：利用作差法证明.

【题目详解】对于A：取。=-1力=-2符合已知条件，但是。+匕>0不成立.故A错误；

对于B：取a=l,b=-2符合已知条件，但是工=1,：=—工，所以工〈，不成立.故B错误；

ab2ab

对于C：因为a>6,所以a—b>0.故C正确；

对于D：取a=l力=—2,c=-1符合已知条件，但是ac=—l,bc=2,所以ac>仇•不成立.故D错误；

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、式

【解题分析】根据正弦型函数图像平移法则和正弦函数性质进行解题.

【题目详解】解：由题意得:

函数y=/(x)的图像向左平移。个单位后得:

.__21、

/(x)=sin2(x+a)-^-—sin(z2x+2〃—)

该函数与原函数图像重合故sin(2x+2a——)=sin(2x——)

33

27r27r

可知2a------=2k兀-----(左eZ),即4=左万(左eZ)

33

故当％=1时，a=n最小正实数.

故答案为：兀

14、①③④

【解题分析】通过“，〃的取值判断焦点坐标所在轴，判断①，求出圆的半径判断②；通过求解双曲线的渐近线方程,

判断③；利用m=0,n>0,判断曲线是否是两条直线判断④

【题目详解】解：①若加>〃>0,则0<上<工，

mn

22

乙+乙=1

因为方程化为：£2一，焦点坐标在y轴，所以①正确；

mn

②若机=〃>0,则C是圆，其半径为：不一定是薪，所以②不正确;

Vn

③若加<0,则C是双曲线，其渐近线方程为化简可得y=±

④若m=0,n>0,方程化为〃/=1,则c是两条直线,所以④正确;

故答案为：①③④

15、G

【解题分析】先由题得到tan750-tanl50=^+A/5tan750tanl5°，再整体代入化简即得解.

【题目详解】因为tan(75°-15°)=里巴曰^=6，

'71+tan75tan15

所以tan75°—tan15°=-J3+Gtan75°tan15°，

贝(1tan75°—tan15°—若tan75°tan15=百+百tan75°tan15°一百tan75°tan15=6

故答案为百

【题目点拨】本题主要考查差角的正切公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

【解题分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【题目详解】取。的中点。，以。为原点，以。所在直线为X轴，

以底面内过点。且与。垂直的直线为y轴，

以过点。且与底面垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

设AB=2,则4(0,-U),5(0,1,1),C(-l,0,0),

£>(1,0,0),AC=(-1,1,-1),=

一\AC-BD\11

『=工

所以cos(AC,BD)=-,----n----1=-F=~，

'/|AC|.|BD|73X733

所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为!

故答案为：—

3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)0.0075；(2)230,224；(3)5

【解题分析】(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)x20=l,解方程可得；(2)由直

方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在［220,240)内，设中位数为a,解方程(0.002+0.0095+0.011)

x20+0.0125x(a-220)=0.5可得；(3)可得各段的用户分别为25,15,10,5,可得抽取比例，可得要抽取的户数

试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)x20=1得：

x=0.0075,所以直方图中x的值是0.0075..........3分

220+240

⑵月平均用电量的众数是---------=230..........5分

2

H^(0.002+0.0095+0.011)X20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在［220,240)内,

设中位数为a,

由(0.002+0.0095+0.011)x20+0.0125x(a-220)=0.5

得：a=224,所以月平均用电量的中位数是224.........8分

⑶月平均用电量为［220,240）的用户有0.0125x20x100=25户，

月平均用电量为［240,260）的用户有0.0075x20x100=15户，

月平均用电量为［260,280）的用户有0.005x20x100=10户，

月平均用电量为［280,300］的用户有0.0025x20x100=5户，.................10分

抽取比例=二~------=:，所以月平均用电量在［220,240）的用户中应抽取25x2=5户.-12分

考点：频率分布直方图及分层抽样

18、（1）证明见解析；

（2）

3

【解题分析】（1）过A作短，面连接3E,结合题设易知AB="4E=同。，根据过面外一点在该面上

垂线性质知重合，再应用面面垂直的判定证明结论.

（2）面中过。作。结合题设构建空间直角坐标系，设3C=a>0并确定相关点坐标，求面ABC、

面ADC法向量，应用空间向量夹角的坐标表示列方程求参数，最后由棱锥体积公式求体积.

【小问1详解】

由题设，易知：△是等腰直角三角形，即/钻。=45°,

将△至。沿折起过程中使直线A5与平面5c。所成的角为45。，此时过A作4£_1_面8。£）,连接3E,如下图示,

所以NAB£=45°,在RtAABE中AB=JL1E，又AB=0AD且瓦。e面

因为过平面外一点有且只有一条垂线段，故E,。重合，此时面

又ADu面故平面A3。，平面5C。；

【小问2详解】

在平面中过。作。由（1）结论可构建如下图示的空间直角坐标系,

由AD/ABC,ADLBD，AD=BD=2,若BC=a>0,

uuu

则。(0,0,0),40,0,2),5(2,0,0),C(2,a,0),故AC=(2,Q,—2),AB=(2,0,-2),ZM=(0,0,2)，

m-AC=2x+ay-2z=0

若m=(%,y,z)是面ABC的一个法向量，贝叫，若x=l,则机=(1,0,1),

m-AB=2x-2z=0

n-AC=2a-^-a6-2y=0

若〃=(a,夕,7)是面ADC的一个法向量，贝!,若/?=2,则〃=(一〃,2,。)，

［小DA=2/=0

..|—CL|1

所以，由二面角£)—AC—6的大小为60。有1＜：05＜根,〃〉|=亍一===-,解得。=2,

V2XV4+G2*42

114

22

19、(1)—+^=1；

43

(2)证明见解析.

【解题分析】(1)根据给定条件利用椭圆的定义求出轴长2a即可计算作答.

⑵根据给定条件设出/的方程，与椭圆C的方程联立，求出直线如的方程并求出点”的坐标，求出点N的坐标，再

利用斜率推理作答.

【小问1详解】

依题意，椭圆C的左焦点/(-1,0),由椭圆定义得：

2a=1Q尸I+1QF'\=-1)2+(等尸++1)2+

=g-2后+

+、(2+f=4

即a=2,则尸=/—1=3,

22

所以椭圆C的标准方程为L+匕=1.

43

【小问2详解】

由(1)知，P(-2,0),直线/不垂直y轴，设直线/方程为x=my+l,4>1，%),5(%,%)，

[x=my+\,,—6m-9

由《2消去X得：(3/77+4)y-+6my-9=0,则%+%=，.，%%=24，

2々文

3x+4y=123m+43m+4

直线24的斜率％=上；，直线K4的方程：而直线？：x=4,即M(4,且、),

%+2国+2占+2

6.

-----X-

直线的斜率7_为+2_2yl,而FM-FN=O,即E/V_L£M,直线FN的斜率左印=一」7

2

直线FN的方程：丁=一竽2。-1),则点N(4,-?9),

2%2%

3%+6

直线网的斜率上PB=上力，直线PN的斜率72%为+2,

4-(-2)4yl

=%_(为+2=%,叫+3=(疗+4)-%+37mx+%)+9

PBPN

X2+24%即2+34%4乂(根%+3)'

而⑺2+书/%+3皿/+%)+9=+；：：：+9=0，即kpB=kpw

所以R&N三点共线.

【题目点拨】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元

二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系

22

20、(1)—+^=1

43

⑵+亚

一26

【解题分析】(1)由椭圆C的一个顶点为A(2,0),得到。=2,再由椭圆的离心率为:，求得c=l,进而求得椭圆C

的标准方程；

(2)由椭圆的对称性得到5陋=|%-%|，联立方程组求得y=±J」与，根据4VW的面积为2,列出方程