2024学年初中数学经典好题专项(二次函数与等腰三角形有关问题)练习(附答案)

2024学年初中名校数学经典好题专项(二次函数与等腰三角形有关问题)练习

1.如图，已知抛物线>=如?+4苫+〃与x轴交于/、8两点，与夕轴交于点C.直线y=x-3

经过8,C两点.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)抛物线的顶点为在该抛物线的对称轴/上是否存在点尸，使得以C,M,P为

顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请

说明理由.

2.已知抛物线y=a，+6x+8与x轴交于/(-3,0),B(8,0)两点，交y轴于点C,点

P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,将直线沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点交y轴于点N.过

点P作x轴的垂线，交直线于点。，是否存在一点P,使是等腰三角形？若

存在，请直接写出符合条件的别的值；若不存在，请说明理由.

图1

图2

1

3.如图，抛物线y=-x2+6x+c过点，、B,抛物线的对称轴交x轴于点D,直线y=-x+3

与x轴交于点3,与y轴交于点C,且OAQOB，

(1)求抛物线的解析式；

(2)在x轴上是否存在点P,使得△POC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标,

若不存在，请说明理由.

4.已知抛物线经过N(-1,0)、8(0,3)、C(3,0)三点，O为坐标原点，抛物线交

正方形OADC的边AD于点E,点M为射线2。上一动点，连接。交2C于点尸.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求证：/BOF=NBDF；

(3)是否存在点使尸为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME

的长.

5.综合与探究

2

如图，二次函数y=-1/+*+4的图象与x轴交于1,3两点（点/在点8的左侧），

与了轴交于点C.点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为加.过

点P作直线PD±x轴于点D,作直线BC交PD于点E.

（1）求4B,C三点的坐标，并直接写出直线5c的函数表达式；

（2）当是以尸£为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

6.如图，开口向上的抛物线与x轴交于/（xi，0）、B（犯，0）两点，与〉轴交于点C,

SLACLBC,其中xi，X2是方程，+3x-4=0的两个根.

（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；

（2）垂直于线段2c的直线/交x轴于点D,交线段2C于点E,连接8,求的

面积的最大值及此时点D的坐标；

（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点尸，使得△尸是等腰三角形？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

3

7.如图，抛物线y=-＞1■r2+及•+c与x轴交于/(-1,0),5(4,0),与y轴交于点C.连

接/C,2C,点尸在抛物线上运动.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图②，若点尸在第一象限，直线/P交2C于点R过点P作x轴的垂线交2C

8.如图1,抛物线y=-，+6x+c过点/(-1,0),点2(3,0),与了轴交于点C.在x

轴上有一动点E(办0)(0＜加＜3),过点E作直线轴，交抛物线于点

(1)求抛物线的解析式及C点坐标；

(2)当小=1时，。是直线/上的点且在第一象限内，若△NCD是以/DC4为底角的等

腰三角形，求点。的坐标；

9.如图，已知抛物线y=a(x+6)(x-2)过点C(0,2),交x轴于点A和点8(点/

4

在点2的左侧)，抛物线的顶点为。，对称轴交x轴于点E,连接EC.

(1)直接写出。的值，点/的坐标和抛物线对称轴的表达式；

(2)若点〃是抛物线对称轴DE上的点，当是等腰三角形时，求点”的坐标;

10.如图，抛物线y=a/+6x+4交无轴于/(-3,0),5(4,0)两点，与y轴交于点C,

连接/C,BC.M为线段上的一个动点，过点〃作尸轴，交抛物线于点尸，交

8c于点Q.

(1)求抛物线的表达式；

(2)试探究点河在运动过程中，是否存在这样的点。使得以4C,。为顶点的三角

形是等腰三角形.若存在，请求出此时点0的坐标；若不存在，请说明理由.

11.抛物线y=-2/+6X+C与无轴交于/(-1,0),B(5,0)两点，顶点为C,对称轴

9

5

交X轴于点。，点尸为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C,。重合）.过点C

作直线PB的垂线交PB于点E,交x轴于点F.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△PCP为等腰三角形时，请直接写出点尸的坐标.

备用图

6

参考答案

1.如图，已知抛物线y=/w/+4x+〃与x轴交于4、8两点，与y轴交于点C.直线y=x-3

经过3,C两点.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)抛物线的顶点为河，在该抛物线的对称轴/上是否存在点尸，使得以C,M,P为

顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请

说明理由.

【过程解答］解：(l)y=x-3中，令x=0,则y=-3,

：.C(0,-3),

令y=0,则x=3,

：.B(3,0),

将。(0,-3),5(3,0)代入y=mJ+4x+力中，

.{n=-3

19m+12+n=0

解得［m=T,

(n=-3

2

••y="x+4x-3；

(2)存在点P,使得以C,M,尸为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下:

-X2+4X-3=-(x-2)2+1,

：.M(2,1),对称轴为直线x=2,

设尸(2,t),

：.MP=\t-1|,MC=2-/5,CP=^4+(t+3)21

1

①当=时，\t-11=2^5.

.3=2返+1或t=-2V5+1,

：.P(2,2V5+D或(2,-2>/5+1):

②当■=(??时，\t-11=1/4+(t+3)2,

解得t=-3,

2

:.P(2,-.)；

2

③当MC=C尸时，2近=14+(t+3)2,

解得7=1(舍)或-7,

：.P(2,7)；

综上所述：尸点坐标为(2,2市+1)或(2,-2A/5+1)或(2,-3)或(2,7).

2

2.已知抛物线、=改2+版+8与x轴交于4(-3,0),B(8,0)两点，交y轴于点C,点

P是抛物线上一个动点，且点尸的横坐标为办

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,将直线3C沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M交y轴于点N.过

点尸作x轴的垂线，交直线于点。，是否存在一点尸，使△2M)是等腰三角形？若

存在，请直接写出符合条件的机的值；若不存在，请说明理由.

【过程解答】解：(1):抛物线夕=方2+旅+8与x轴交于/(-3,0),5(8,0)两

点,

9a-3b+8=0

64a+8b+8=0

2

a=T

解得，

b=r

...抛物线的解析式为丁=-工/+S共8；

33

(3)易证线8。的解析式为y=-/8,向下平移5个单位得到y=-x+3,

当y=0时，x=3,

：.M(3,0),

当x=0时，y=3,

：.N(0,3),

由题意得尸

'：MB=S-3=5,D(w,-w+3),

：.MD2=(w-3)2+(-m+3)2,BIT=(8-w)2+(-w+3)2

若△8MD是等腰三角形，可分三种情况:

①当MB=MD时，

(w-3)2+(-w+3)2=25,

解得7M1=3+5利2=3-1V^，

②当=时,

(8-w)2+(-w+3)2=25,

解得，wi=3(舍去)，W2=8(舍去)，

③当ME^BD时，

(S-m)(-«<+3)~—(«?-3)"+(-nt+'i)2>

解得，机=5.5.

综上所述，机的值为3+^|亚或3-后或5.5时，是等腰三角形.

3.(2022•兴宁区校级模拟)如图，抛物线y=-x2+bx+c过点/、B,抛物线的对称轴交x

轴于点D,直线y=-x+3与x轴交于点8,与y轴交于点C,且OA^OB.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在x轴上是否存在点P,使得△POC为等腰三角形？若存在，请求出点尸的坐标，

若不存在，请说明理由.

3

令y=0,即-x+3=0,

解得：x=3f

令龙=0,得y=3,

：.B(3,0),C(0,3),

为x轴负半轴上一点，且。4

3

：.A(-1,0).

将点N、2的坐标分别代入y=~x'+bxJrc中,

得「l-b+c=0,

I-9+3b+c=0

...抛物线的解析式为^=-X2+2X+3；

(3)存在.如图2,

•.,点尸在x轴上，

工设尸(如0).

VC(0,3),Z>(1,0),

2

，由勾股定理，得：82=OC+O£)2=32+I2=]0,尸)=(机_])2,C铲=O於+0(3=

m2+32=m2+9,

分为三种情况讨论：

①当CD=PD时，。。2=尸。2,

即10=(w-1)2,

解得W2=i-Vio>

此时点尸的坐标为(1+41^,0)或(1-8，0)；

②当CZ>=C尸时，。炉=。尸2,即10=桃2+9,

4

解得町=7，W2=1(不符合题意，舍去)，

此时点尸的坐标为(-1,0)；

③当尸C=RD时，PC1=PD1,

即M+9=(w-1)5

解得m--4,

此时点尸的坐标为(-4,0).

综上所述，在x轴上存在点尸，使得△尸。。为等腰三角形，满足条件的点尸的坐标为(1+

VIo,0)或(1-VI5,0)或(-1,0)或(-4,0).

图1

4.已知抛物线经过N(-1,0)、2(0,3)、C(3,0)三点，O为坐标原点，抛物线交

正方形。的边AD于点E,点河为射线上一动点，连接。M交8c于点尸.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求证：NBOF=NBDF；

(3)是否存在点跖使产为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME

的长.

5

【过程解答】(1)解：设抛物线的表达式为y="2+6/c,

把/(-1,0)、5(0,3)、C(3,0)代入

0=a-b+cza=-l

得：，3=c，解得<b=2，

L0=9a+3b+cLc=3

抛物线的表达式为：y=-X2+2X+3；

(2)证明：•.•正方形。班C,

：.NOBC=NDBC,BD=OB,

'：BF=BF,

：./XBOF^ABDF,

：.ZBOF=4BDF；

(3)解：I•抛物线交正方形O30C的边区D于点E,

•,.令y=3,贝lj3=-/+2x+3,解得：xi=0>X2=2,

：.E(2,3),

①如图，

当加在线段的延长线上时，N3D尸为锐角,

/./尸DM■为钝角，

6

・・・△MD厂为等腰二角形,

:・DF=DM,

：.4M=/DFM,

：./BDF=NWNDFM=2/M,

•:BM〃OC,

：.ZM=ZMOCf

由（2）得NBOF=/BDF,

/.ZBDF+ZMOC=3ZM=90°,

/.ZM=30°,

在RtASO河中，

BM=———=3^/3,

tan30

BE=3y/3-2；

②如图，

当河在线段上时，NOW为钝角,

,/△40下为等腰三角形，

:・MF=DM,

：./BDF=/MFD,

：./BMO=4BDF+/MFD=24BDF,

由（2）得NBOF=/BDF,

I.ZBMO=2ZBOMf

：.ZBOM+ZBMO=3ZBOM=90°,

AZBOM=30°,

在RtASO河中，

7

BM=tan30**0B=V3，

：.ME=BE-BM=2-V3,

综上所述，ME的值为：36-2或2-、月.

5.综合与探究

如图，二次函数》=什4的图象与x轴交于48两点（点/在点8的左侧），

42

与y轴交于点C.点尸是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点尸的横坐标为m过

点P作直线PDLx轴于点D,作直线BC交于点E.

（1）求4B,C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；

（2）当尸是以PE为底边的等腰三角形时，求点尸的坐标；

［过程解答］解：(1)在y=-2？+3X+4中，

’42

令x=0得y=4,令y=0得x=8或％=-2,

：.A(-2,0),5(8,0),C(0,4),

设直线解析式为丁=京+4,将刀(8,0)代入得:

8a4=0,

解得k=-1,

2

直线BC解析式为、=--lx+4；

8

设尸(7M,~-^-W2+-^-w+4)，

42

:.PD=-L/+3雨+4,

42

ZCOZ>=ZPDO=ZCGD=90°,

二四边形COZ>G是矩形，

：.DG=OC=^,CG=OD=m,

：.PG=PD-DG=-l-m2+^-m+4-4=-l-ni2+^-m,

4242

,：CP=CE,CGVPD,

:.GE=PG=-A22.,

4W+2W

VAGCE=AOBC,NCGE=90°=Z5OC,

：./\CGE^/\BOC,

.CG=GE即典二卫士二

OBoc''?4

解得机=0(舍去)或m=4,

：.P(4,6)；

6.如图，开口向上的抛物线与x轴交于/（xi，0）、B（冷，0）两点，与y轴交于点C,

且NC_LBC,其中xi，&是方程）+3x-4=0的两个根.

（1）求点。的坐标，并求出抛物线的表达式；

（2）垂直于线段8C的直线/交x轴于点O,交线段于点E,连接8,求△CDE的

面积的最大值及此时点D的坐标；

（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点尸，使得是等腰三角形？

若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

9

【过程解答】解：(1)由X2+3X-4=0得xi=-4,X2=L

：.A(-4,0),5(1,0),

.,.04=4,OB=1,

9：ACLBC,

：.ZACO=90°-ZBCO=ZOBCf

ZAOC=ZBOC=90°,

：./\AOC^/\COB,

•0A__OCup4__OC

••疏一丽''五一丁

:.。。=2,

：.C(0,-2),

设抛物线解析式为y=a(x+-4)(x-1),

将。(0,-2)代入得_2=-4a,

・1

••a——,

2

...抛物线解析式为y=』(钎4)(x-1)2；

222

由4(-4,0),B(1,0),C(0,-2)得：AB=5,BC=y[5,AC=2y/S,

■:DELBC,ACLBC,

：.DE//AC,

：./\ABCSADBE,

.BD_DE_BE

AC前，

设。。，0),则BD=1-t,

io

.1-t_DE_BE

,,工

：.DE=^^~(1-r),BE=^~(1-f),

55

2

S^BDE=—DE-BE=—Cl-t),

25

而S^BDC=—BD•OC=A(1-r)X2=l-t,

22

*'•SACDE=SABDC_SABDE=I■?■—(1-f)2=--—r+—=-—(^+—)2+—>

5555524

Y-工<0,

t=-3时，SACDE最大为包，

24

此时。（-3,o）；

2

（3）存在，

由^=—x2+—r-2知抛物线对称轴为直线x=-—,

222

而。（-3,o）,

2

在对称轴上，

由（2）得-（-2.）]=V5,

52

.9.DP=y/5i

：.P(--,V5)或(-S,-V5),

22

当。E=PE时，过E作EH_Lx轴于H,如图:

11

VZHDE=AEDB,4DHE=NBED=90",

/.4DHEs/\DEB,

.DE=DH即近_HE_DH

"BDBEDE''1娓症’

2~

：.HE=1,DH=2,

：.E(工-1),

2

•••E在。尸的垂直平分线上，

：.P(-3,-2),

2

设尸(—-.m),

2

则W2=(---—)2+(w+1)*■,

22

解得m=-1,

2

：.P(,一包)，

22

12

综上所述，P的坐标为（——,V5）或（-3,-V5）或（-3,-2）或（-3,-—）.

22222

7.如图，抛物线y=-■^■x~+6x+c与x轴交于/（-1,0）,5（4,0）,与y轴交于点C.连

接NC,3C,点尸在抛物线上运动.

（1）求抛物线的表达式;

（2）如图②，若点尸在第一象限，宜线4P交2C于点厂,过点尸作x轴的垂线交BC

于点H,当力为等腰三角形时，求线段尸H的长.

图①图②备用图

【过程解答】解：（1）'：A（-1,0）,5（4,0）是抛物线丁=-^x+bx+c与x轴的

两个交点，且二次项系数。=」，

2

，根据抛物线的两点式知，（x+1）（x-4）=-yx2-*^-x+2-

（2）设尸H与x轴的交点为0,P（。,冬2玲a+2），

则7/（。，卷a+2）»PH=-^~a2+2a,

若FP=FH,则/FPH=/FHP=/BHQi=/BCO,

tanZAPQi=tailZBCO=2,

・・/0=2尸0i，

即（7+1=2（学多+2）＞

解得a=3（-1舍去），此时尸//=2■.

2

若PF=PH,过点尸作尸龌Ly轴于点M,

13

ZPFH=/PHF,

■:/CFA=/PFH,NQiHB=/PHF,

：./CE4=/QiHB,

又〈N4CF=/BQiH=90°,

：・LACFs

：.CF=—AC=^~,

22

在RtZXCMF中，MF=\,CM=X

2

F（1,S）,

2

：.AF：丫=*0，

y44

将上式和抛物线解析式联立并解得》=立（-1舍去），

2

此时尸77=型.

8

若HF=HP,过点。作以〃43交4P于点E（见上图），

VZCAF+ZCFA=90°,

ZR4Q+ZHPF=90°,

ZCFA=ZHFP=ZHPF,

：.ZCAF=ZPAQi，

即4P平分NC4B,

：.CE=CA=y[5,

：.E（V5,2）,

y=^x3

：.AE：

22

联立抛物线解析式，解得x=5-正■1舍去）.

14

此时PH=3A/5-5.

二当"=切时，PH=—；

2

当尸尸时，PH=^~；

8

当即时，尸H=3找-5；

8.如图1,抛物线y=-》2+以+。过点N(-1,0),点5(3,0),与y轴交于点C.在x

轴上有一动点E(m,0)(0<w<3),过点E作直线/_Lx轴，交抛物线于点"

(1)求抛物线的解析式及C点坐标；

(2)当m=l时，。是直线/上的点且在第一象限内，若△48是以NO。为底角的等

腰三角形，求点。的坐标；

【过程解答】解：(1)将点的坐标代入抛物线表达式得(T"+c=0，解得,b=2

(-9+3b+c=0(c=3

故抛物线的表达式为y=-J+2x+3,

当x=0时，y=3,故点。(0,3)；

(2)当机=1时，点E(1,0),设点。的坐标为(1,a),

由点月、。、D的坐标得，AC=y](0+1)2+(3-0)2=,同理可得：^-D=Va2+4>

8=Jl+(a-3)2,

①当8=40时，即《a2+4=4l+(a-3)2,解得。=1;

②当/C=4O时，同理可得。=±V6(舍去负值)；

故点。的坐标为(1,1)或(1,V6)；

9.如图，已知抛物线y=a(%+6)(%-2)过点。(0,2),交x轴于点N和点5(点/

15

在点3的左侧)，抛物线的顶点为。，对称轴。E交x轴于点E,连接EC.

(1)直接写出。的值，点月的坐标和抛物线对称轴的表达式；

(2)若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点河的坐标;

【过程解答】解：(1)..•抛物线y=a(x+6)(x-2)过点C(0,2),

：.2=a(0+6)(0-2),

a=--,

6

二抛物线的解析式为y=-—(x+6)(x-2)=-(x+2)2+—,

663

,抛物线的对称轴为直线k=-2；

针对于抛物线的解析式为尸-1(/6)(x-2),

令y=0,则-工(x+6)(x-2)=0,

6

.*.x=2或％=-6,

：.A(-6,0)；

、J，力nR囱MAi,UcJbrViAZ、八4nH，卅4/H枷社的IIJ去八J卜'"珠J'l柿川，、kJii-Jo、

：.E(-2,0),

VC(0,2),

，OC=OE=2,

：.CE=y/2OC=2y/2,ZCEZ)=45O,

•••△CAffi是等腰三角形，

J①当时，

ZECM=ZCED=45°,

AZCME=90°,

16

：.M(-2,2),

②当CE=CAf时,

：.MMi=CM=2,

：.EMX=\,

：.Mx(-2,4),

③当EM=C£■时，

：.EM2=EMi=2yj2,

：.Mi(-2,-2A/2).跖(-2,2A/2),

即满足条件的点M■的坐标为(-2,2)或(-2,4)或(-2,2^2)或(-2,-2^2);

10.如图，抛物线、="2+旅+4交x轴于月(-3,0),5(4,0)两点，与y轴交于点C,

连接NC,BC.可为线段。8上的一个动点，过点"作尸蹂Lx轴，交抛物线于点尸，交

BC于点、Q.

(1)求抛物线的表达式；

(2)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点0,使得以/,C,0为顶点的三角

形是等腰二角形.若存在，请求出此时点0的坐标；若不存在，请说明理由.

［过程解答］解：(1)将点48的坐标代入抛物线表达式