2024届福建省莆田市中考五模数学试题含解析

2024届福建省莆田市南门中学中考五模数学试题

注意事项

i.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，四边形A5C。内接于。。，若/3=130。，则/AOC的大小是（）

C.110°D.100°

2.如图，。0的半径OC与弦AB交于点D,连结OA,AC,CB,BO,则下列条件中，无法判断四边形OACB为

菱形的是（）

A.ZDAC=ZDBC=30°B.OA//BC.OB//ACC.AB与OC互相垂直D.AB与OC互

相平分

3.下列计算正确的是（）

A.a2»a3=a6B.（a2）3=a6C-a2+a2=a3D.a6^a2=a3

4.下表是某校合唱团成员的年龄分布，对于不同的x,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）

年龄/岁13141516

频数515X10-x

A.平均数、中位数B.众数、方差C.平均数、方差D.众数、中位数

5.如图，两个同心圆（圆心相同半径不同的圆）的半径分别为6cm和3cm,大圆的弦AB与小圆相切，则劣弧AB的长

为（）

A.IncmB.47rcmC.67tcmD.Sncm

6.已知，C是线段AB的黄金分割点，AC<BC,若AB=2,贝!IBC=（）

A.3-B.；（V?+l）C.75-1D.；（若-1）

7.如图，在RtAABC中，ZC=90°,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点M、N,再分别以

点M、N为圆心，大于‘MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=18,则4ABD

2

的面积是（）

A.18B.36C.54D.72

8.如图，抛物线y=ax?+bx+c（a#0）过点（1,0）和点（0,-2）,且顶点在第三象限，设P=a-b+c,则P的取值范

A.-4<P<0B.-4<P<-2C.-2<P<0D.-l<P<0

9.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2—12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）

A.14B.12C.12或14D.以上都不对

10.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得小ABC

为等腰直角三角形，则这样的点C有（）

A.6个B.7个C.8个D.9个

11.如图，在RtAABC中，NC=9（T,BE平分NABC,ED垂直平分AB于D,若AC=9,则AE的值是（）

A.6A/3B.6A/3C.6D.4

12.若二次函数y=x2—2x+机的图像与x轴有两个交点，则实数机的取值范围是（）

A.m>lB.1C・m>lD.m<l

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.分解因式：mx2-6mx+9m=.

14.计算（一2）x3+（—3）=.

…m—lm—1

15.化简：------r—厂=.

mm

,a22,b—a

16.如m果7=7,那么---=_____.

b3〃+。

4

17.已知：a（a+2）=1,贝!Ia2+----=_____.

<2+1

2

18.如图，△ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，且AD=§AB,DF〃BC,E为BD的中点.若EFJ_AC,BC=6,

则四边形DBCF的面积为.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图1,AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C.

(1)求证：ZACD=ZB;

（2）如图2,NBDC的平分线分别交ACBC于点E,F,求NCEF的度数.

20.（6分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90，〃，楼间距为A3,冬至日正午，太阳光线与水平面所成

的角为32.3，女生楼在男生楼墙面上的影高为C4；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7,女生楼在男

生楼墙面上的影高为ZM,已知CD=42m.

⑴求楼间距A6

（2）若男生楼共30层，层高均为3m，请通过计算说明多少层以下会受到挡光的影响？（参考数据：sin32.3。0.53,

cos32.3。0.85,tan32.3a0.63，sin55.7a0.83，8s55.7々0.56,tan55.7合1.47)

c

男

生

楂

D

21.（6分）某生姜种植基地计划种植A,B两种生姜30亩.已知2B两种生姜的年产量分别为2000千克庙、2500千克

/亩，收购单价分别是8元/千克、7元/千克.

（1）若该基地收获两种生姜的年总产量为68000千克，求A,B两种生姜各种多少亩？

（2）若要求种植A种生姜的亩数不少于B种的一半，那么种植A,B两种生姜各多少亩时，全部收购该基地生姜的年总收入

最多？最多是多少元?

22.（8分）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段拉N的长），直线MN垂直于地面，垂

足为点P.在地面A处测得点M的仰角为58。、点N的仰角为45。，在3处测得点拉的仰角为31。，48=5米，且4、

B、产三点在一直线上.请根据以上数据求广告牌的宽MN的长.

0.53,tan580=l.l,sin31°=0.52,cos31°=0.86,tan31°=0.1.)

23.（8分）（1）计算：-22+|712-4|+（1）］+2tan60。

6-2x>0

⑵求不等式组-i的解集•

24.（10分）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD=80cm,宽AB=48cm,小

强身高166cm,下半身FG=100cm,洗漱时下半身与地面成80。（NFGK=80。），身体前倾成125。（NEFG=125。）,

15cm（点D,C,G,K在同一直线上）.（cos80°=0.17,sin80°W.98,72=1.414）

（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？

（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？

25.（10分）某农场用2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割

机同时工作5小时共收割小麦8公顷.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷?

26.（12分）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）

大江东去浪淘尽，千古风流数人物;

而立之年督东吴，早逝英年两位数;

十位恰小个位三，个位平方与寿符;

哪位学子算得快，多少年华属周瑜?

27.（12分）我市为创建全国文明城市，志愿者对某路段的非机动车逆行情况进行了10天的调查，将所得数据绘制成

如下统计图（图2不完整）：

献段I氏内非机游防加S

SS段1座内非机会跖次S

请根据所给信息，解答下列问题：

（1）这组数据的中位数是,众数是;

（2）请把图2中的频数直方图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）

（3）通过“小手拉大手”活动后，非机动车逆向行驶次数明显减少，经过这一路段的再次调查发现，平均每天的非机动

车逆向行驶次数比第一次调查时减少了4次，活动后，这一路段平均每天还出现多少次非机动车逆向行驶情』况？

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解题分析】

分析：先根据圆内接四边形的性质得到180。—N5=50。，然后根据圆周角定理求NAOC

详解：VZB+ZD=180°,

"=180。—130。=50。，

/.ZAOC=2ZD=100°.

故选D.

点睛：考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

2、C

【解题分析】

（1）VZDAC=ZDBC=30°,

:.ZAOC=ZBOC=60°,

又•:OA=OC=OB,

,AAOC和小OBC都是等边三角形，

二OA=AC=OC=BC=OB,

二四边形OACB是菱形；即A选项中的条件可以判定四边形OACB是菱形；

（2）VOA/7BC,OB〃AC,

:.四边形OACB是平行四边形，

又VOA=OB,

四边形OACB是菱形，即B选项中的条件可以判定四边形OACB是菱形；

(3)由OC和AB互相垂直不能证明到四边形OACB是菱形，即C选项中的条件不能判定四边形OACB是菱形；

(4)；AB与OC互相平分，

:.四边形OACB是平行四边形，

又•:OA=OB,

:.四边形OACB是菱形，即由D选项中的条件能够判定四边形OACB是菱形.

故选C.

3、B

【解题分析】

试题解析：A.故错误.

B.正确.

C.不是同类项，不能合并，故错误.

D.a。-?cT=at

故选B.

点睛：同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

同底数塞相除，底数不变，指数相减.

4、D

【解题分析】

由表易得x+(10-x)=10,所以总人数不变，14岁的人最多，众数不变，中位数也可以确定.

【题目详解】

,年龄为15岁和16岁的同学人数之和为：x+(10-x)=10,

.•.由表中数据可知人数最多的是年龄为14岁的，共有15人，合唱团总人数为30人，

.•.合唱团成员的年龄的中位数是14,众数也是14,这两个统计量不会随着x的变化而变化.

故选D.

5、B

【解题分析】

首先连接OC,AO,由切线的性质，可得OCLAB,根据已知条件可得：OA=2OC,进而求出NAOC的度数，则圆

心角NAOB可求，根据弧长公式即可求出劣弧AB的长.

【题目详解】

解：如图，连接OC,AO,

V大圆的一条弦AB与小圆相切,

，OC_LAB,

VOA=6,OC=3,

AOA=2OC,

:.ZA=30°,

:.ZAOC=60°,

:.ZAOB=120°,

120x»x6

J劣弧AB的长二=4兀，

180

故选B.

【题目点拨】

本题考查切线的性质，弧长公式，熟练掌握切线的性质是解题关键.

6、C

【解题分析】

根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC=Y^AB,代入数据即可得出BC的值.

2

【题目详解】

解：由于C为线段AB=2的黄金分割点，且ACVBC,BC为较长线段；

贝!IBC=2x逝T=百-1.

2

故答案为：75-1.

【题目点拨】

本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的主力倍，较长的线段=原线段的好匚

22

倍.

7、B

【解题分析】

根据题意可知AP为NCAB的平分线，由角平分线的性质得出CD=DH,再由三角形的面积公式可得出结论.

【题目详解】

由题意可知AP为NCAB的平分线，过点D作DH_LAB于点H,

VZC=90°,CD=1,

.,.CD=DH=L

VAB=18,

11

:.SAABD=yAB«DH=yxl8xl=36

故选B.

【题目点拨】

本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键.

8、A

【解题分析】

解:•.•二次函数的图象开口向上，.1a>1.

,对称轴在y轴的左边，.•.b>L

2a

,图象与y轴的交点坐标是（1,-2）,过（1,1）点，代入得：a+b-2=1.

:.a=2-b,b=2-a*y=ax2+（2-a）x-2.

把x=-1代入得：y=a-（2_a）-2=2a-3,

Vb>l>>*.b=2-a>l..*.a<2.

'：a>l,：.l<a<2./.l<2a<3.-3<2a-3<1,即-3VP〈L

故选A.

【题目点拨】

本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.

9,B

【解题分析】

解方程/—12%+35=0得：x=5或x=L

当x=l时，3+4=1,不能组成三角形；

当x=5时，3+4>5,三边能够组成三角形.

:,该三角形的周长为3+4+5=12,

故选B.

10、A

【解题分析】

根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰.

【题目详解】

如图：分情况讨论：

①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个；

②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解.数形

结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.

11、C

【解题分析】

由角平分线的定义得到NCBE=NABE,再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB,则NA=/ABE,可得

ZCBE=30%根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC,即AE=2EC,由AE+EC=AC=9,即可求出AC.

【题目详解】

解：；BE平分NABC,

:.ZCBE=ZABE,

；ED垂直平分AB于D,

F,A=FR,

:.NA=NABE,

/.ZCBE=30%

/.BE=2EC»即AE=2EC,

而AE+EC=AC=9,

/.AE=1.

故选C.

12、D

【解题分析】

由抛物线与x轴有两个交点可得出△=b2-4ac>0,进而可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围.

【题目详解】

V抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点，

/•△=b2-4ac=(-2)2-4xlxm>0>即44m>0,

解得：m<l.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13>m(x-3)i.

【解题分析】

先把加提出来，然后对括号里面的多项式用公式法分解即可。

【题目详解】

mx2-6mx+9m

=m(x2-6x+9)

=m(x-3)2

【题目点拨】

解题的关键是熟练掌握因式分解的方法。

14、-9

【解题分析】

根据有理数的计算即可求解.

【题目详解】

(-2)x3+(-3)=-6-3=-9

【题目点拨】

此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知有理数的运算法则.

15、m

【解题分析】

rn—1神2

解：原式------------故答案为

mm-1

【解题分析】

试题解析：-=—5

b3

设。=2£,b=3tf

b—a3t—2t1

a+b2%+3%5

故答案为

17、3

【解题分析】

4

先根据a(a+2)=1得出a2=l.2a,再把a2=L2a代入a?+一7进行计算.

a+1

【题目详解】

a(a+2)=1得出a2=l-2a,

44—2〃2—Q+5—2(1—2。)一a+53(〃+1)

a2+-----r=l-2a+------=-----------------=---------------:---------=^=3.

a+1a+1Q+1<7+1a+\

【题目点拨】

本题考查的是代数式求解，熟练掌握代入法是解题的关键.

18、2

【解题分析】

解：如图，过D点作DG_LAC,垂足为G,过A点作AHJ_BC,垂足为H,

A

33H3c

2

VAB=AC>点E为BD的中点,且AD=jAB>

.,.设BE=DE=x,贝!]AD=AF=lx.

VDG±AC,EF_LAC，

AEDEf5xx,-4

...DG〃EF,而,BP-—=—»解得GF=^x.

1rlxGF5

DFADDF4x〜

VDF/7BC,二AADF^AABC,/.——=---,BP——=,解得DF=1・

XVDF#BC,NDFG=NC,

DFGFx5

ARtADFG^RtAACH,即45,解得x-2=工.

ACHC—=2

6x3

在RSABH中，由勾股定理，得AH=y/AB?—EH?=《36x2=j36xg—9=9.

:.S=-BCAH=-x6x9=27.

ZAWABDCL22

.・四边形DBCF-°AABC°AADF一4/上乙一_LJ

故答案为：2.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、（1）详见解析；（2）ZCEF=45°.

【解题分析】

试题分析：（1）连接。C,根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角得出NOCO=NAC5=90。，然后根据等角的余

角相等即可得出结论；

（2）根据三角形的外角的性质证明/CEF=/CPE即可求解.

试题解析：

（1）证明：如图1中，连接0C.

•：OA=OC,/.Z1=Z2,

•.•C。是。。切线，：.OC±CD,

：.Z£）CO=90°,.,.Z3+Z2=90°,

TAB是直径，；.Z1+ZB=90°,

：.Z3=ZB.

（2）解：VZCEF=ZECD+ZCDE,ZCFE=ZB+ZFDB,

VZCDE=ZFDB,NECD=/B,：.ZCEF=ZCFE,

,:NEC厂=90。，

:.ZCEF=ZCFE=45°.

20、（1）A3的长为50四（2）冬至日20层（包括20层）以下会受到挡光的影响，春分日6层（包括6层）以下会受

到挡光的影响.

【解题分析】

（1）如图，作CMLP6于M,DN工PB于N.则AB=CM=DN,设==八"=加1想办法构建方程即可

解决问题.

（2）求出AC,AD,分两种情形解决问题即可.

【题目详解】

解：（1）如图，作CMLP5于M,DN工PB于N.则AB=CM=DN,设AB=CM=DN=xm.

在Rt_PCM中，PM=x-tan32.3=0.63x（m）,

在&PDN中,P/V=x-tan55.7=1.47x(m),

CD=MN—42m,

/.1.47x-0.63x=42,

.\x=50,

二.AB的长为50m.

C

男

生

楼

D

（2）由⑴可知：PM=31.5m,

.-,AD=90-42-31.5=16.5(m),AC=90-31.5=58.5,

16.5+3=5.5,58.5+3=19.5,

二冬至日20层（包括20层）以下会受到挡光的影响，春分日6层（包括6层）以下会受到挡光的影响.

【题目点拨】

考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

21、(1)种植A种生姜14亩，种植B种生姜16亩；(2)种植A种生姜10亩，种植B种生姜20亩时，全部收购该基地生

姜的年总收入最多,最多为510000元.

【解题分析】

试题分析：(1)设该基地种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜(30-x)亩，根据：A种生姜的产量+B种生姜的产

量=总产量，列方程求解；

(2)设A种生姜x亩，根据A种生姜的亩数不少于B种的一半，列不等式求x的取值范围，再根据(1)的等量关系

列出函数关系式，在x的取值范围内求总产量的最大值.

试题解析：(1)设该基地种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜(30-x)亩，

根据题意，2000x+2500(30-x)=68000,

解得x=14,

:.30-x=16,

答:种植A种生姜14亩，种植B种生姜16亩；

(2)由题意得，x>|(30-x),解得xN10,

设全部收购该基地生姜的年总收入为y元，则

y=8x2000x+7x2500(30-x)=-1500x+525000J

；y随x的增大而减小，当x=10时，y有最大值，

此时，30-x=20,y的最大值为510000元，

答：种植A种生姜10亩，种植B种生姜20亩时，全部收购该基地生姜的年总收入最多，最多为510000元.

【题目点拨】本题考查了一次函数的应用.关键是根据总产量=A种生姜的产量+B种生姜的产量，列方程或函数关系

式.

22、1.8米

【解题分析】

MP

设PA=PN=x,RtAAPM中求得MP=1.6x,在RtABPM中tanNAffiP=而，解得x=3,MN=MP-NP=0.6x=l.S.

【题目详解】

在RtAAPN中，ZNAP=45°,

:.PA=PN,

MP

在RtAAPM中，tanZWP=——，

AP

设PA=PN=x,

■:NM4P=58°,

MP=AP-tanZMAP=1.6x,

MP

在RtABPM中，tanZAffiP=——,

BP

VZMBP=31°,AB=5,

czL6x

0,6=--,

5+x

••x=3.

AMN=MP-NP=0.6x=1.8（米），

答：广告牌的宽MN的长为1.8米.

【题目点拨】

熟练掌握三角函数的定义并能够灵活运用是解题的关键.

23、（1）1；（2）-1<X<1.

【解题分析】

试题分析：（1）、首先根据绝对值、骞、三角函数的计算法则得出各式的值，然后进行求和得出答案；（2）、分半求出每

个不等式的解,然后得出不等式组的解.

试题解析：解:（1）＞原式=—4+4—26+3+26=3

6-2x>0①门f

⑵、Ic_由①得：X<1,由②得：XN-L.•.不等式的解集：

2x>x-1②

24、（1）小强的头部点E与地面OK的距离约为144.5cm.⑵他应向前9.5cm.

【解题分析】

试题分析：（1）过点歹作引VJ_OK于N,过点E作于求出MRWV的值即可解决问题;

（2）求出OH、的值即可判断;

试题解析：解：（1）过点尸作尸NLOK于N,过点E作EMLWV于

；E尸+FG=166,FG=100,r=66,：NFGK=80°,.,.FN=100sin80%98,；NE尸G=125°,AZEFM=1SO°-125°

-10。=45。，.\歹/区=668545。=33挺：=46.53,，河'=尸'+下限144.5,，此时小强头部后点与地面0