专题09 余弦定理、正弦定理的应用（十大题型+跟踪训练）（原卷版）

专题09余弦定理、正弦定理的应用（十大题型+跟踪训练）目录：题型1：正、余弦定理判定三角形形状题型2：正、余弦定理证明三角形中的恒等式或不等式题型3：求三角形中的边长或周长的最值或取值范围题型4：几何图形中的计算题型5：距离测量问题题型6：高度测量问题题型7：角度测量问题题型8：正、余弦定理的其他应用题型9：求三角形面积的最值或范围题型10：正、余弦定理与三角函数性质的结合题型1：正、余弦定理判定三角形形状1．在中，若，则的形状一定是（）A．等腰三角形 B．钝角三角形C．等边三角形 D．直角三角形2．设中角，，所对的边分别为，，；若，，；则为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能3．在中，若，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定题型2：正、余弦定理证明三角形中的恒等式或不等式4．若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．5．在中，，，，，则下列关系不成立的是（

）A． B． C． D．6．在中，内角，都是锐角.(1)若，，求周长的取值范围；(2)若，求证：.题型3：求三角形中的边长或周长的最值或取值范围7．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的周长的取值范围是（

）A． B．C． D．8．记的内角的对边分别为．若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．9．在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为（）A． B．C． D．题型4：几何图形中的计算10．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，，，则的面积为（

）A． B． C． D．11．已知凸四边形内接于圆，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．12．设，，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型5：距离测量问题13．我国辽代著名的前卫斜塔（又名瑞州古塔）位于葫芦岛市绥中县.现存塔身已经倾斜且与地面夹角60°，若将塔身看做直线，从塔的第三层地面到第三层顶可看做线段，且在地面的射影为1m，则该塔第三层地面到第三层顶的距离是（

）A． B． C． D．2m14．如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（

）A． B．C． D．15．某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得∠C＝120°，米，米，则A，B间的直线距离约为（

）A．60米 B．130米 C．150米 D．300米题型6：高度测量问题16．如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得甲秀楼顶端的仰角为，则甲秀楼的高度约为（参考数据：，）（

）A． B． C． D．17．如图，某人为测量塔高，在河对岸相距的，处分别测得，，（其中，与塔底在同一水平面内），则塔高（

）A．B．C．D．18．某校数学兴趣小组为了测量其高度，在地面上共线的三点处分别测得点的仰角为，且，则高度约为（

）（参考数据：）

A． B． C． D．题型7：角度测量问题19．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（）A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向20．位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（

）A． B． C． D．21．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，若地球表面上的观测者与某颗地球静止同步轨道卫星处于相同经度，且能直接观测到，设点的维度（与赤道平面所成角的度数）的最大值为，则（

）A． B． C． D．题型8：正、余弦定理的其他应用22．如图，已知正方形的边长为，点从顶点沿着的方向，向顶点运动，速度为，同时，点从顶点沿着的方向，向顶点运动，速度为，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．123．某社区为了美化社区环境，欲建一块休闲草坪，其形状如图所示为四边形，，（单位：百米），，，且拟在、两点间修建一条笔直的小路（路的宽度忽略不计），则当草坪的面积最大时，（

）A．百米 B．百米 C．百米 D．百米24．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”题意是有一个三角形的沙田，其三边长分别为13里、14里、15里、1里为300步，设6尺为1步，1尺＝0.231米，则该沙田的面积约为（

）（结果精确到0.1，参考数据：）A．15.6平方千米 B．15．2平方千米 C．14.8平方千米 D．14.5平方千米题型9：求三角形面积的最值或范围25．在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的半径为2，则面积的最大值是（

）A． B． C． D．26．已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（

）A． B． C． D．27．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．题型10：正、余弦定理与三角函数性质的结合28．若是垂心，且，则（

）A． B． C． D．29．在中,内角所对的边分别为,且,若为锐角,则的最大值为A． B．C． D．30．在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．一、单选题1．在中，，则（

）A．为直角 B．为钝角 C．为直角 D．为钝角2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（

）A．12 B．24 C．27 D．363．如图，已知在的内接四边形中，，则（

）A． B． C． D．4．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，A＝30°，则其跨度AB的长为（

）A．12m B．8mC．2m D．4m5．在一幢米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为，塔基的俯角为，那么这座塔吊的高是（

）A． B． C． D．6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若a+b＝2，则△ABC的面积的最大值为（）A． B． C． D．7．如图所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km，C在B的北偏东30°方向，且与B相距km，一架飞机从城市D出发，以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（

）A．120km B．km C．km D．km8．在ΔABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b=c，且满足.若点O是ΔABC外一点，∠AOB=θ()，OA=2，OB=4，则平面四边形OACB面积的最大值（

）A． B． C． D．二、多选题9．在中，下列说法正确的有（

）A．若，则B．若为锐角三角形，则C．若，则一定是等腰三角形D．若为钝角三角形，且，，，则的面积为10．如图，四个全等的直角三角形拼成图1所示的菱形和图2所示的正方形弦图．若直角三角形的斜边长为10，则以下结论正确的是（

）A．图1菱形面积的最大值为100B．图1菱形的两条对角线之和的最小值为C．当图2小正方形的边长为2时，图1菱形的一条对角线长为12D．当图1菱形的一个锐角的余弦值为时，图2小正方形的面积为2011．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（

）A．若，则的外接圆的面积为B．若，且有两解，则b的取值范围为C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为D．若，且，O为的内心，则的面积为12．在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，若，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．三、填空题13．在中，边所对的角分别为，若，，则；.14．如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小海在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西45°方向，则A、B两岛屿的距离为海里．15．在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则该三角形为三角形.16．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围为．四、解答题17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)证明：；(2)记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状．18．在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20km，C，D相距34km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8s后B市感到地表震动，20s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5km.求震中A到B，C，D三市的距离.19．在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，内角所对的边分别是，且______．(1)求角的大小；(2)若点满足，且线段，求面积的最大值．20．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为1260m，经测量，，.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控