河北省联盟2024届高三年级下册4月第二次联考数学试题

河北省名校联盟2024届高三下学期4月第二次联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A={x|x=3〃-1,〃wZ},3={XOvX<6},则AB=()

A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}

2.已知椭圆E：Y+J=l经过点［，目］,则E的长轴长为()

A.1B.2C.4D.2拒

3.己知W=2邳，且,力）斐，贝也在a上的投影向量为（）

A.~~aB.—3。

4

C.—aD.3a

4.4知々=$1110.5,。=3啖。=108030.5,则a,女。的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

5.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设“，瓦加（〃2>0）为整

数，若。和b被机除得的余数相同，则称。和b对模加同余，记为。三6（modm）.若

q=C；0.2+C322++C；122°,a=b（mod9）,则6的值可以是（）

A.2018B.2020C.2022D.2024

6.已知实数羽丫满足，加2+2>2=4（机>。），若|x+2y|的最大值为4,则心=（）

A.自B.-C.受D.1

3322

7.有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行

三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望E（X）=（）

21r3-7-15

A.—B.—C.-D.—

16248

8.已知正方体ABCD-A由GA的棱长为2,P为线段G2上的动点，则三棱锥尸-3a>外

接球半径的取值范围为（）

二、多选题

9.已知圆O:x?+=1,圆C:（x-a）2+（y-l）2=4,。eR,则（）

A.两圆的圆心距|0C|的最小值为1

B.若圆。与圆C相切，则。=±20

C.若圆。与圆C恰有两条公切线，则-2忘＜"2忘

D.若圆。与圆C相交，则公共弦长的最大值为2

10.设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（）

A.若（l+i）z=-i,则|z|=l

B.对任意复数Z-z2,有|斗2|=闾忆|

C.对任意复数Z],z2,有Z]-Zz=z-z?

D.在复平面内，若“=仁|卜-2K2},则集合M所构成区域的面积为6兀

11.如图，在棱长为2的正方体ABCQ-44GA中，点尸是侧面ADRA内的一点，点E是

线段eq上的一点，则下列说法正确的是（）

A.当点P是线段的中点时，存在点E,使得AEJ■平面尸片R

B.当点E为线段CG的中点时，过点A,E,2的平面截该正方体所得的截面的面积为

9

4

C.点E到直线BDt的距离的最小值为血

试卷第2页，共4页

D.当点E为棱CQ的中点且PE=2夜时，则点尸的轨迹长度为亍

三、填空题

12.已知6＞0,函数=是奇函数，贝巾=,b=.

13.已知A（T,0）,3（＜0）,|P@=2|B4|,若平面内满足到直线/：3x+4y+〃z=0的距离为1

的点尸有且只有3个，则实数机=.

14.己知等差数列｛4｝（公差不为0）和等差数列也,｝的前〃项和分别为S“,7；,如果关于x

的实系数方程1003，-$。/+。,3=。有实数解，则以下1003个方程

龙2-平+4=0。=1,2,,1003）中，有实数解的方程至少有个.

四、解答题

15.如图，已知四边形A5CZ）为等腰梯形，E为以5c为直径的半圆弧上一点，平面

平面BCE,。为BC的中点，M为CE的中点，BE=AB=AD=DC=2,BC=4.

⑵求平面4狙与平面DCE的夹角的余弦值.

16.用1,2,3,4,5,6这六个数组成无重复数字的六位数，则

⑴在数字1,3相邻的条件下，求数字2,4,6也相邻的概率；

（2）对于这个六位数，记夹在三个偶数之间的奇数的总个数为X,求X的分布列与期望.

17.已知函数/（x）=3-%+qsinx.

⑴当4=2时，求曲线y=〃x）在点（0,〃0））处的切线方程；

⑵当xe（0,7i）时，/（%）＞0,求实数。的取值范围.

22

18.已知椭圆E:土+匕=1,直线/与椭圆E交于A、8两点，0为坐标原点，且

84

OP1AB,垂足为点P.

⑴求点P的轨迹方程；

⑵求面积的取值范围.

19.设42是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素无，按照某种确定的对应

关系了,在集合8中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B

中的每一个元素》都有一个A中的元素尤与它对应，则称/：A-3为从集合A到集合8

的一一对应，并称集合A与2等势，记作了=].若集合A与B之间不存在一一对应关系，

则称A与2不等势，记作了片].

例如：对于集合4=：\*,8=123weN”},存在对应关系y=2x(xeA,ye8),因此屋].

⑴已知集合C={(x,y)-+y2=i},DTaMt+Of],试判断是否成立?请说

明理由；

(2)证明：①(0,1)=(-oo,+oo);

②N*w卜,[N*}.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.D

【分析】直接求交集即可.

【详解】A={x|x=3»-l,MeZ},B={x|0<x<6),则A8={2,5}.

故选：D

2.C

【分析】将点的坐标代入椭圆方程求得椭圆方程，即可求解长轴长.

【详解】因为椭圆R/+报=1经过点叼，所以gj+b^_=i，解得同=2,

2

所以/+匕=i,所以E的长轴长为2x2=4.

4

故选：C.

3.A

【分析】根据麻小%进行求解，得到答案.

【详解】因为14=26网，a,b=当,

116

所以人在〃上的投影向量为|现05〃力2=—85〃力〃=^-cos--a=--a.

11\a\a664

故选：A.

4.B

【分析】构造函数丁=411%-x,利用导数法求最值得sinxvx,从而有。<0.5,再利用函数

y=log°.3%单调递减得0.5vcvl,利用函数y=3"单调递增得6>1,即可比较大小.

［详角军］对因为y=sinx—x,贝I］y'=cosx_l<0,即函数y=sinx—x在(0,］］单

调递减，

且x=0时，>=。，则sinx-x<0,BPsinx<%,所以a=sin0.5vO.5,

因为210g030.5=log030.25>log030.3=1且log030.5<log030.3=1,所以0.5<c=log030.5<1,

又Z?=3°5>3°=1,所以avc<〃.

故选：B

5.D

【分析】首先根据二项式定理化简。，再判断余数，结合选项，即可求解.

答案第1页，共16页

2202010

【详解】a=C'0-2+C10-2++C®-2=（l+2）-l=9-l,

所以。除以9的余数是8,

选项中只有2024除以9余8.

故选：D

6.D

【分析】利用题给条件构造关于机的方程，解之即可求得加的值.

【详解】令%+2y=%,则产K16,则机＞0时，

[x+2y=t.0

由4,整理得（4根+2）y-4加（y+m方一4=0,

[mx2+2y2=4

则A=（4mZ）2—4（4机+2）（加之—4）＞0,

士Ie,口24+8m4+8m、,心力、,口1

整理得-----,则------=16,解之得力二大

mm2

故选：D

7.D

【分析】由题意得X的所有可能取值为0」,2,3,用古典概型算出相应的概率，进而即可求

解.

【详解】X的所有可能取值为0」,2,3,记三次得到的数组成数组（。,4。），

满足X=0的数组有：

（1,1,1）,（2,2,2）,（3,3,3）,（4,4,4），共4个,

41

所以P（X=O）=^=记，

满足X=1的数组有：

（1,1,2）,（1,2,1）,（2,1,1）,（2,2,3）,（2,3,2）,（3,2,2）,（3,3,4）,（3,4,3）,（4,3,3）,

（2,2,1）,（2,1,2）,（1,2,2）,（3,3,2）,（3,2,3）,（2,3,3）,（4,4,3）,（4,3,4）,（3,4,4）,共18个，

18Q

所以尸5=1）=不=记，

满足X=2的数组有：

（1,1,3）,（1,3,1）,（3,1,1）,（2,2,4）,（2,4,2）,（4,2,2）,

（3,3,1）,（3,1,3）,（1,3,3）,（4,4,2）,（4,2,4）,（2,4,4）,

答案第2页，共16页

（1,2,3）,（1,3,2）,（2,1,3）,（2,3,1）,（3,1,2）,（3,2,1）,

（423）,（4,3,2）,（2,4,3）,（2,3,4）,（3,4,2）,（3,2,4）,共24个，

所以尸（X=2）=不会，

满足X=3的数组有：

（1,2,4）,（1,3,4）,（1,4,4）,（1,4,1）,（1,4,2）,（1,4,3）,

（1,1,4）,（2,1,4）,（3,1,4）,（4,1,1）,（4,2,1）,（4,3,1）,

（4,1,2）,（4,1,3）,（4,1,4）,（2,4,1）,（3,4,1）,（4,4,1）,共18个，

1«o

所以尸”=3）=不=我，

1oQ915

所以X的数学期望以XbOx%+lx=+Zxm+BxSu?.

1632832X

故选：D.

8.C

【分析】根据外接球性质找到外接球球心位置，通过几何直观找到外接球半径与「PCD的外

接圆半径的关系式4=1+/；设尸G=x,在PCD中根据面积关系和正弦定理，得到『是

关于x的函数/=(V-4X+8)(/+4)；利用导数求出/范围，进而得到心范围.

16

【详解】如图，连接AC,交BD于点E,易得E为的外心.

连接交于点/，易知斯工平面3CD,则三棱锥尸-皮力的外接球球心。在麻

上.

设，PCD的外接圆圆心为O',二OO'，平面PCD,

由正方体中棱3c1平面CCQ，得OO,//3C,又易得瓦尸分别是22月2中点，

所以0。=1.

答案第3页，共16页

设.尸CD的外接圆半径为厂，三棱锥P-BCD的外接球半径为R.则代=1+产，

设尸G=x,xe[0,2],SPCD=2=^PC-PDsinZCPD,

.1PCPDG7LJ(2-X)2+4又「CD1

sinZCPD44'2sinZCP£)sinZCPD)

.产_(f一4X+8)(X?+4)

"16

设/(x)=(x2-4x+8)(/+4),则f'(x)=4(x3-3X2+6尤-4),

设g(x)=f\x),则g\x)=12(X2-2X+2)>0,

.在xe[0,2]单调递增，又/'⑴=0,

所以/(力在xe[0,l]单调递减,在xe[l,2]单调递增,又/⑴=25,/(0)=〃2)=32,

所以〃尤闫25,32],.，.人||,2,:.R=^+r26孚6.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题第一个突破口是找出外接球半径与j8的外接圆半径的关系，

第二步是根据面积关系和正弦定理，得到,是关于x的函数.

9.AD

【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距dNl,从而判断出A项的正误；根据两

圆相切、相交的性质，列式算出。的取值范围，判断出B,C两项的正误；当圆。的圆心在两

圆的公共弦上时，公共弦长有最大值，从而判断出D项的正误.

【详解】根据题意，可得圆O：/+y2=i的圆心为o(o,o),半径厂=1,

[BlC:(x—a)2+(y—I)2=4的圆心为C(a,l),半径R=2.

对于A,因为两圆的圆心距d=|OC|=jH+izi,所以A项正确；

答案第4页，共16页

对于B,两圆内切时，圆心距“4。C|=R-r=l,BP77+1=1-解得。=0.

两圆外切时，圆心星巨”=|OC|=R+r=3,即[储+]=3,解得。=±2忘.

综上所述，若两圆相切，贝觞=0或°=土20，故B项不正确；

对于C,若圆。与圆C恰有两条公切线，则两圆相交，d=\OC\e(R-r,R+r),

即八2+le(l,3),可得1<5/〃+1<3,解得且。力0，故C项不正确;

对于D,若圆。与圆C相交，则当圆O：/+y2=i的圆心。在公共弦上时，公共弦长等于

2r=2,达到最大值，

因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2,故D项正确.

故选：AD.

10.BC

【分析】借助复数的运算、共朝复数、复数的模及复数的几何意义逐项判断即可得.

-ix(l—i)-1-i

【详解】对A：由(l+1)z=-i,故2=

17r(l+i)(i)2

对B：设4=〃+历(a,Z?£R)、z2=c+di(^c,dGR),

贝!J上㈤=K〃+bi)(c+di)|=\ac-bd+^ad+Z?c)i|=+(〃d+bc『

=，储02—2曲cd+匕2d2+〃2d2+2abed+He1=Ja2c2+白d2+a2d2+12c2,

12221

\Z]\'\z2\=yla+b-yjc+d=+叫心2+42)=J〃2。2+-2/+0d2+/02,

故匕闻二闻忆],故B正确；

对C：设马二。+为(a,Z?£R)、z2=c+di(c^dGR),

有42=(a+历)(c+tfi)=cc—ld+(a/+bc)i,则zx-z2=ac-bd—[ad+Z?c)i,

Zj-z2=(a-Z?i)(c-tfi)=^c-M-(dzZ+Z?c)i,故马&=4&,故C正确；

对D：设2=x+yi(%ywR),贝lj有(％—27+/<4,

集合M所构成区域为以(2,0)为圆心，半径为2的圆，

答案第5页，共16页

故S=7tr=4兀，故D错误.

故选：BC.

11.ACD

【分析】由题意分别画出图形，再逐项解决线面垂直、截面面积、距离最值和轨迹问题即可.

【详解】对于A,如下图所示，连接ACA4，

___________C.

;，AX......、、、

、I/

AB

因为点尸是线段4。的中点，所以点尸也是线段AR的中点，

所以平面尸耳。即为平面ABA.

根据正方体的性质，4。，平面4。。，A瓦，平面ABC,

所以AR，AC,A瓦，AC,

又因为ARcAB{=A,AD{u平面ABlDl,ABtc:平面AB{D{,

所以AC，平面A瓦。，所以E与C重合时，AE，平面尸瓦2,故A正确;

对于B,如下图所示，取BC的中点”，

根据E,M分别为CG，BC的中点，易得EM〃AR,

所以A",E,2四点共面,

所以截面为四边形AME，，且该四边形为等腰梯形.

答案第6页，共16页

又因为ME=叵,AE[=26,AM=EQ=布,

所以等腰梯形AME2的高为J（石）2_（1）2=浮,

所以截面面积为《（0+2夜）x”l=g,故B错误；

222

对于C,如图建立空间直角坐标系，

由图可得，5（2,2,0）,2（0,0,2）,所以52=（—2,-2,2）,

设石（0,2,m）（。4加£2）,所以3石=（一2,0,加），

（、2

=《（加-1『+2，

所以点E到直线5"的距离[=BE1-早半

I\BD\]

所以"2=1时，距离最小，最小为故C正确；

对于D,如图所示，取。2的中点G,连接EG,GP,PE,

易得GE_L平面A41A。，

又因为GPu平面MDQ,所以GE_LGP,

所以GP=yJPE2-GE2=7（2A/2）2-22=2，

答案第7页，共16页

则点尸在侧面MOD内的运动轨迹为以G为圆心，半径为2的劣弧，圆心角为：IT，

所以点尸的轨迹长度为：x2=g,故D正确.

故选：ACD.

12.-11

【分析】由/（O）=a+l=O,可求。，由/（力=20修卜-2丁结合奇函数可求b.

【详解】由〃0）=。+1=0,解得a=T,所以“到=*1=2所山一2：

又因为函数为奇函数，所以/（x）=-〃x）,

所以2阳）“一2T=-（2+“3-2，）,

所以仅侬一方（2"%（X）“=-X,

所以（2所小？*21尬2-*2=）,

所以2（幼学?0_=或吸a%_2'=0，

所以26-1=1或2b-1=-1,解得6=1,6=0（舍去）.

故答案为：①-1;②L

13.5或-5

【分析】设出动点尸的坐标，由|P到=2|R4|求得其轨迹方程，由题意知，只需使圆心到直线

/:3x+4y+〃z=0的距离等于1即可.

【详解】设点尸（无,田，由|PB|=2|上4|可得：J（x+41+y2=2必+1）2+丁,

两边平方整理得：%2+/=4,即点P的轨迹是圆,圆心在原点，半径为2.

若该圆上有且只有3个点到直线/：3x+4y+根=0的距离为1,

则圆心到直线的距离4=空=1,解得加=±5.

故答案为：5或-5.

14.502

【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到嗑-的姒对，想要有实根，贝|

-46,20（，=1,2,,1003）,结合根的判别式与基本不等式得420,4岫之。中至少一个成

立，同理得到与^。，4皿2。中至少一个成立，L,A501>0,&。32。中至少一个成立，

答案第8页，共16页

且dozN。，即可解决问题.

【详解】由题意得，S^3-4X10037；003>0,

又因为九。3=—(ar)=]0033，兀,=⑼已+―=1003G，

代入得曦-他。£0,要使方程f—平+4=0«=1,2,,1003)有实数解，则

a,2-4Z?,>0(!=1,2,,1003),

显然第502个方程有解，设方程+4=0与方程尤,-4期天+仿期=。的判另IJ式分另IJ为

△”△1003，

则A+A1003=(a；-44)+(403-4狐。3)=。；+。温一4(々+/?1003)>-一4x2Z?502

即A1+A1003片一帆2=2(曦-4%)20'等号成立的条件《=限’

所以ARO,AioosN。中至少一个成立，

同理可得A2>0,A1002>0中至少一个成立，L,A501>0,A503>0中至少一个成立，且区。220,

综上，在所给的1003个方程中，有实根的方程最少502个，

故答案为：502.

15.(1)证明见解析

⑵返

65

【分析】(1)取3E的中点N,连接AN,MN,利用几何关系证明DWV/AN,再由线面平

行的判定定理得到结果.

(2)建系后分别找到平面DCE的法向量为m=(x,y,z)和平面ABE的法向量为n=(a,b,c),

代入空间向量二面角的余弦公式求出即可.

【详解】(1)取8E的中点N,连接AN,MN,

答案第9页，共16页

则ACV//BC且MN=LgC,

2

又AD//BC且=所以MN//AD且MN=AD,

所以四边形⑷V仪。为平行四边形，所以DM〃⑷V.

又DMC平面.£■,4Vu平面ABE,

所以DM//平面ABE.

(2)取AD的中点尸，连接。尸，

因为四边形ABCD为等腰梯形，所以O尸，3C,

又平面ABCD1平面BCE,平面ABCDc平面gCE=2C,0尸＜=平面ABC。,

所以。'，平面3CE.

过点0作直线BC的垂线交BC于点G,

以。为坐标原点，分别以OG,0C,,所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空

间直角坐标系,

因为BC为直径，所以BE=；BC,

所以/8CE=30°,/BOE=60°,ZEOG=30°.

在等腰梯形A5co中，AB=AD=DC=2,BC=4,

所以OF=，22-=G，

所以E（疯-I,。）,C（0,2,0）,£>（0,1,A/3）,B（0,-2,0）,A（O,-1，⑹，

所以CE=（6-3,0）,cr>=（o,-i,V3）,BX=（后1,0）,BA=（O,1,V3）,

in-CE=0,

设平面。CE的法向量为根=(x,y,z),贝！I，

m-CD=0,

答案第10页，共16页

百x-3y=0,“l

所以l令y=v3,则x=3,z=1,

-y+j3z=0,

n-BE=由a+b=0

设平面ABE的法向量为"=（o,b,c）,则＜

n-BA=b+=0

设平面4狙与平面。CE的夹角为a,

|3-3+l|A/65

贝!Jcosa=Icos(w7,n)\=J।J

j9+3+lxJl+3+l-65~

所以平面4龙与平面DCE的夹角的余弦值为叵.

65

16.⑴3

10

3

⑵分布列见解析，5

【分析】（1）分别求出数字1,3相邻时的六位数个数以及数字1,3相邻，数字2,4,6

也相邻的六位数的个数，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；

（2）确定X的所有可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，继而求得数学期望.

【详解】（1）设4="数字1,3相邻”，设3="数字2,4,6相邻”，

则数字1,3相邻时的六位数有A；A；=24。个，

数字1,3相邻，数字2,4,6也相邻的六位数的个数为A；A；A；=72,

则尸（财=嚅723

24010；

（2）X的所有可能取值为0,1,2,3,

因为3个偶数中间共有2个空隙.由题意知“X=0”表示3个偶数相邻,

A3A41

贝”尸(x=o)=受=卜

A3rlA3Q

1个奇数，则尸==得,

“X=1”表示3个偶数中间只插入了

答案第11页，共16页

X=2”表示3个偶数中间共插入了2个奇数，可分为两种情形：0+2和1+1类型,

3

贝”(X=2)=

A^_72010

X=3”表示3个偶数中间共插入了3个奇数，可分为两种情形：0+3和1+2类型,

A3piA34-A3C1C1A21

则P(x=3)=A333T332=1,

A65

所以X的分布列为

3c3c13

---i-2x---F3X—=—

101052

17.(1)J=^；

【分析】(1)根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程；

(2)分和av1讨论，利用导数结合不等式放缩判断导数正负，结合单调性验证恒成

立是否满足.

【详解】(1)当〃=2时，/(x)=^--x+2sinx,则/'(%)=%-l+2cosx,

所以切线斜率为左=r(o)=i,又/(。)=0,

所以，切线方程是丁=九.

(2)①当。时，因为了£(0,兀)，所以sinx>0,

所以〃力=---x+asinx2----x+sinx.

22

记g(x)='—x+sinx，则g'(x)=%T+COSJV,

令M%)=g'(x)=x—1+cosx,则”(x)=1-sinx.

因为当』«0㈤时,〃(力NO,所以g'(x)在区间(0,兀)上单调递增,

所以,/(%)>/(。)=。，

答案第12页，共16页

所以，g(x)在区间(0㈤上单调递增,

所以，g(x)>g(O)=O,所以〃x)>0.

②当a<1时，f(x)=x-l+acosx,

因为当无e(0㈤时，sinxe(0,1],

令。(元)=/'(x)=x-l+acos无，贝I]0'(x)=l-asinx,

若aVO,则”(x)>0,即/'(x)在区间(0,兀)上单调递增.

若贝！]0'(x)=l—asinx21-a>0,

所以r(x)在区间(0,兀)上单调递增.

所以当a<1时，尸⑺在区间(0,兀)上单调递增.

因为〃0)=4一1<0,43=9>。，

所以，存在毛]。,口，使得:伍)=0,

所以,当x<O,Xo)时，r(x)<0,即〃x)在区间(0,尤0)上单调递减，

所以/(M)</(。)=。，不满足题意.

综上可知，实数。的取值范围为

18.(1)%2+/=|

(2)|，2及

【分析】(1)分直线/斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合韦达定理以及向量垂直的

坐标表示即可求得尸的轨迹方程；

(2)分直线/斜率不存在和存在两种情况进行讨论，求出弦长|相|的取值范围，结合面积

公式S4即可求得答案.

【详解】(1)①当直线/斜率不存在时，由椭圆的对称性，不妨设直线/在y轴右侧，

直线OA的方程为y=x,

答案第13页，共16页

由可+?=1,解得工=冬回2^/6/2斯2瓜

y=-^―,所以，A—

3

I）=尤

所以，直线A2的方程为尤=迎，止匕时P逑,。

3I3

同理,当直线/在y轴左侧时，P

②当直线/斜率存在时，设直线/的方程为广区+，"，人（工,%），3（%,%），

y=kx+m

由vf,2消去,整理得，+2k2x2+4knvc+2m2—8=0,

184

.口-4km2m-8

・・A=64左9一8机9+32〉0,且再+%2=;~~^77，%々=-----F

l+2k1+2左

又\・OA_LOB,・・・。405=0即：玉%2+%%=°，

所以，玉%+（g+m）（Ax2+m）=0,

22

则（l+^）xlx2+fon（%j+x2）+m=0,

故（1+左2）（2疗-8）软*J2（1+2用=0

'1+2/1+2左21+2左2—

所以3/=8（攵2+1）满足A>0,

综上，|。尸|=乎，所以，点P的轨迹方程为d+y2=g.

Q

（2）①由U）可知‘当直线,斜率不存在或斜率为。时'S-BC=相

②当直线/斜率存在且不为0时，

|AB|=5不上一目