2024高考数学专项复习圆锥曲线：调和点列-极点极线

2024高考数学专项复习

圆锥曲线专题:调和点列-极点极线

一、问题综述

（一）概念明晰（系列概念）:

1.调和点列:如图,在直线I上有两基点43,则在I上存在两点C,D到4B两点的距离比值为定值,即

=pf?=九则称顺序点列A,C,B,D四点构成调和点列（易得调和关系+^）°

同理,也可以C,。为基点，则顺序点列A,C,B,D四点仍构成调和点列。所以称和称为调和共

辗。

ACBD

2.调和线束:如图，若AC,构成调和点列，O为直线AB外任意一点,则直线04,0。,OB,OD称为调

和线束。若另一直线截调和线束,则截得的四点仍构成调和点列。

3.阿波罗尼斯圆:如图为平面中两定点，则满足第=4（421）的点P的轨迹为圆O,AB互为反

演点。由调和点列定义可知，圆。与直线AB交点满足AC,四点构成调和点列。

4.极点极线:如图，AB互为阿圆。反演点，则过B作直线，垂直则称A为，的极点，，为A的极线.

•1•

5.极点极线推广(二次曲线的极点极线)：

(1).二次曲线4c2+B娟+Da+Ey+F=O极点P(x0,y0)对应的极线为

…加+0^2£+可+叶+公。

工2-XoX,yU认y,gi细产，工一骂二辿一雪幺(半代半不代)

(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例):椭圆方程考■+£■=1

a匕

①极点P(g,%)在椭圆外，P4,PB为椭圆的切线，切点为AB

②极点P(g,队)在椭圆上，过点P作椭圆的切线Z,

③极点P(g,%)在椭圆内，过点P作椭圆的弦AB,

分别过AB作椭圆切线,则切线交点轨迹为极线等+婴=1；

ab

(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.

(二)亶要削

性质1：调和点列的几种表示形式

如图，若4GB，。四点构成调和点列，则有

4§7=4^=^^^=^+^^OC2=OB-OA^AC-AD=AB-AO^AB-OD=AC-BD

BCBDABADAC

•2•

性质2：调和点列与极点极线

如图,过极点P作任意直线,与椭圆及极线交点跖RN则点昭D,N,P成调和点列（可由阿圆推广）

性质3：极点极线配极原则

若点A的极线通过另一点。，则。的极线也通过一般称A、。互为共趣点.

推广:如图,过极点P作两条任意直线,与椭圆分别交于点儿W,HG,则MG,HN的交点必在极线上，反之

也成立。

二、典例分析

类型1:客观题中结论的直接运用

例L（2013-山东）过点（3,1）作圆（0—1）2+*=1的两条切线，切点分别为A、B则直线的方程为

（）

A.21+4-3=0B.2力一g—3=0C.4/一g—3=0D.4力+g—3=0

解析:直线AB是点（3,1）对应的极线，则方程为O——D++g—故选A.

例2.（2010-湖北）已知椭圆C•%+才=1的两个焦点&&点P（xo,yo）满足0〈詈+*V1,则

启园+|P勾的取值范围为，直线等+"政=1与椭圆。的公共点个数是.

解析：由题知，点P在椭圆内部且与原点不重合.则当P点在线段RE上除原点时，（|P局+|P£|）min=

2,当P在椭圆上时，（区局+[PE|）mM=2a=22,则\PF,\+\PF,\的取值范围为[2,22）.

点和直线等+2M=1恰好是椭圆的一对极点和极线，因为点P在椭圆内，所以极线与椭圆相

离，故极线与椭圆公共点的个数为0.

点呼:因客观题不需要严格证明，所以一些高观点的运用，往往能达到秒解的效果,从这两个高考题也可

•3•

看出，用普通方法也可解出结果，但用极点极线理论基本秒解,这就拉开了尖子生和普通生的差距，达到

了高考选拔人才的功能。

类型2：解答题中高观点分析

一-记2010年江苏卷一题多解（硬解/整体代换/仿射变换/调和点列/曲线系/极点极线）

例3.（2010江苏18）在平面直角坐标系，。,中，如图，已知椭圆（+誓=1的左右顶点为右顶点为F,

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设过点T（tg）的直线T4TB与椭圆分别交于点朋Xg,%），N（如纺），其中馆>0,%>0,夕2Vo.

（1）设动点P满足？严—92=4,求点P的轨迹；

（2）设g=2,g=方，求点T的坐标；

（3）设方=9,求证:直线7W7V必过力轴上的一定点.（其坐标与nz无关）

解析,方法一（高考标准答案1）3

直线AT:y=黑3+3），直线BT:y=等（力一3）,设7W（力纺），

12o

Vi=法（力i+3）

联立4r与椭圆，则

V+T=1

240—37n2

2

X1=2240—3加40m3V??—60—20m

得80+mpn，同理N，★

407n，同2222

80+m'80+m20+m'20+m

yi80+m2

处理一（特殊+验证h

当力尸灰（为W垂直/轴），解得m=2V10,MN方程为力=1,过定点0（1,0）；

40m—20??2

80+m210m20+m210m

当力1W/2，^MD=万，岛VD=，及河,Z?,N三点共线，即M,N过

240—3m2_i40—TYI3馆2—60_]40—TYI

80+m220+XYl

定点。（1,0）

240—3m2240—3馆23馆2—60

x—2

处理二（硬解直线方程）：由★得MN方程为:——80+m80+772,20+恒,

40m40m—20m

y-2

80+m80+m220+

令沙=0，解得2=1，即令,N过定点（1,0）

-4•

方法二(多元未知数整体处理此法适用于过椭圆两顶点问题):

直线AT:y=黑(6+3)，直线BT:y=等(劣一3),设M(Xi,yJ,N(X2,y。，

126

带入直线4T,BT消去利得半7X2=*7①

4i+3x2~o

g90-3

---

9+35g

-g2即

由椭圆年+卷=1可得95g9+3，带入①得

---出

-35g

—3•上_x2=—3•%也，即出2="■②，①可变形(取倒)为"~二%WX2③

5%5y2yi%yi纺

(②+③)/3得：上=R二(对比直线两点式或与(1,0)斜率)，即MN过定点(1,0)

V1V2

方法三(伸缩(仿射)变换+调和点列)«

补充知识.(1)放射变换为另一专题

⑵如图，在AABC中，三条高交于点F,高的垂足OE交AF于G,则4G,F月成调和点列，即条=

KJF

AH

~FH

22

如图，可将椭圆4+%=1伸缩变换为/+*=9,因为AAMB=4ANB=90°,则B为AATF高的交

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点，

由上述性质运用知AQBE成调和点列，即韶=普，设D(a,0),则黑金=与，解得a=1,即他

Db3—a6

N过定点0(1,0)

方法四(二次曲线系)：

补充:二次曲线系性质:若三个二次曲线系力(力,"),了2(/,g),力(e,U)过4个相同的点，则一定存在两实数4

•5・

〃，使得新3，妨+娟3，妨=力（，,必.（可根据六个单项式系数关系求解问题）

T

本题证明:如图,本题过四点的二次曲线有

抛物线4+去=1;

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直线AM:12y—mx—3m=0和BN:6y—mx+3m=0；10

直线AB'.y—0和直线MN\ax+bg+c=0

Mv2

所以Ay(ax+bg+c)+〃(12g—mx—3m)(6y—mx+3m)=——1,

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观察9与g/的系数有=?，则c=—a，所以MN:by=a(l—0,则A£N过定点0(1,0)

L/ta—ISm/j.=0

方法五（极点极线）：

补充:性质3

本题证明（利用性廉3）:如图，点T的轨迹方程为，=9,

即若匹+*^=1，又AM,BN交点在劣=9上，由性质2知，

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。（1,0）为极点，2=9为对应的极线，即AB,MN交点、为。（1,0）,

即MN过定点。（1,0）

点评：2010年江苏高考题被公认为史上最难高考之一,又一次把葛军老师推向风口浪尖,此题官方解答

为常规解法，看似简洁，其实其中计算量很大,据说当年没有考生在考场上将此题拿到满分,难度可想而

知,但通过高观点（仿射变换/调和点列/二次曲线系/极点极线）分析,我们会发现原来如此“简单”（直

接是结论的考察），所以在平时教学中渗透高观点下的解题思路十分必要，特别是对尖子生的培养。

三、巩固练习

1.已知点P为22+9=4上一动点.过点P作椭圆1+弓=1的两条切线，切点分别A、B,当点P运动

时,直线AB过定点，该定点的坐标是.

2.（2014-辽宁）己知点4（-2,3）在抛物线C：y2=2Px的准线上，过点A的直线与。在第一象限相切于点

B,记。的焦点F,则直线BF的斜率为（）

3.（2011-希望杯）从直线Z*+与=1上的任意一点P作圆。：/+才=8的两条切线,切点为A、B,则弦

o4

AB长度的最小值为.

4.（2009*安徽）已知点P（g,加在椭圆fH■—=1（Q>b>0）上，x=acos/3，y0=bsin/3,0V0V《•，直

ab2Q

线。与直线k-+粤=1垂直，O为坐标原点,直线OP的倾斜角为a,直线。的倾斜角为/.

电b

•6・

⑺证明：点P是椭圆£+V=](a>b>0)与直线〃的唯一交点:

(II)证明:tana,tan0,tany构成等比数列.

5.(2011-四川)椭圆有两顶点A(—1,0)、8(1,0),过其焦点F(0,l)的直线I与椭圆交于。两点，并与立轴

交于点P直线与直线BD交于点Q.

⑴当|CD|=|■方时，求直线，的方程；

6.(2008•安徽)设椭圆+£■=l(a>b>0)过点M(V2,1)，且左焦点为F4一00).

ab

(1)求椭圆。的方程；

(2)当过点F(4,l)的动直线，与椭圆。相交于两不同点A,B时,在线段AB上取点Q,满足

\AP\•|QB|=\AQ\-1屈|,证明：点Q总在某定直线上.

•7•

金考答案

1.解析:设点P的坐标是（机,-2机+4）,则切点弦AB的方程为詈+（-2%+现=1,化简得

（3a;—8y）m=12—16y,令3c—8y=12—16y=0,可得①=2,y=~|■，故直线AB过定点（2,

2.解析：由题知，—5=-2np=4,则抛物线方程为才=%,设过点A作直线与抛物线。相切与另一

点D，则经过这两个切点的连线BD就是点A对应的极线，其方程是3g=4（c-2）一“=母，-等。由于

O0

点A

在抛物线的准线上,则焦点F在点A的极线上，；.B、F、D三点共线0