广东省2024届高三年级下册高考适应性练习（4月）数学试题及其详细解析

绝密★启用前

华南师大附中高考适应性练习(4月)

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的

1.已知集合A={x|0<x<3},8=<>,则()

A.AcBB.BcAC.AnB=0D.AoB=R

2.在等差数列{%J中，若。2+%+%9+。22=28,贝1」％2=()

A.45B.6C.7D.8

3.^+-\的展开式中厂4的系数为()

Ixj

A.70B.56C.28D.8

4.设xeR,向量a=(尤,1)力=(1,一2),且贝!|cos(a=()

A亚B.叵C正D.立

55102

5.已知抛物线C:y2=2px的焦点为b(1,0),准线为/,P为。上一点，尸。垂直/于点Q,_PQ尸为等边三

角形，过PQ的中点M作直线QR,交x轴于R点，则直线入低的方程为()

A.J3x+y-2A/3=0B.y/3x+y-3>j3=0

C.x+百y一2百=0D.%+y/3y-3y/3=0

6.若将函数/(x)=2sinx的图象先向左平移i个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小为原来的万，

纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，若关于％的方程g(%)=-1在［0㈤内有两个不同的解劣，，则

sin(«+/?)=()

A_1B1cV2口夜

4422

7.已知函数的定义域为R,且满足/(£)=—/(2—x),/(x+2)为偶函数，当时，

f(x)^ax2+b,若/⑼+/(3)=6,则()

3211417

A.—B.—C.----D.------

9339

8.已知正方体A3CD-的边长为1，现有一个动平面且a〃平面当平面a截此正

方体所得截面边数最多时，记此时的截面的面积为S,周长为/,则（）

A.S不为定值，/为定值B.S为定值，/不为定值

C.S与/均为定值D.S与/均不为定值

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图所示，已知三棱锥O—A5c的外接球的半径为3,。为球心，尸为的外心，E为线段AB的

77

中点，若=,贝IJ()

6

A.线段£4的长度为2

B.球心。到平面ABD的距离为2

C.球心。到直线AB的距离为2J5

D.直线OE与平面A3。所成角的正弦值为上

4

10.下列命题正确的是（）

A.P：“a是第二象限角或第三象限角”，/“cosevO”，则P是9的充分不必要条件

c什八、,公ZF7口与ElCOS。Sill6ZA/2

B.若a为第一象限角，则-+_=*■

Jl+cos2aA/1—COS2Q2

C.在ABC中，若tanAtan区＞1,贝kABC为锐角三角形

D.已知a£[0,,且cos2a=，则tana=-——

I4；32

22

11.已知双曲线E：q■-方=1S〉O）,方为其右焦点，点尸到渐近线的距离为1,平行四边形A5CD的顶

点在双曲线右上，点尸在平行四边形458的边上，则（）

A.b=A/2

B.||AF|-|CF||=2^

C.若平行四边形ABC。各边所在直线的斜率均存在，则其值均不为土也

3

D.四边形ABCD的面积S/41BDVrAnx...—3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设复数z的共轨复数为了，若1—3i=2z—N,贝|目=.

13.“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于lox秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”

表示.《庄子•天下》中提到，“一尺之梗，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之趣”的长度看成1米，按

照此法，至少需要经过天才能使剩下“植”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.(参考数

据:光速为3x108米/秒，32°0.3,lg3ao.48)

14.若x>0,关于x的不等式£..2alnx-4x+l恒成立，则正实数。的最大值为_______.

e2"

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

在，ABC中，角ASC的对边分别是〃也。，且々zcosB—Z7cosc=ccosB.

(1)求cos6的值；

(2)若.A3c的面积为独54=30,求,ABC的周长.

2

16.(15分)

如图所示，圆台"Q的轴截面AACG为等腰梯形，40=244=244=4,3为底面圆周上异于A,C

的点，且=是线段5C的中点.

(1)求证：GP〃平面AAB.

(2)求平面AA3与平面GC3夹角的余弦值.

17.（15分）

已知函数/（%）=x（e'-Ax）,左eR.

⑴当左=0时，求函数/（x）的极值;

（2）若函数“X）在（0,+"）上仅有两个零点，求实数上的取值范围.

18.（17分）

22

已知椭圆c：土+4=1(0<6<272)，右顶点为E，上、下顶点分别为用,不，6是EB］的中点，且

8b2

=1.

EBXGB2

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点。（-4,0）的直线/交椭圆C于点点4（—2,—1）,直线MA,N4分别交直线x=T于

点P,Q,求证：线段PQ的中点为定点.

19.（17分）

奥运会中足球比赛的小组赛阶段的规则如下：共有16个国家队被分成4个小组，每个小组4支球队循环

比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3,1,0分.每个小组积分的前两名球队晋级下一阶段的淘汰

赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名.假定积分相同的球队，通过净胜球数

等规则出线的概率相同（例：若瓦三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的

概率相同）.已知某小组内的A8,C,。四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是

每场比赛的结果相互独立.

3

（1）假设A球队参与的前3场取得1胜2负的成绩，具体比赛结果为A与8比赛，3胜；A与C比赛，

C胜；A与。比赛，A胜.此时，A,3,C各积3分，。积0分，求A球队最终晋级的概率.

（2）假设该小组的前三场比赛结果如下：A与8比赛，8胜；C与。比赛，。胜；A与C比赛，A胜.

设小组赛阶段球队的积分之和为X,求X的分布列及期望.

华南师大附中高考适应性练习（4月）

选择题速查

题序1234567891011

答案ACBDBDAAACDACDBCD

试题精讲

1.命题角度：本题考查集合间的基本关系，要求考生了解集合的基本概念

考查热度*"*"**

参考答案A

解题分析lgx<g,得0<x<Jid，则5={%|0<%<Ji6}，所以A73.

2.命题角度：本题考查等差数列，要求考生能根据等差数列的基本性质进行计算.

考查热度**■**

参考答案C

解题分析因为a,+%+49+。>2=（。2+a）2）+（%+49）=4q。=28,

所以42=7.

3.命题角度：本题考查二项式定理，要求考生会利用二项式的展开式求解简单的系数问题.

考查热度*'**'**

参考答案B

解题分析［出+工］的展开式的通项公式为7；+1=C；（a）8-（L1=C=空，

令生产=—4,解得r=5,故［近+工］的展开式中，的系数为C；=56.

4.命题角度：本题考查向量的坐标运算，要求考生能利用向量垂直的关系进行坐标运算，会求两向量的夹

角.

考查热度*'**'**

参考答案D

解题分析因为a=（%」）为=（1,—2）,

又aLb，所以％—2=0,得到x=2,

所以i=（2,l）,得到a—6=（1,3）,

/、（d-bya5

所以cos（a_b,a）=^-----L—=—~—

'/\a-b\\a\氐如

=变

-V

5.命题角度：本题考查抛物线，要求考生使用抛物线的基本性质和平面几何的知识解决相关问题.

考查热度★★★

参考答案B

解题分析设直线/与x轴交于点H，连接QF(图略)，

因为焦点方(1,0),所以抛物线的方程为＞2=4%,准线为x=—1,

贝叶=2J=|PQ|,易知-PQF是边长为4的等边三角形，

则NPFQ=ZPFR=NQFH=60,\MF\=2y/3,则M(1,273).

因为MR〃QE，所以直线MR的斜率为-百，

直线的方程为氐+y-36=0.

6.命题角度：本题考查三角函数的图象与性质，要求考生会通过函数图象的平移得到函数解析式，并能熟

练利用三角函数的性质解决问题.

考查热度*'****

参考答案D

解题分析由函数/(x)=2sinx的图象向左平移;个单位长度后，

得到函数y=2sin[x+：]的图象，再将图象上各点的横坐标缩小为原来的;，

得到函数g(x)=2sin〔2x+：]的图象.

兀兀971।

因为无£[0,兀)，所以+,

L74144J

由g(x)=-1,可得sin12x+j,

”…C兀CC兀3兀C八5兀

所以2aH-----卜2/3H———x2,a+夕=—,

4424

所以sin(a+,)=sin—=.

')42

7.命题角度：本题考查函数性质的应用，要求考

生能利用抽象函数的奇偶性、周期性解决相关问题.

参考答案★★★★★

参考答案A

解题分析因为/(%)=-〃2—尤)①，

所以函数/(X)的图象关于点(1,0)对称.

因为〃x+2)为偶函数，所以/(—x+2)=/(x+2)②，

则函数/(X)的图象关于直线x=2对称.

由①②得/(%+2)=—/(%),则/(x+4)=-/(x+2)=/(%),

25

故/(x)的周期为4,所以7

由/(—x+l)=—/(x+1),令x=o,得/(1)=0,即a+0=0

已知/(0)+/⑶=6，由函数/(x)的图象关于直线x=2对称，

得/⑶=〃1)=0.

又函数/(x)的图象关于点(1,0)对称，得/(0)=—/(2)

所以/(0)+/(3)=_/(2)=6,即/(2)=—6,所以4。+》=-6④,

联立③④解得a=—2,b=2,

故当xw[1,2]时，/(x)=—+2.

由/(x)的图象关于点(1,0)对称，

5532

~9

8.命题角度：本题考查正方体的截面问题，要求考生能根据几何体的性质，结合直观想象能力求解几何体

的动态问题.

参考答案★★★★★

参考答案A

解题分析与平面平行的平面且截面是六边形时满足条件，如图所示，

正方体边长为1,即所〃A6

EFBE

设港=2,则能=片石=尢

NE_\E

丽二丽=1-2,EF+A®=722+72(1-2)=72,

同理可得六边形其他相邻两边的和均为鱼,

•••六边形的周长/为定值3a，

正三角形的面积为LxJ^xJ^sinGO=—.

22

当M,N,E,£G,〃均为中点时，六边形的边长相等即截面为正六边形时截面面积最大，截面面积为

,截面从平移到与C。的过程中，截面面积的变化过程是由小到大，再由大到小，故可得周长/为

定值，面积S不为定值.

9.命题角度：本题考查球体，要求考生能根据三棱锥外接球的结构特征求解相关问题.

参考答案★★★★

参考答案ACD

解题分析易知，的外接圆圆心为E,连接OE,",

OF,ZACB=9G,

由E为AB的中点，知屈4=硬=1.由点/为,45。的外心，知

在/ABZ)中,AB=2,ADB=—,则£A=£B=EZ)=-----—=2,A项正确;

一62sin30

由球。的半径为3,知09=厅导=J?，OE=B—f=2也，B项错误，C项正确;

由O歹，平面DAB,EFu平面DAB，可得O尸，石尸,

则在RfOER中，sin^OEF=—=,。项正确.

OE4

思路点拨本题的解题关键是根据题设及外接球性质找到线面角位置.

10.命题角度：本题考查三角函数的概念和三角

恒等变换，要求考生熟悉角的定义，熟练使用公式进行三角恒等变换.

参考答案★★★★★

参考答案ACD

解题分析若a是第二象限角或第三象限

角，贝Ucostz<0.

若costzcO,取a=7t,cos。=一1<0,此时a

不是第二象限角或第三象限角，

则，是4的充分不必要条件，故A项正确；

由于a为第一象限角，则cosa>0,sina>0,

cosasincrcosasmacosasina

,------+,=—------+——

41+cos2aVl-cos2aVl+2cos2a-lJl—(1—2sin?a)V2cosaV2sina

故8项错误,

,八sinA-sinB

在,A3c中，右tanA•taaB=------------->

cosA•cosB

,sinA-sinB-cosA-cosB八-cos(A+5)cosC八

1n---------------------------->0=>----------------=------------->0，

cosAcosBcosA-cosBcosA-cosB

故cosAcosBcosC>0,所以cosA>0,cosB>0,cosC>0,

故，MC为锐角三角形，故C项正确；

,,ccosa-sma1-tana75

fflcos2a=——---------厂=------z—=——，

cosa+sina1+tana3

所以3—Stan2。=逐+A/5tan2cif，贝Utan2。=--，

3+V54

由知tana=f,故。项正确.

11.命题角度：本题考查双曲线，要求考生了解双曲线的性质，能结合双曲线的性质解决相关问题.

参考答案★★★★★

参考答案BCD

解题分析点尸到渐近线的距离为1,故人=LA项错误；

若少为双曲线的左焦点，又点尸在平行四边形A3CD上，则根据对称性知点尸也在

平行四边形AfiCD上，S.\AF'\=\CF\,所以IIA/q-1Ak||=2。=2白，故2项正确;

由双曲线三一丁=1的渐近线方程为也》,

3-3

若平行四边形A3。各边所在直线的斜率均存在，当其值为±也,

3

则平行四边形43。各对应边所在直线与双曲线不可能有四个交点，故C项正确;

如上图，设直线8:%=疗+2,—6＜『＜8，

联立双曲线方程得仅2—3b2+4什+1=0,且A=12仅2+1）＞。，所以

4?1

为+%=一；^，2。=；^，

I—JI—3

贝IJ13=V1+7-Jbc+yj-4兀%=2K+1），

J-t

/、7Iy+2|4

由对称性知A（-xc,-yc）,则点A到直线CD的距离d=〔。,

Vl+rVl+r

所以4。=4|8|=蛰乎口，令机=血下41,2），

86m8垂）

则Sabcd=4-m2=~4，

---m

m

4、

又y（m）=---根在7"e[r1,2）上单调递减,

m

故SABCD在mG[1,2）上单调递增，

所以S.B⑺…如8,故。项正确.

12.命题角度：本题考查复数的运算，要求考生了解复数的概念，了解复数的模的概念.

考查热度*"****

参考答案&

角军题分析设z=a+历(a,beR),则2=。一历.

因为1—3i=2z—三，所以1+。一历=2a+(2/?+3)i.

易得,C,C解得，|所以z=l—i，所以卜

-b=2b+3,[o=-1,11

13.命题角度：本题考查对数函数的应用，要求考生能从实际背景中抽象出函数模型，并能计算简单的函数

不等式.

考查热度★★★★★

参考答案31

解题分析依题意，光在2“阿托秒”内走的距离为2x10-18x3x108=6x10-1°米，

经过〃天后，剩余的长度/(同=米,

由/⑺<6义10田，得出<6x10,

两边同时取对数，得

lg(6xlC»T°)_10—炮6_10-(Ig2+lg3)〜10-0.78〜

n>logj(6x]()To)3873,而〃eN*，则

2lgl噌lg20.3

62

71=31,所以至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走的距离.

14.命题角度：本题考查导数的综合应用，要求考生能通过构造函数的方法求解不等式恒成立问题.

考查热度**■*'**

参考答案2e

解题分析与..2alnx一4尤+1,即泮一人.2alnx-4x+1,

令/(x)=alnx-2x,则e""-2/(x)—1..0.

设g(/)=e'—2/—l,其中，=/(尤)，

则g'(/)=e'—2,令g'«)=0,得/=ln2,

所以当/<ln2时，g'("(O,g(。单调递减，

当/>ln2时，g'(/)>0,g(。单调递增,

所以8。)皿=8伽2)=1—21n2<0,又g(0)=0,g(2)=eZ-5>0,

所以存在/。«如2,2),使得g&)=0,

所以若g(/)..O，则/„0或f..%，即/(尤),，。或/(九).4，

/'(x)=@—2=伫在,x>0,所以在上，

xxV27

/'(X)>0,/(力单调递增，在［,+“］上，/'(x)<O,/(x)单调递减，

所以/(x)max=—a,所以只有0才能满足要求，

即。—1］”0,又。>0,解得0<④2e,所以正实数。的最大值为2e.

【规律方法】函数隐零点的处理思路：

第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区

间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数.

第二步：虚设零点并确定取值范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的

替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.

15.命题角度：本题考查解三角形，要求考生利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及余弦定理运

算求解.

考查热度*****

解题分析(1)因为4acosB—Z?cosC=ccosjB,

由正弦定理可得4sinAcosB-sinBcosC=sinCcosB,

所以4sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin+C)=sin(兀一A)=sinA,

因为OVAVTT,所以sinAwO,所以cos3=l.

4

(2)易知sinB=15,因为Sa”=,〃csiiiB=£^.所以ac=12,

4*c22

由余弦定理，得/?2=/+02-2QCCOS5.

又因为b=30，所以代入得/+/=24,

所以(a—c)2=。2+。2—2QC=24—2x12=0,

所以〃二c.

又因为ac=12,所以〃=c=2^/3，

所以ABC的周长为4括+3夜.

16.命题角度：本题考查空间向量在立体几何中的应用，要求考生会利用线面平行的判定定理证明线面平

行，会利用空间向量的方法求解平面与平面的夹角问题.

考查热度★★★★★

解题分析（1）取A3的中点H，连接如图所示，

因为P为的中点，所以PH〃AC,PH=^AC.

2

在等腰梯形AACG中，AG〃AC,AC=gAC,

所以HP〃4£,HP=AG，所以四边形AGP”为平行四边形，

所以GP〃a〃，又A"u平面GP<Z平面aA3,

所以qp〃平面AAB..

（2）以直线aAQB,Q。分别为％y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示,

C

在等腰梯形AAC£中，AC=2AA=2AC,=4,

此梯形的高为h=/油一][AC]=G.

因为4G=gAC，AG〃AC，

则Q(O,O,O)，A(2,O,O)，A(1，O，@，5(。，2,o),c(—2,0,0),c"-1，。，⑹，

所以5g=(-1,-2,73),BC=(-2,-2,0),AB=(-2,2,0),45=(-1,2,-73).

-2x+2y-0,

设平面的法向量为加=(羽y,z),则<

-x+2y-y/3z—0,

设平面BCQ的法向量为〃=(。力,c),

则匕：弁"°'令""得n=a

设平面A.AB与平面C[CB的夹角为0,

m'n\

则cosO=|cos^m,n^|

mlIni7

17.命题角度：本题考查导数的综合应用，要求考生能求函数的极值，会利用导数求解函数的零点问题.

考查热度★★★★★

解题分析(1)当左=0时，/(x)=xe'(xe7?),所以/'(x)=(l+x)e*,

令/'(X)=0,贝1]%=—1,

X-1(-1,+8)

r(x)-0+

单调递减极小值单调递增

所以/(好勒:/卜i)=—

e

当x-—00时，〃龙)—0,当Xf+oo时，/(X)

f+8,所以/(X)的极小值为-(，无极大值.

(2)函数/(%)=x(e*-Ax)在(。，+°°)上仅有两个零点，

令g(x)=e、-近，则问题等价于g(x)在(0,+8)上仅有两个零点,

易知g'(x)=e、—Z,因为xe(0,+8),所以e*>L

①当壮(—”J]时，g'(x)>0在(0,+“)上恒成立，所以g(尤)在(0,+“)上单调递增，所以

g(x)>g(O)=l,所以g(x)在(0,+司上没有零点，不符合题意;

②当左e（l,+oo）时，令g'（九）=0,得％=ln左，所以在（0JM）上，g'（x）＜0,在（in上,+“）上,

g'（x）〉0,所以g（力在（0,1也）上单调递减，在（Ink,+力）上单调递增，

所以g（%）的最小值为g（ink）=左-％•In上.因为g（尤）在（0,+“）上有两个零点，所以

g（lnk）=k-k-]nk＜0,所以左〉e.

因为8（0）=1＞0超（111左2）=左2—左.111左2=左（左一2111左），

9x—2

令/?（%）=x-21nx,贝|//（%）=1——=----,

xx

所以在（0,2）上，//（%）＜0,在（2,+“）上，〃（x）＞0,

所以h（x）在（0,2）上单调递减，在（2,+“）上单调递增，

所以A（x）..2-21n2=lne2-ln4＞0,所以g（ln左，=左（左一21M）＞0,

所以当k＞e时，g（尤）在（0,lnk）和（In左,+力）内各有一个零点，

即当左＞e时，g（力在（0,+"）上仅有两个零点.

综上，实数上的取值范围是（e,+“）.（另解：利用＞=女与y=上两函数图象的交点个数进行判断）

x

【规律总结】求解函数单调区间的步骤：

⑴确定/（X）的定义域.（2）计算导数/'（%）.

（3）求出/'（力=0的根.⑷用/'（同=0的根将“X）的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内

/'（力的符号，进而确定“X）的单调区间./'（x）＞0,则“X）在对应区间上单调递增，对应区间为增区

间；/,（%）＜0,则/（%）在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，那么需要对

参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.

18.命题角度：本题考查椭圆的定点问题，要求考生熟悉椭圆的基本概念与性质，能通过联立方程的方法求

解椭圆的定点问题.

考查热度*****

解题分析（1）由题可得"=8,£（。,0）,4（08）,与（0,—b）,「.E4的中点为

明3=（"）]/微卜＞与=1,.・方=2,

故椭圆c的方程为土+上=1.

82

(2)依题意可知直线/的斜率存在,

设直线/的方程为，=左(％+4),

y=Z（x+4）

由2消去〉并化简，

——+—=1

I82

得（1+4左2）尤2+32左2尤+64左2—8=0,

设AZ（XM，%），N（%N，%）,

32k26442—8

nilXXXX

则M+N=-152，MN=

1I^~TK1+4左2

＜一＜左」

由△=1024/—40+4K）（64左2—8）＞0,得k2

422

依题意可知直线的斜率存在,

直线M4的方程为y+l=2T（x+2）,

%+2

人“,曰、，2%-勺-4

令1=7,得以＞一--------------

XM+2

=-2左国+4）-%M-4

布+2

_（-2k-l）xM-8k-4

%”+2

_2左+2）-4Z-2

X”+2

4左+2

—21—

尤"+2

c,,4左+2

同理可求得yQ=-2k-l-

“c4左+24左+2_

%+%=—4k-2----------

%"+2xN+2

(11)

-4左一2—（4左+2）--------1---------=-4k

+2%N+2,

-2-(4/:+2)--------%*+4—

XMXN+2(XM+XN)+4

-4Z-2-(4Z+2).

32k2

+4

1+止

=—4左一2+(4左+2)=0,

二线段尸。的中点为定点（—4,0）.

【压轴导航】（1）通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的

标准方程；（2）设出直线/的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点RQ的坐标，

进而证得线段PQ的中点为定点.

19.命题角度：本题考查概率，要求考生能从实际背景中