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吉林省联谊校新高考数学必刷试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数的大致图象是A. B. C. D.2.若两个非零向量、满足,且,则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.3.在棱长均相等的正三棱柱中,为的中点,在上,且,则下述结论:①;②;③平面平面:④异面直线与所成角为其中正确命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.44.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,4,8,14,23,36,54,则该数列的第19项为()(注:)A.1624 B.1024 C.1198 D.15605.已知复数是正实数,则实数的值为()A. B. C. D.6.设,则“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知在平面直角坐标系中,圆:与圆:交于,两点,若,则实数的值为()A.1 B.2 C.-1 D.-28.有一改形塔几何体由若千个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8,如果改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是()A.8 B.7 C.6 D.49.已知等比数列满足,,等差数列中,为数列的前项和,则()A.36 B.72 C. D.10.若,,,则()A. B.C. D.11.设全集,集合,,则()A. B. C. D.12.已知双曲线,过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为A. B. C.2 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,角的平分线交于,,,则面积的最大值为__________.14.已知向量,,且,则________.15.如图梯形为直角梯形,,图中阴影部分为曲线与直线围成的平面图形,向直角梯形内投入一质点,质点落入阴影部分的概率是_____________16.函数的极大值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖.如图,该弓形所在的圆是以为直径的圆,且米,景观湖边界与平行且它们间的距离为米.开发商计划从点出发建一座景观桥(假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行),桥面在湖面上的部分记作.设.(1)用表示线段并确定的范围;(2)为了使小区居民可以充分地欣赏湖景,所以要将的长度设计到最长,求的最大值.18.(12分)已知函数,.(1)求证:在区间上有且仅有一个零点,且;(2)若当时,不等式恒成立,求证:.19.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).点在曲线上,点满足.(1)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求动点的轨迹的极坐标方程;(2)点,分别是曲线上第一象限,第二象限上两点,且满足,求的值.20.(12分)已知等差数列的前n项和为,,公差,、、成等比数列,数列满足.(1)求数列,的通项公式;(2)已知,求数列的前n项和.21.(12分)已知三棱柱中,,是的中点,,.(1)求证:;(2)若侧面为正方形,求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)某企业生产一种产品,从流水线上随机抽取件产品,统计其质量指标值并绘制频率分布直方图(如图1):规定产品的质量指标值在的为劣质品,在的为优等品,在的为特优品,销售时劣质品每件亏损元,优等品每件盈利元,特优品每件盈利元,以这件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率.(1)求每件产品的平均销售利润;(2)该企业主管部门为了解企业年营销费用(单位:万元)对年销售量(单位:万件)的影响,对该企业近年的年营销费用和年销售量,数据做了初步处理,得到的散点图(如图2)及一些统计量的值.表中,,,.根据散点图判断,可以作为年销售量(万件)关于年营销费用(万元)的回归方程.①求关于的回归方程;②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费,才能使得该企业的年收益的预报值达到最大?(收益销售利润营销费用,取)附:对于一组数据,,,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数为奇函数,可排除B选项;当时,,可排除D选项;当时,,当时,,即,可排除C选项,故选:A【点睛】本题考查了函数图象的判断,函数对称性的应用,属于中档题.2、A【解析】
设平面向量与的夹角为,由已知条件得出,在等式两边平方,利用平面向量数量积的运算律可求得的值,即为所求.【详解】设平面向量与的夹角为,,可得,在等式两边平方得,化简得.故选:A.【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值,考查平面向量数量积的运算性质的应用,考查计算能力,属于中等题.3、B【解析】
设出棱长,通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行,推出①的正误;判断是的中点推出②正的误;利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误;建立空间直角坐标系求出异面直线与所成角判断④的正误.【详解】解:不妨设棱长为:2,对于①连结,则,即与不垂直,又,①不正确;对于②,连结,,在中,,而,是的中点,所以,②正确;对于③由②可知,在中,,连结,易知,而在中,,,即,又,面,平面平面,③正确;以为坐标原点,平面上过点垂直于的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立如图所示的直角坐标系;,,,,,;,;异面直线与所成角为,,故.④不正确.故选:.【点睛】本题考查命题的真假的判断,棱锥的结构特征,直线与平面垂直,直线与直线的位置关系的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力.4、B【解析】
根据高阶等差数列的定义,求得等差数列的通项公式和前项和,利用累加法求得数列的通项公式,进而求得.【详解】依题意:1,4,8,14,23,36,54,……两两作差得:3,4,6,9,13,18,……两两作差得:1,2,3,4,5,……设该数列为,令,设的前项和为,又令,设的前项和为.易,,进而得,所以,则,所以,所以.故选:B【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用,考查累加法求数列的通项公式,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.5、C【解析】
将复数化成标准形式,由题意可得实部大于零,虚部等于零,即可得到答案.【详解】因为为正实数,所以且,解得.故选:C【点睛】本题考查复数的基本定义,属基础题.6、C【解析】
根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可.【详解】∵a,b∈(1,+∞),∴a>b⇒logab<1,logab<1⇒a>b,∴a>b是logab<1的充分必要条件,故选C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的解法是解决本题的关键.7、D【解析】
由可得,O在AB的中垂线上,结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上,从而可求.【详解】因为,所以O在AB的中垂线上,即O在两个圆心的连线上,,,三点共线,所以,得,故选D.【点睛】本题主要考查圆的性质应用,几何性质的转化是求解的捷径.8、A【解析】
则从下往上第二层正方体的棱长为:,从下往上第三层正方体的棱长为:,从下往上第四层正方体的棱长为:,以此类推,能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.【详解】最底层正方体的棱长为8,则从下往上第二层正方体的棱长为:,从下往上第三层正方体的棱长为:,从下往上第四层正方体的棱长为:,从下往上第五层正方体的棱长为:,从下往上第六层正方体的棱长为:,从下往上第七层正方体的棱长为:,从下往上第八层正方体的棱长为:,∴改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是8.故选:A.【点睛】本小题主要考查正方体有关计算,属于基础题.9、A【解析】
根据是与的等比中项,可求得,再利用等差数列求和公式即可得到.【详解】等比数列满足,,所以,又,所以,由等差数列的性质可得.故选:A【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质,考查等差数列的求和公式,考查学生的计算能力,是中档题.10、C【解析】
利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系,进而可得出、、三个数的大小关系.【详解】对数函数为上的增函数,则,即;指数函数为上的增函数,则;指数函数为上的减函数,则.综上所述,.故选:C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较,一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较,考查推理能力,属于基础题.11、B【解析】
可解出集合,然后进行补集、交集的运算即可.【详解】,,则,因此,.故选:B.【点睛】本题考查补集和交集的运算,涉及一元二次不等式的求解,考查运算求解能力,属于基础题.12、B【解析】
求得直线的方程,联立直线的方程和双曲线的方程,求得两点坐标的关系,根据列方程,化简后求得离心率.【详解】设,依题意直线的方程为,代入双曲线方程并化简得,故,设焦点坐标为,由于以为直径的圆经过点,故,即,即,即,两边除以得,解得.故,故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点,考查圆的直径有关的几何性质,考查运算求解能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、15【解析】
由角平分线定理得,利用余弦定理和三角形面积公式,借助三角恒等变化求出面积的最大值.【详解】画出图形:因为,,由角平分线定理得,设,则由余弦定理得:即当且仅当,即时取等号所以面积的最大值为15故答案为:15【点睛】此题考查解三角形面积的最值问题,通过三角恒等变形后利用均值不等式处理,属于一般性题目.14、【解析】
根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数的等式,即可求得实数的值.【详解】,且,则,解得.故答案为:.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数,涉及垂直向量的坐标表示,考查计算能力,属于基础题.15、【解析】
联立直线与抛物线方程求出交点坐标,再利用定积分求出阴影部分的面积,利用梯形的面积公式求出,最后根据几何概型的概率公式计算可得;【详解】解:联立解得或,即,,,,,故答案为:【点睛】本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积,属于中档题.16、【解析】
先求函的定义域,再对函数进行求导,再解不等式得单调区间,进而求得极值点,即可求出函数的极大值.【详解】函数,,,令得,,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减,当时,函数取到极大值,极大值为.故答案为:.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力,求解时注意定义域优先法则的应用.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),;(2)米.【解析】
(1)过点作于点再在中利用正弦定理求解,再根据求解,进而求得.再根据确定的范围即可.(2)根据(1)有,再设,求导分析函数的单调性与最值即可.【详解】解:过点作于点则,在中,,,由正弦定理得:,,,,,因为,化简得,令,,且,因为,故令即,记,当时,单调递增;当时,单调递减,又,当时,取最大值,此时,的最大值为米.【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用,需要根据题意建立角度与长度间的关系,进而求导分析函数的单调性,根据三角函数值求解对应的最值即可.属于难题.18、(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】
(1)利用求导数,判断在区间上的单调性,然后再证异号,即可证明结论;(2)当时,不等式恒成立,分离参数只需时,恒成立,设(),需,根据(1)中的结论先求出,再构造函数结合导数法,证明即可.【详解】(1),令,则,所以在区间上是增函数,则,所以在区间上是增函数.又因为,,所以在区间上有且仅有一个零点,且.(2)由题意,在区间上恒成立,即在区间上恒成立,当时,;当时,恒成立,设(),所以.由(1)可知,,使,所以,当时,,当时,,由此在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以.又因为,所以,从而,所以.令,,则,所以在区间上是增函数,所以,故.【点睛】本题考查导数的综合应用,涉及到函数的单调性、函数的零点、极值最值、不等式的证明,分离参数是解题的关键,意在考查逻辑推理、数学计算能力,属于较难题.19、(1)();(2)【解析】
(1)由已知,曲线的参数方程消去t后,要注意x的范围,再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可;(2)设,,由(1)可得,,相加即可得到证明.【详解】(1),∵,∴,∴,由题可知:,:().(2)因为,设,,则,,.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化,考查学生的计算能力,是一道容易题.20、(1),();(2).【解析】
(1)根据是等差数列,,、、成等比数列,列两个方程即可求出,从而求得,代入化简即可求得;(2)化简后求和为裂项相消求和,分组求和即可,注意讨论公比是否为1.【详解】(1)由题意知,,,由得,解得.又,得,解得或(舍).,.又(),().(2),①当时,.②当时,.【点睛】此题等差数列的通项公式的求解,裂项相消求和等知识点,考查了化归和转化思想,属于一般性题目.21、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)取的中点,连接,,证明平面得出,再得出;(2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,计算,即可得出答案.【详解】(1)证明:取的中点,连接,,,,,,,故,又,,平面,平面,,,分别是,的中点,,
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