备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题41数列通项

专题41数列通项【知识点总结】一、观察法根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.二、利用递推公式求通项公式=1\*GB3①叠加法：形如的解析式，可利用递推多式相加法求得=2\*GB3②叠乘法：形如的解析式，可用递推多式相乘求得=3\*GB3③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法.④利用与的关系求解形如的关系，求其通项公式，可依据，求出【典型例题】例1．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）数列的前项和为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为所以，，所以.故选：A.例2．（2023·全国·高三专题练习）数列的前4项为：，则它的一个通项公式是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】将可以写成，所以的通项公式为；故选:C例3．（2023·高三课时练习）在数列中，若，，则的通项公式为______．【答案】【解析】由题意可知数列中，，，故，所以，故答案为：例4．（2023·高三课时练习）在数列中，若，，则的通项公式为______．【答案】【解析】由题意知，故，故，故答案为：例5．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）在数列中，，，则数列的通项公式为______.【答案】【解析】因为，所以，所以，，，……，，，所以，所以，因为，所以符号该式，故答案为：例6．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列，则的通项公式为______．【答案】【解析】∵，∴，∴，又∵是公差为的等差数列，∴，∴，∴当时，，∴，整理得：，，∴，显然对于也成立，∴的通项公式.故答案为：.例7．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知数列满足，若，则__________．【答案】【解析】法一：由，可得：，由,可得:,又，可得：.法二：由题得，则等式两边同取倒数得，则，，则数列为公差为2的等差数列，则，当，则，则，故答案为：.例8．（2023·高三课时练习）在数列中，已知，，则的通项公式为______．【答案】【解析】由，两边取倒数得，即，又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故，故答案为：例9．（2023·全国·高三专题练习）若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.【答案】【解析】由，得.令，则，且.所以是以4为首项，2为公比的等比数列.∴，∴.故答案为：例10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为.求数列的通项公式；【解析】因为，显然，所以，当时，由累乘法得，则，又，所以，所以当时，，时，也符合，所以.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式.【解析】因为①，所以当时，可知，则，当时，可知②，①②得，即，所以，又满足，所以数列的通项公式为.例12．（2023·高三课时练习）（1）已知数列满足，求；（2）已知数列的前n项和为，若，，且，求．【解析】（1）设，当n＝1时，；当时，，得，而，也满足此等式．所以．（2）当n＝1时，，即，解得或，因为，所以．当时，，整理得，由，则，得，于是数列是以2为首项，3为公差的等差数列，所以．例13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为．求数列的通项公式；【解析】由，当时，，解得，当时，，，即，可得，即，因此数列为等比数列，公比为2，首项，可得，所以数列的通项公式．【技能提升训练】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则的通项为(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，则当时，，将个式子相加可得，因为，则，当时，符合题意，所以.故选：D.2．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）数列，，，，的通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】数列，，，，，所以第项为，所以通项公式为，故A、B、C错误，D正确.故选：D3．（2023秋·浙江台州·高二期末）已知数列中，，且是等差数列，则（

）A．36 B．37 C．38 D．39【答案】A【解析】因为，所以，又是等差数列，故首项为3，公差为2，所以，所以．故选：A.4．（2023·全国·高二专题练习）数列中，，（为正整数），则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，故选：A5．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知数列满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，当时，，当时，，时，也适合此式，∴，,故选:B.6．（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期末）等比数列的前n项和，则（

）A．-2 B． C．0 D．【答案】C【解析】，当时，，当时，，故，当时，，从而，由于是等比数列，故，解得，故．故选：C．7．（2023春·江西宜春·高二江西省铜鼓中学校考阶段练习）数列的一个通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】奇数项为负，偶数项为正，可用来实现，而各项分母可看作，各项分子均为1，∴该数列的通项公式为.故选：D.8．（2023秋·广东江门·高二统考期末）已知数列满足，，则该数列的第5项为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，所以，，，，故选：B9．（2023春·甘肃武威·高二统考开学考试）已知数列的前项和，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因为数列的前项和，所以.故选：B10．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期末）已知，，则数列的通项公式是（）A．n B． C．2n D．【答案】C【解析】由，得，即，则，，，…，，由累乘法可得，因为，所以，故选：C．11．（2023秋·重庆大渡口·高二重庆市第三十七中学校校考期末）已知数列的前n项和，满足，则＝（）A．72 B．96 C．108 D．126【答案】B【解析】当时，，解得：，由题意可得，①当时，，②①﹣②得，，即，故数列是以3为首项，2为公比的等比数列，所以，故.故选：B.12．（2023·全国·高二专题练习）记为数列的前n项和，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，，当时，，，所以，数列是等比数列，所以，故选：A.13．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，上述各式相乘得，因为，所以，经检验，满足，所以.故选：D.二、多选题14．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）设是数列的前n项和，且，，则（

）A．B．数列是公差为的等差数列C．数列的前5项和最大D．【答案】AC【解析】，，或(舍)，故选项A正确；又，，，数列是公差为的等差数列，故选项B错误；由得，，数列的前5项和最大，故选项C正确；当时，，这与矛盾，故选项D错误，故选:AC.15．（2023·全国·高二专题练习）已知数列和满足，，，．则下列结论不正确的是（

）A．数列为等比数列B．数列为等差数列C．D．【答案】BCD【解析】对A，，即，，故数列为首项为1，公比为3的等比数列，A对；对BC，，即，即，故数列为首项为，公比为2的等比数列，故，故，故数列不为等差数列，，BC错；对D，由A得，又，两式相加得，即，D错.故选：BCD16．（2023秋·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）设数列的前项和为，且，则（

）A．数列是等比数列 B．C． D．的前项和为【答案】ACD【解析】由已知，当时，可得选项A，，可得数列是，2为公比的等比数列，故A正确；选项B，由选项A可得解得，故B错误；选项C，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以，故C正确；选项D，因为，故D正确.故选：ACD.17．（2023春·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（

）A．是递减数列 B．C． D．当最小时，【答案】BCD【解析】，当时，；当时，注意到时也满足，所以数列的通项公式为，，，是递增数列，A选项错误；，B选项正确；，C选项正确；，，当最小时，，D选项正确.故选：BCD.三、填空题18．（2023·高三课时练习）在数列中，若，，则的通项公式为______．【答案】【解析】由题意知，故，故，故答案为：19．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知，则的通项公式为______.【答案】【解析】由已知可得，且，，当时，由得,由于为数列的前项积，所以，，所以，又因为，所以，即，其中，所以数列是以为首项，以为公差等差数列，所以，，当时，，当时，，显然对于不成立，所以，故答案为：20．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）数列的前项和，则___________.【答案】8【解析】，，.故答案为：8.21．（2023春·河南焦作·高二温县第一高级中学校考阶段练习）已知数列的前n项和满足，且，则______.【答案】【解析】因为，当时，，，解得．当时，，与两式相减得，即，化简得：，所以时，是以2为首项，为公比的等比数列，所以，又不符合上式，故，故答案为：22．（2023秋·福建福州·高二校联考期末）数列中，，，则此数列的通项公式_________.【答案】【解析】因为，所以，又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则.故答案为：23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，则数列的通项公式为______.【答案】【解析】当时，解得，不满足，所以，同理，由可得，当时，，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，，所以.故答案为：.24．（2023·高二课时练习）数列，，，，…的一个通项公式是______．【答案】【解析】因为，所以一个通项公式可以是，故答案为：四、解答题25．（2023·湖南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式及前n项和；(2)设数列满足，．求数列的通项公式．【解析】（1）由，可得，两式相减可得：，化简可得，由正项数列知，所以，又，解得，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，故，由可得.（2）由（1）知，所以，所以，，，，由累加法可得，，所以.26．（2023·安徽·统考一模）已知在递增数列中，为函数的两个零点，数列是公差为2的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明：.【解析】（1）函数的零点为3，8，而数列递增，则，，因此数列是以5为首项，2为公差的等差数列，则，当时，，而也满足上式，所以数列的通项公式是.（2）证明：由（1）得，因此，而，所以.27．（2023·全国·高二专题练习）已知满足，（是正整数），求．【解析】因为，所以，则，所以当时，则，，，，，，，将上述式子相加可得：，因为，所以，又符合上式，故数列的通项公式.28．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，其前项和满足求数列的通项公式；【解析】，时有，则时有可得，即，所以，得，即，经检验满足上式子，故29．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知数列前n项和，满足．(1)求出，；(2)求数列的通项公式．【解析】（1）因为，令，可得，令，可得，解得.（2）因为，则当时，，且由（1）知，所以30．（2023春·湖南岳阳·高二校联考阶段练习）若数列的前项和为，且满足(1)求的值；(2)求数列的通项公式．【解析】（1）由已知可得．故，.（2）由题得当时,，上面两式相减得整理得：，于是当时相减得由（1），此关系式对于也成立所以．31．（2023·河北邯郸·统考一模）设数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【解析】（1）当时，，解得．当时，，则，即，从而是首项为1，公比为2的等比数列，所以，且当时，也满足，所以故．（2）由（1）可得，则，故．32．（2023·重庆·统考模拟预测）已知与都是正项数列，的前项和为，，且满足，等比数列满足，．(1)求数列，的通项公式；(2)记数列的前n项和为，求满足不等式的自然数n的最小值．【解析】（1）∵，∴两式相减得：化简得：∵为正项数列，且∴，，即为首项为1，公差为1的等差数列，∴又∵，，为等比数列，设其公比为，∴，解得或，而为正项数列，故，.综上，数列，的通项公式分别为.（2）记，的前项和分别为由等差数列及等比数列的前项和公式可知∴易知，作差可得：即当时，单调递增，当时，，当时，∴的最小值为8.故满足不等式的自然数的最小值为8.33．（2023春·福建·高二福建师大附中校考开学考试）已知数列中，，前项和.(1)求，，及的通项公式；(2)证明：.【解析】（1）对于，则有：令，则，解得；令，则，解得；当时，则，整理得，则；注意到也满足上式，故.（2）由（1）可得，则，∵当时，恒成立，故.34．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌市一中校考开学考试）已知数列满足，数列满足.(1)求数列，的通项公式；(2)记，求数列的前n项和.【解析】（1）依题意，数列满足，则，所以，也符合上式，所以.数列满足，当时，，，当时，由，得，两式相减得，，也符合上式，所以.（2）由（1）得，所以，，两式相减得，所以.35．（2023·全国·高三专题练习）设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．(1)求，；(2)求证：数列为等差数列；(3)求数列的通项公式．【解析】（1）由，且，当时，，得，当时，，得；（2）对于①，当时，②，①②得，即，，又，数列是以1为首项，1为公差的等差数列；（3）由（2）得，，当时，，又时，，不符合，.36．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【解析】（1）当时，，解得.当时，由，得，两式相减得，即，利用累乘可得，即，因为，所以；所以的通项公式为.（2）由（1）可知，裂项可得，则.所以数列的前项和37．（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知数列的前项和为，且满足.(1)证明：数列为等比数列；(2)求的通项公式及.【解析】（1）依题意，，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）得，所以，所以.38．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）设数列的前n项和为，且，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【解析】（1）因为，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，当时，，两式相减得，即，所以数列为常数列，且，所以；（2）由（1）得，所以，所以.39．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足，数列满足.求数列的通项公式；【解析】由得，作差得，即，即，即，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，，所以.数列满足①，当时，;当时，②，由①-②可得，当时，也符合上式，故数列的通项公式为.40．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知前n项和为，